例析特殊函數(shù)法在求解高中數(shù)學(xué)客觀題中的妙用

1.引言

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特認(rèn)為：“在討論數(shù)學(xué)問題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.特殊化是克服數(shù)學(xué)難題最重要的杠桿之一.”此觀點(diǎn)深刻地揭示了特殊與一般數(shù)學(xué)思想的重要性，尤其是特殊化思想的重要作用.

何為特殊化思想？簡(jiǎn)言之，對(duì)于一般情況下成立的命題，在特殊情況下一定成立.在特殊情況下不成立的命題，在一般情況下必定不成立.本文例析特殊函數(shù)法在求解高中數(shù)學(xué)客觀題中的妙用.

2.實(shí)例分析

例1 （2014年高考廣東卷·文13）等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)且a1a5=4，則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.

析解：從常規(guī)思路求解，由題意可得a1a5=a23=4，則a3=2，所以原式=log2（a1a2a3a4a5）=log2a53=5log2a3=5.若本題選取特殊的正項(xiàng)常數(shù)列（即常函數(shù)），令an=2，符合a1a5=2×2=4，則可求得原式=5log22=5.

變式 （人教版教材必修5第68頁(yè)，復(fù)習(xí)參考題，B組第1題（1））等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=18，則log3a1+log3a2+…+log3a10=（ ）.

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

提示：借助符合題意的特殊常數(shù)列an=3易知，選B.

例2 （2021年全國(guó)新高考Ⅱ卷·8）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+1）為奇函數(shù)，則（ ）.

A.f（－12）=0 B.f（－1）=0

C.f（2）=0 D.f（4）=0

析解：利用二級(jí)結(jié)論，由f（x+2）為偶函數(shù)可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，由f（2x+1）為奇函數(shù)可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（1，0）中心對(duì)稱，由此得到周期T=4|2－1|=4，與周期、對(duì)稱性有關(guān)，從而想到構(gòu)造三角函數(shù)模型，得到函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=cosπ2x，排除A、C、D，選B.

變式1 （2024年九省聯(lián)考卷·11，多選題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（12）≠0，若f（x+y）+f（x）f（y）=4xy，則（ ）.

A.f（－12）=0 B.f（12）=－2

C.f（x－12）是偶函數(shù) D.f（x+12）是減函數(shù)

析解：若f（x）為常函數(shù)，則不符合關(guān)系式，不妨設(shè)f（x）=kx+b，則k（x+y）+b+（kx+b）（ky+b）=4xy，左式展開，根據(jù)等式性質(zhì)可得k=±2，b=－1，又由于f（12）≠0，可取一次函數(shù)f（x）=－2x－1，代入選項(xiàng)，可選出ACD.

變式2 （2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷·8）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），且f（1）=1，則∑22k=1f（k）=（ ）.

A.－3 B.－2 C.0 D.1

析解：本題通法是利用賦值法和函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)得到周期，再運(yùn)算求解，有一定難度.事實(shí)上，根據(jù)求解表達(dá)式不難猜測(cè)f（x）是周期函數(shù)，由f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y）與f（1）=1聯(lián)想到積化和差公式，選取三角函數(shù)f（x）=2cosπ3x，其周期T=6，計(jì)算得f（2）=－1，f（3）=－2，f（4）=－1，f（5）=1，f（6）=2，所以∑22k=1f（k）=3［f（1）+f（2）+…+f（6）］+f（19）+f（20）+

f（21）+f（22）=0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=－3，故選A.

例3 （2023年洛陽期末考試題）設(shè)f′（x）是定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f（x）>f′（x）.若e2a－1f（a+1）>f（3a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）.

A.（12，+∞） B.（－∞，12）

C.（－12，+∞） D.（－∞，－12）

析解：本題通過構(gòu)造新函數(shù)g（x）=f（x）ex，利用新函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的取值范圍.但，由題目而聯(lián)想構(gòu)造新函數(shù)g（x）=f（x）ex是一難點(diǎn)，再由e2a－1f（a+1）>f（3a）變形得到f（a+1）ea+1>f（3a）e3a，即g（a+1）>g（3a），更不易想到. 若采用特殊函數(shù)法，本題選取常函數(shù)f（x）=1符合題意，原不等式轉(zhuǎn)化為求解e2a－1>1，即2a－1>0，則a>12，選A.

變式 （2023年泉州模擬題）定義在R上的函數(shù)y=f（x+2）的圖象關(guān)于直線x=－2對(duì)稱，f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x>0時(shí)，恒有x2f′（x）+f（－x）<0.若f（a）b2<f（b）a2，則下列不等式一定成立的是（ ）.

A.a>b B.a<b

C.|a|<|b|&9bS7wkNjas6Jx+UO4YTSJg==nbsp; D. |a|>|b|

析解：由于y=f（x+2）的圖象關(guān)于直線x=－2對(duì)稱，則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，即y=f（x）是偶函數(shù)，故f（－x）=f（x）.將x2f′（x）+f（－x）<0變形得到x2f′（x）+2xf（x）<0（x>0），則可構(gòu)造新函數(shù)g（x）=x2f（x），進(jìn)而求導(dǎo)，得到新函數(shù)的單調(diào)性即可求解.若選取符合條件的特殊常函數(shù)f（x）=－1，當(dāng)x>0時(shí)，恒有x2f′（x）+f（－x）<0成立，則f（a）b2<f（b）a2等價(jià)于求解－1b2<－1a2，變形得到a2>b2，故選D.

注：本題也可以選擇二次函數(shù)模型f（x）=－x2，也能快速求解.

例4 若定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（－∞，0］上單調(diào)遞減，則不等式f（x）+f（x－2）≥0的解集為（ ）.

A.［1，+∞） B.［2，+∞）

C.（－∞，2］ D.（－∞，1］

析解：本題利用通法，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性性質(zhì)，不難得出結(jié)論.本題也可以依據(jù)題意，選取符合條件的一次函數(shù)f（x）=－x，則原不等式等價(jià)于－x－（x－2）≥0，從而解得x≤1，故選D.

變式 已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（－x），且在（0，+∞）上是增函數(shù)，不等式f（ax+2）≤f（－1）對(duì)于x∈［1，2］恒成立，則a的取值范圍是（ ）.

A.（－∞，－32］ B.（－∞，－12］

C.［－3，－12］ D.［－32，－1］

析解：依題意可知f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，可選取特殊函數(shù)f（x）=x或f（x）=x2，原不等式等價(jià)于ax+2≤－1，則－1≤ax+2≤1，即－3≤ax≤－1恒成立，又x∈［1，2］，解得－32≤a≤－1，故選D.

3.結(jié)語

在解題課的教學(xué)中，通性通法固然很重要，但針對(duì)一些運(yùn)用通性通法求解比較繁瑣的試題，若能從特殊值法、特殊圖形法、特殊位置法、特殊函數(shù)法等角度入手，可極大地簡(jiǎn)化解題過程，節(jié)省解題時(shí)間，防止小題大做，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的熱情，從而提高學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性，并且能體驗(yàn)解題成功的喜悅感和成就感.