一道高三聯考題解法的探討

高考數學作為考查學生數學知識綜合運用能力的重要途徑，一直以來備受廣大考生和教師的高度關注.特別是新高考以來，高考數學命題趨勢變化明顯，推陳立新，難度和靈活性有較大提升，解題能力也提出了更高的要求.因此在高考復習的過程中，教師在模考題的解法上應加強必要的探討，這有利于高三學生擴大知識面、提高應試能力、提高解題的思維能力和解題速度.本文以一道聯考題予以研究.

一.題目

（2024巴蜀中學聯考題）已知函數f（x）=12x2－ax+a－1lnx （a>1）.

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）求證：若a<5，則對于任意x1，x2∈0，+∞，x1≠x2，有fx1－f（x2）x1－x2>－1.

二.解法

解析：（1）因為f（x）的定義域為0，+∞， f'（x）=x－a+a－1x=x2－ax+a－1x

=（x－1）（x+1－a）x，所以（i）若a－1=1即a=2時，f'（x）=（x－1）2x≥0，

所以f（x）在0，+∞上單調遞增.（ii）若a－1<1即1<a<2時，當x∈a－1，1時f'（x）<0，當x∈0，a－1 及x∈1，+∞時f'（x）>0，所以f（x）在a－1，1上單調遞減，f（x）在0，a－1和1，+∞上單調遞增.

（iii）若a－1>1即a>2時，同理可得f（x）在1，a－1上單調遞減，f（x）在0，1和a－1，+∞上單調遞增.

（2）（證法一）：構造函數g（x）=f（x）+x， 因為g（x）=f（x）+x，

=12x2+1－ax+a－1lnx，∴g′（x）=x+a－1x+1－a≥2x·a－xx+1－a=2a－1－a－1=1－a－1－12.∵1<a<5，∴0<a－1<2 a－1－12<1，1－a－1－12>0，即g′（x）>0.∴g（x）在0，+∞上單調遞增.∵x1，x2∈0，+∞且x1≠x2，不妨設x1>x2，

則gx1>gx2，有fx1+x1>fx2+x2.∴fx1－f（x2）x1－x2>－1.

（證法二）：運用對數均值不等式.∵x1－x2lnx1－lnx2<x1+x22 ，∴lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2，

則fx1－f（x2）x1－x2=12x21－ax1+（a－1）lnx1－［12x22－ax2+（a－1）lnx2］x1－x2

=12（x21－x22）－a（x1－x2）+（a－1）（lnx1－lnx2）x1－x2=12（x1+x2）+（a－1）·lnx1－lnx2x1－x2－a>12（x1+x2）+（a－1）·2x1+x2－a≥212（x1+x2）·（a－1）·2x1+x2－a=2a－1－a=－a－1－12>－1.∴fx1－f（x2）x1－x2>－1.

（證法三）：運用拉格朗日中值定理.∵x1，x2∈0，+∞且x1≠x2，不妨設x1<x2，

對任意x0∈［x1，x2］，若x1，x2取遍所有的正實數，則x0∈0，+∞，

則要證fx1－f（x2）x1－x2=fx2－f（x1）x2－x1>－1，由拉格朗日中值定理得f′（x0）>－1，又∵f′（x0）=x0－a+a－1x0=x0+a－1x0－a≥2a－1－a=－a－1－12>－1.∴fx1－f（x2）x1－x2>－1.