應用于諧波測量的二次加權傅里葉變換關鍵參數分析

摘" 要： 基于準同步采樣的二次加權傅里葉變換方法（下稱二次加權傅里葉變換方法）解決了可編程約瑟夫森電壓標準（PJVS）應用于諧波電壓測量中的過渡過程和非同步采樣問題，極大地提升了諧波電壓測量的準確度。為使二次加權傅里葉變換方法在實際應用中更加系統和完善，針對二次加權傅里葉變換的幾個關鍵參數進行了研究，包括頻率同步誤差、諧波復雜程度以及階梯電壓的臺階數和采樣點數，并對測量結果的影響展開討論和分析，提供了測量參數設定的參考指標，給出了測量誤差評估方法及示例，為二次加權傅里葉變換方法在實際測量中的應用提供了理論依據。

關鍵詞： 二次加權傅里葉變換方法； 可編程約瑟夫森電壓標準； 諧波測量； 非同步采樣； 關鍵參數； 誤差評估

中圖分類號： TN911.7?34； TB971" " " " " " " " " "文獻標識碼： A" " " " " " " " " "文章編號： 1004?373X（2024）22?0153?07

Analysis of key parameter of quadratic weighted Fourier transform

applied to harmonic measurement

Abstract： The quadratic?weighted Fourier transform method based on quasi?synchronous sampling （hereinafter referred to as quadratic?weighted Fourier transform method） solves the problems of transition process and non?synchronous sampling in the application of programmable Josephson voltage standard （PJVS） to harmonic voltage measurement. The accuracy of harmonic voltage measurement is improved greatly. In order to make the quadratic?weighted Fourier transform method more systematic and perfect in practical application， several key parameters of quadratic?weighted Fourier transform are studied， including frequency synchronization error， harmonic complexity， the number of steps and sampling points of the step voltage. The influence of measurement results is discussed and analyzed， and the reference indicators for setting measurement parameters are provided. The measurement error evaluation method and an example are given， which provides a theoretical basis for the application of the quadratic?weighted Fourier transform method in the actual measurement.

Keywords： quadratic?weighted Fourier transform method; programmable Josephson voltage standard; harmonic measurement; non?asynchronous sampling; key parameter; error analysis

0" 引" 言

在加快規劃建設新型能源體系，構建新型電力系統的背景下，電力系統中的諧波問題變得愈發嚴重，這為電能質量控制與諧波測量帶來了新的挑戰，同時也對諧波電壓的溯源提出了更高的要求[1?3]。

因可編程約瑟夫森電壓標準（Programmable Josephson Voltage Standard， PJVS）的高準確度和成熟應用[4?5]，中國計量科學研究院在完成前期研究[6?8]后，已開展了PJVS應用于諧波電壓測量的研究[9?10]，以期實現諧波電壓標準的量子化溯源。在實際應用中，存在兩個重要問題對諧波電壓測量的準確度造成了不可忽視的影響：其一是由于寄生參數的存在，PJVS產生的階梯波形在臺階切換時存在過渡過程[11?12]；其二是受現實條件限制，如數字信號發生器（DDS）和模數轉換器（ADC）等芯片位數有限以及基波頻率的波動，理想的同步采樣無法達成，將導致非同步采樣問題[13?15]。

為解決過渡過程和非同步采樣問題，二次加權傅里葉變換方法[16]被提出。該方法通過對差分采樣獲得的初始信號進行兩次不同的加權后，進入FFT處理，再經過兩次分步修正，既克服了過渡過程波動點的影響，又對非同步采樣引入的誤差做了有效補償，極大地提高了諧波電壓測量準確度。本文在二次加權傅里葉變換方法的基礎上，進一步針對該方法的誤差評估進行分析，給出了誤差評估方法和示例，同時對影響二次加權傅里葉變換方法測量結果的幾個關鍵參數進行分析，為實際應用中參數選擇提供理論依據。

1" 二次加權傅里葉變換方法概述

二次加權傅里葉變換方法以傅里葉變換的矩陣形式[9]和準同步采樣方法[17?19]為基礎。該方法對準同步采樣方法改進后，將其與加權傅里葉變換方法結合，通過對原始差分采樣信號進行兩次加權操作和分步修正，同時解決了過渡過程和非同步采樣問題。二次加權傅里葉變換實現流程如圖1所示。

二次加權傅里葉變換方法由過渡過程位置確定0amp;1加權矩陣P1，具體確定方式為：將處于過渡過程位置的數據點權重置0，處于平穩臺階位置的數據點不變，權重置1；由改進后的準同步采樣方法確定準同步加權矩陣P2，該加權矩陣的具體元素受采樣信號長度影響。

如圖1所示，在二次加權傅里葉變換方法中，將經過兩次加權的信號Y2分解為Y'和P1相乘，先提取出目標信號Y'，其中Y'=Y·P2。通過這樣的操作先對0amp;1加權矩陣P1引入的信號畸變進行修正，消除過渡過程的影響。修正公式如下：

[C'=C·D]" " " " " " " " （1）

式中：C'為Y'的正余弦系數矩陣；C為Y2經過FFT計算所得到的正余弦系數矩陣；D為由P1確定的修正矩陣。[D]計算公式如下：

[D=（TP1F）-1]" " " " " " " （2）

式中：T為時間離散矩陣；F為離散傅里葉變換矩陣。

完成第一步修正后，再對信號Y'中所含準同步加權矩陣P2進行計算，補償非同步采樣引入的測量誤差。具體修正公式為：

式中：Am和ρm分別為第m次諧波的幅值和相角；a'和b'為C'中所含各次諧波的正余弦分量；Ymm和α均為對改進后的準同步采樣計算后所得修正參數；S為P2中各元素的和。

至此，二次加權和分步修正操作均已完成，可獲得準確的諧波電壓測量結果[16]。

2" 二次加權傅里葉變換方法誤差分析

準同步采樣方法[17?18]最早由東南大學的戴先中教授提出，最初應用在非正弦功率測量中。該方法能夠在同步偏差不是很大的情況下，通過增加采樣周期數并使用一種多重平均的思想，來修正非同步采樣帶來的誤差。首先對準同步采樣的誤差進行分析。

2.1" 準同步采樣算法誤差評估

以電壓信號y為例，公式如下：

[y（t）=Amsin（mt+φm）] （4）

式中：m為諧波次數；Am為諧波對應幅值；φm為諧波對應相角；t為以基波角頻率ω和采樣間隔為基礎所計算的相角，其取值范圍為[t0，t0+n（2π+Δ）]，Δ為同步誤差。準同步采樣定義的遞推公式如下所示：

式中ρt為選擇復化求積公式對應的權值系數。若將式（4）代入式（5）的遞推公式，可得：

式中I表示算式的實部。在非同步采樣下，即存在同步偏差時，設周期同步偏差為TΔ，L為采樣點數，則采樣時間序列t可寫為t=[t0，t0+（2π+TΔ[）L]，t0+2（2π+TΔ[）L]，…，t0+（2π+TΔ）]。以采用復化梯形求積公式為例，且滿足m（2π+TΔ[）L]≠2kπ（k為正整數）時，可得F1的推導式為：

顯然，式中：

考察式（8）可知，[γm]是m、L和TΔ的函數，與采樣的起始位置t0無關，繼續按照式（5）方式遞推n次（可理解為共采樣n個周期），易得：

[Fn=γnmfm（t0+nTΔ2）] （9）

式中[γnm]表示[γm]的n次方。當n足夠大的時候就能使得Fn很接近y（t）的平均值。

在實際使用準同步采樣方法時，特別是推廣到諧波測量分析中后，筆者希望采用較少的遞推次數n來獲得理想的結果，即在滿足目標誤差大小的前提下，選擇盡可能小的n，這在減少需要采集的信號點數的同時也減輕了計算的工作量。因此，對使用準同步方法后的誤差大小估計顯得尤為重要。

經推導，在滿足以下條件時：

有[γmlt;ξ]成立，則[γm]可由ξ估計。ξ的計算公式為：

式中：f為理想基波頻率；fr為實際的基波頻率。準同步采樣方法的誤差Δ的估計公式表示如下：

[Δ=γmn≈ξn] （12）

但是將準同步方法推廣到諧波測量分析中后，使用式（12）中給出的誤差估計公式[γmn]來進行估計將不夠準確，估計的誤差大小往往比實際測量結果高數個數量級。當然，這并不代表實際測量結果的誤差大小不理想，只是在計算諧波參數時忽略了一些小量，這些小量未進入計算結果，這樣的做法也是合理的。

在準同步采樣的諧波分析方法中，計算傅里葉變換后的各次諧波的正余弦系數時，因同步偏差的存在，使得欲求的分量前多了衰減因子Ymm；同時，在欲求的分量之外，還多了許多其他不需要的分量，這些分量之前也伴隨著衰減因子[Y'mm]、YmL和YLm。

令L為每周期采樣點數，ωΔ為角頻率同步偏差，ωL=2πf，K為最高次諧波次數。在滿足以下條件時：

[γmm]將遠大于其他3個衰減因子[19]。一般[γmm]會比其他3個衰減因子高數個數量級。

因此，在計算幅值等參量時，只取主衰減因子和其分量進入計算，舍棄其他小值。這也解釋了為何在準同步采樣應用到諧波測量分析時，式（12）的誤差大小估計會不準確，若使用[γmn]來進行誤差大小的估計，則需要將舍棄的其他3個衰減因子考慮進去，才能獲得較為準確的誤差估計。

2.2" 二次加權傅里葉變換方法誤差評估

在二次加權傅里葉變換中，為使準同步采樣方法能與基于PJVS的諧波電壓測量系統相結合，對準同步采樣做了改進。即將原先的nL+1點采樣改為nL點，每次遞推點數也從L+1點改為L點，并給出了新的修正系數以及參量修正公式。這保證了分配到階梯電壓信號中每個臺階上的采樣點數為整數，也保證了進入FFT計算的信號為整數個周期。這樣就確保了二次加權傅里葉變換方法的準確性。

在這樣的改動下，并未脫離準同步采樣算法的多重平均思想和其遞推方式的理論框架。若不考慮一次加權中對臺階上波動點的加權帶來的誤差，改進后的準同步采樣方法仍舊能夠采用式（12）給出的估計式來進行誤差大小的估計。

從式（8）中已經獲得這樣一個信息，即γm僅與m、L和TΔ有關，而m和L都為可定參數；同時，同步誤差是帶來測量誤差的根源，因此在進行算法的誤差估計時，應著重討論TΔ。

進一步對TΔ進行分析，可得TΔ=2π[fΔf]，其中fΔ為實際基波頻率與理想基波頻率的差，稱為頻率同步誤差，fΔ=fr-f。于是，可以得出這樣的結論：在非同步采樣中，頻率同步誤差是引入最終測量誤差的源頭。

考察γm的估計式，對其化簡后可得：

[ξ=frf-1=fΔf] （14）

結合式（12）和式（14）易得：頻率同步偏差[fΔ]的增大會引起周期同步偏差TΔ的增大，最終導致測量結果的準確度降低。

經研究分析，使用ξn來代替[γmn]進行誤差的估計更加方便。建議的做法是：以ξn估計出基波幅值的誤差大小，高次諧波的幅值誤差在基波基礎上降低1～3個數量級（在60次諧波以內）；頻率誤差和相角誤差相比幅值誤差稍低3～5個數量級。按此方式可以獲得較為準確的誤差大小估計。

2.3" 誤差評估示例

結合上述誤差評估方法，下面對任意參數設置下諧波測量幅值誤差進行計算及仿真分析對比。

設單次諧波電壓信號模型為：

[y=Amsin（mωt+φm）] （15）

式中：m為諧波次數；Am為各次諧波幅值；ω為基波角頻率；φm為各次諧波相角。

對式（15）所示單次諧波電壓信號模型設置5組實驗，諧波次數m分別為1（基波）、5、10、30和50，其具體參數設置如表1所示。

設置理想基波頻率f為50 Hz，實際基波頻率fr為50.1 Hz，則頻率同步偏差fΔ為0.1 Hz；設置每周期采樣點數L為2 000點，采樣頻率fs為fL，量子階梯電壓信號每周期臺階數N為40個，則每個臺階上的采樣點數（M=[LN]）為50點；取處于臺階過渡過程中的波動點位置為臺階開始和結束的12點，即S=13，E=38。在這樣參數設置下，可計算得到周期同步偏差TΔ和ξ的值為：

以諧波測量的絕對誤差水平達到1E-9量級為目標，將迭代次數設置為n=4，此時幅值誤差Δ≈ξn=0.0024=1.6E-11。并在此條件下與上述理論計算結果進行對比，仿真實驗結果如表2所示。

由仿真結果可見，5組單次諧波測量實驗中，各次諧波的幅值絕對誤差均已達到1.5E-10及以上水平，與計算結果相符。這表明上述誤差水平的估計方式是合理且準確的。此外，從表2還可以看出，基于二次加權傅里葉變換的諧波測量頻率誤差和相角誤差相較于幅值誤差分別相差3～5個量級。

3" 系統參數分析

3.1" 頻率同步誤差

頻率同步誤差fΔ是導致周期同步誤差出現、差分信號越來越大和頻譜泄露等問題的根源，這些問題最后都會在測量結果中引入不小的誤差。在理論層面，可以知道準同步采樣方法的測量準確度受fΔ大小的限制，其具體關系大致可描述為fΔ越大，測量誤差越大。

為了清晰地展現fΔ與測量結果的關系，選取表1中基波為實驗對象，其余實驗參數設置與2.3節中仿真實驗保持一致，分別做fΔ為0.01、0.05、0.1、0.2、0.3和0.5（單位為Hz）時的仿真實驗。6組實驗中測量的絕對誤差隨fΔ變化的趨勢如圖2所示。

由圖2可見，以基波為實驗對象時，3個參量的測量誤差走勢符合預期，即它們均隨fΔ增大而增大，但即使在極端情況下（fΔ=0.5 Hz），幅值絕對誤差仍有1E-10以上水平。這意味著在實際情況下，二次加權傅里葉變換方法能夠滿足一般的測量需要，且能獲得較為理想的準確度。

上述實驗中其余參數設置與2.3節中仿真實驗保持一致，迭代次數n設置為4，并不需要過多迭代即可滿足測量要求，這保證了二次加權傅里葉變換的易用性。

3.2" 諧波自身復雜程度

在上述討論中，都是針對單次諧波進行的實驗測量和分析，在實際情況下，諧波電壓信號常常更為復雜，一般為多次諧波雜糅疊加而成。泄露會對其余諧波分量造成影響，而影響測量的準確度。

不考慮直流分量，將式（15）單次諧波電壓信號模型擴展為式（17）所示的一般諧波電壓形式。

構造一個特征信號，它包括從1～60次諧波的分量，特征信號幅值比例見表3，其中幅值比例Rm=[AmA1]。

表3給出的各次諧波幅值比例并不是隨意確定的，它遵循著一般各種被測諧波信號的特點和規律，主要包括如下幾個方面：

1） 基波占主要的成分，任何次數的諧波都不大于基波的幅值（這也符合實際情況）；

2） 諧波一般按階次反比例下降；

3） 15次以后的諧波分量都很小。

為了方便具體分析，結合以上的歸納，本文對諧波電壓信號做如下的約定：

式中β是一個無量綱的系數。這樣的約定表明，2～10次諧波允許與基波有相近的幅值，10次以后允許按階次反比例下降。這是一個十分寬松的約定，且基本上目前所涉及的所有諧波波形都已包括在內。以構造的特征信號為對象進行測量，即可分析二次加權傅里葉變換方法對諧波電壓信號一般和極端情況下的測量能力極限。

在討論諧波測量分析誤差時，如果以其本身的幅值作為參考，往往由于本身很小而使相對誤差較大，這個概念就不能正確反映問題的本質。在實際分析時，參考國內外通行的方法，即以基波幅值為參考來計算相對誤差。

以幅值為例，記絕對誤差[ΔAm]為：

[ΔAm=AEm-Am] （19）

式中：[AEm]為實驗測量值；[Am]為真實值。

相對誤差[δAm]為：

[δAm=ΔAmAm] （20）

為了分析方便，本文把基波幅值作為參考，定義引用誤差[ΩAm]，其計算式為：

[ΩAm=ΔAmA1] （21）

以A1=1 V為例，取特征信號各次諧波的相角為0°，特征信號的波形如圖3所示。

圖4為各次諧波測量幅值的引用誤差。

使用二次加權傅里葉變換方法對特征信號進行測量，設置與實際情況更加貼近的fΔ，令fΔ=0.05 Hz，n取4和6，其余實驗參數設置仍選取與2.3節中仿真實驗一致。因A1=1 V，故引用誤差ΩAm等于絕對誤差ΔAm。從圖4中可以看出：在n取4時，各次諧波幅值引用誤差均小于5E-7；在n取6時，各次諧波幅值引用誤差均小于1.5E-9。

從實驗中可以得出這樣的結論：即使待測信號為特征信號這樣多次諧波疊加的信號時，二次加權傅里葉變換方法的測量準確度雖在高次諧波有較大的衰減，但整體上仍舊能夠得出較為理想的結果。此外，實驗中n取4或6，這并不是一個苛刻或者難以達成的條件，適當地增加采樣周期數可以有效地提高測量準確度。

3.3" 臺階個數與采樣點數

使用PJVS進行電壓測量，其關鍵點在于由PJVS產生相應的階梯電壓信號，對待測諧波電壓信號進行差分采樣[20]。差分采樣是指測量待測波形與階梯波形的差值，公式如下：

[d（t）=y（t）-z（t）] （22）

式中：[d（t）]為差分信號；[y（t）]為待測電壓信號；[z（t）]為階梯電壓信號。將被測量中的主要部分由已知的同種量代替，此處就是將穩定且準確度高的量子階梯臺階值代替被測信號的主要部分，只測量二者的差，這是在計量領域常用的一種測量方法。減小差分信號的幅值可以獲得更加準確的結果，因此如何減小差分信號的幅值成為關鍵。需要注意的是，這里的幅值大小指的是絕對值大小。

假設單周期采樣點數L確定，影響差分信號的主要參數有單周期階梯電壓臺階數N和每個臺階上的采樣點數M，其中M=[LN]。這表示N一旦確定，M也將隨之確定。

不考慮非同步采樣，圖5a）和圖5b）給出了N分別為20和40時的波形貼合程度和差分波形幅值大小的示意。可以看出，當N更大時，階梯波形與待測波形更加貼合，差分波形幅值也明顯減小。

當然，這并不意味著N越大就越好。為克服過渡過程波動點的影響，二次加權傅里葉變換的第一次加權將處于臺階上過渡過程的波動點賦權值0，其他點賦權值1。且根據已有研究可知，處于過渡過程的波動點數量并不是與M成比例的，而是一個固定值[21]。以S和E分別表示一個臺階上第一個和最后一個賦權值1的數據點位置，則臺階上未賦權值為0的點的總數量為E-S+1。在每周期采樣點數L確定的情況下，因N的增大必定會帶動M的減小，則E-S+1的值也隨之減少，這可以理解為整個周期內可用點的數量將減少。因此，在選擇臺階數時，需要綜合考慮以上因素。

綜上所述，為獲得理想的測量結果，在保證參與計算的采樣點數能滿足高頻諧波準確測量的前提下，差分信號幅值應控制在較小范圍內，以消除采樣非線性誤差的影響，根據此原則選擇合適的臺階參數N。

4" 結" 語

文中對二次加權傅里葉變換方法做了簡要介紹，并給出了該方法誤差評估的方法和示例。此外，還對頻率同步誤差、諧波復雜程度以及階梯電壓的臺階數和采樣點數這幾個關鍵參數做了分析和研究，旨在通過上述工作，使得二次加權傅里葉變換方法更加完善且易于實際使用。同時，研究表明二次加權傅里葉變換方法在一般的應用場景中都能夠滿足諧波測量需要。

通過文中對二次加權傅里葉變換方法更進一步的探討，驗證了PJVS測量諧波的可行性和普遍適用性，為實際測量的應用提供了理論依據。

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