大規模陣列Kronecker穩健波束形成器
2024-11-23 00:00:00王德伍虞泓波袁耀輝廖勝男陳燕
系統工程與電子技術 2024年6期
摘要： 針對大規模陣列對樣本需求量大、計算復雜度高的問題，提出一種應用于大規模陣列的Kronecker自適應穩健波束形成器。首先，將期望信號導向矢量分解成兩個導向矢量的Kronecker乘積，將原始導向矢量的失配問題轉化為兩個低維導向矢量的失配問題;然后，基于最壞情況性能最優原理建立雙二次代價函數，并利用雙迭代算法求解該代價函數，每次迭代過程只需求解兩個低維的二階錐規劃問題。理論分析和仿真實驗結果表明，與傳統全維穩健算法相比，所提方法能夠有效降低計算復雜度和樣本需求量，與現有的降維穩健算法相比，由于具有更多自由度，所提方法具有更高的輸出信干噪比。
關鍵詞： 大規模陣列; Kronecker積; 降維穩健波束形成器; 雙迭代算法; 二階錐規劃
中圖分類號： TN 953
文獻標志碼： A
DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.06.03
Kronecker robust adaptive beamformer for large array
WANG Dewu1，2， YU Hongbo2，*， YUAN Yaohui2， LIAO Shengnan2， CHEN Yan2
（1. School of Information and Electronics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China; 2. Beijing Institute of Radio Measurement， Beijing 100854， China）
Abstract： To solve the problems of the requirement of a large number of samples and high computational complexity for large array， a Kronecker robust adaptive beamformer is proposed in this paper. Firstly， the steering vector of the desired signal is decomposed into the Kronecker product of two low-dimension steering vectors， and the original steering vector mismatch problem is transformed into the corresponding two low-dimension steering vectors mismatch problem. Secondly， the bi-quadratic cost function is established based on the worst-case performance optimization principle， which is then solved by using the bi-iterative algorithm （BIA）. Only two low-dimension second-order cone programming （SOCP） problems need to be solved in per iteration. Theoretic analysis and simulations results show that compared with the conventional full-dimension robust algorithms， the samples required and computational complexity are reduced efficiently in the proposed approach. In addition， the higher output signal to interference plus noise ratio （SINR） is obtained for the higher degrees of freedom （DoFs） compared with the existing reduced-dimension robust algorithms.
Keywords： large array; Kronecker product; reduced-dimension robust beamformer; bi-iterative algorithm （BIA）; second-order cone programming （SOCP）
0 引 言
目前，自適應波束形成技術被廣泛應用于雷達、聲納、無線通信、語音處理、醫學成像等領域。通常自適應波束形成技術的目標是最大化輸出信干噪比（signal to interference plus noise ratio， SINR），以利于后續的目標檢測與識別。常用的最大化輸出SINR的方法是在最小化陣列輸出功率的同時對期望信號進行約束，以保證期望信號不損失，相應的波束形成器稱為最小方差無畸變響應（minimum variance distortionless response， MVDR）波束形成器。理論上，MVDR波束形成器性能可以達到最優［1］，但是在實際應用中，通常由采樣數據估計的協方差矩陣（相應的方法被稱為采樣矩陣求逆（sample matrix inverse， SMI）算法）與真實的協方差矩陣之間偏差較大，且由于陣元幅相誤差的存在，假定的導向矢量與真實的導向矢量之間存在失配，這些都會嚴重影響MVDR波束形成器的性能［2-30］。
近些年來，人們研究了穩健自適應波束形成（robust adaptive beamforming， RAB）方法，以提高MVDR波束形成器在實際應用中的性能［2-15，17-30］。文獻［2，12］提出了經典的Worst-Case RAB方法及其擴展模型。文獻［3］提出基于不確定集估計導向矢量的方法，且在文章中指出所提方法在一定條件下與Worst-Case方法等價。接著，文獻［4］提出了基于概率約束的RAB方法，該方法認為文獻［2］中最壞情況以一定的概率出現。文獻［5］提出一種利用序列二次規劃（sequential quadratic programming， SQP）進行迭代求解的穩健波束形成器，文獻［6］在SQP方法的基礎上提出了一種基于半正定松弛（semi-definite relaxation， SDR）的穩健波束形成器，SDR方法通過改變對待估計導向矢量的約束避免了SQP方法需要進行的序列迭代過程，進一步提高了計算效率。文獻［7］將SQP方法做了進一步改進，將導向矢量估計轉化為一個凸二次約束二次規劃（quadratically constrained quadratic programming， QCQP）問題。文獻［8-9］進一步研究了利用陣列幾何結構少部分先驗信息進行導向矢量估計的方法。文獻［10-15］研究了基于干擾及噪聲協方差矩陣重構的穩健波束形成方法。隨著現代陣列技術的發展，陣列規模達到成百上千，現有的一些穩健波束形成技術計算復雜度高、對樣本需求量大，這就限制了其在實際工程中的應用。為了解決大規模陣列的穩健波束形成問題，文獻［24-29］研究了降維RAB技術，文獻［25］將傳統的降維技術（如波束空間法）與文獻［3］中的穩健波束形成方法相結合，提出了降維穩健技術的理論框架，文獻［27-28］將著名的Krylov子空間降維算法與文獻［3］中的穩健技術相結合，提出了一種新的降維穩健波束形成算法，從而降低了計算復雜度和對樣本的需求量。
本文針對大規模均勻線陣，首先將期望信號導向矢量轉化為兩個低維導向矢量的Kronecker乘積，為了使得計算復雜度盡可能小，應使兩個低維導向矢量的維數盡可能接近或相等，然后基于最壞情況性能最優原理建立雙二次代價函數，根據循環最小化思想，文獻［16-21］利用雙迭代算法（bi-iterative algorithm， BIA）求解該代價函數，每次迭代過程只需求解兩個低維的二階錐規劃（second-order cone programming， SOCP）問題，且仿真實驗結果表明BIA算法能夠快速收斂，所提方法進一步降低了計算復雜度和對樣本的需求量，同時由于所提方法具有高于處理器維數的自由度（degrees of freedom， DoFs），與傳統降維穩健算法相比具有更高的輸出SINR。
1 信號模型及導向矢量的Kronecker積分解
假設一個均勻線陣（uniform linear array， ULA）含有K個天線陣元，如圖1所示，則天線陣列對于窄帶信號的接收數據矢量可以表示為
x（t）=c（θd）sd（t）+∑Pi=1c（θi）si（t）+n（t）（1）
式中：c（θd）為期望信號導向矢量;θd為期望信號波達方向;sd（t）為期望信號波形;c（θi）表示干擾信號導向矢量;θi為干擾信號波達方向;si（t）為干擾信號波形;P為干擾信號個數;n（t）為噪聲矢量;t表示時間。根據MVDR準則，SMI算法的權矢量為
ωSMI=αR^－1c（θd）（2）
式中：α為常系數;R^為采樣協方差矩陣：R^=∑Li=1x（i）xH（i），（·）H表示共軛轉置;L為樣本數。在實際應用中，樣本數不充分或樣本的非均勻性將導致估計的協方差矩陣與真實的協方差矩陣相差較大，且由于陣元幅相誤差等因素的影響，假定的導向矢量與真實的導向矢量之間存在失配，這些都將嚴重影響SMI算法的性能。本文中，首先對期望信號導向矢量進行Kronecker積分解為兩個低維的導向矢量，然后用兩個低維導向矢量的失配模型近似原始全維導向矢量的失配模型。
為了簡化表達式，下文中均用c代替期望信號導向矢量c（θd），式（1）中期望信號導向矢量c（θd）的形式為
c=1，ej2πdλsin θd，…，ej2πkdλsin θd，…，ej2π（K－1）dλsin θdT，
k=0，1，2，…，K－1（3）
式中：d為陣元間距;λ為波長，則期望信號導向矢量的失配模型可以表示為
c～=c+e（4）
式中：e表示失配矢量。觀察式（3）所示期望信號導向矢量，假設陣列維數滿足K=NM，則導向矢量c可以寫成兩個導向矢量Kronecker的乘積形式：
c=aUb（5）
式中：符號表示Kronecker積，且有
a=1，ej2πdλsin θd，…，ej2πndλsin θd，…，ej2π（N－1）dλsin θdT， n=0，1，…，N－1
b=1，ej2πNdλsin θd，…，ej2πmNdλsin θd，…，ej2π（M－1）Ndλsin θdT， m=0，1，…，M－1（6）
由式（6）可以看出，a可以看成是一個陣元間距為d、有N個陣元的陣列對應的導向矢量，b可以看成是一個陣元間距為Nd、有M個陣元的陣列對應的導向矢量。結合式（4），原始全維導向矢量的失配模型為
c～=ab+e（7）
下面用兩個低維導向矢量a和b的失配模型對原始全維導向矢量失配模型進行近似，假設
c-=（a+ea）（b+eb）=ab+aeb+eab+eaeb（8）
式中：ea∈CN×1為導向矢量a的失配量;eb∈CM×1為導向矢量b的失配量。令c～=c-，結合式（7）和式（8）可以得到
e=aeb+eab+eaeb（9）
實際中原始全維導向矢量的失配量e的L2范數通常相對導向矢量c很小，并不一定具有式（9）所示的形式，但是為了利用式（8）進行低維處理，可以用式（9）對失配量e進行近似，即有
e≈aeb+eab+eaeb（10）
這樣，原始陣列的導向矢量失配模型可以用式（8）近似表示。雖然式（9）并不一定成立，即全維導向矢量的失配量不一定具有如式（9）所示的耦合關系，但是從下面的仿真實驗結果可以看出，利用式（8）進行穩健處理具有良好的性能。
2 Kronecker穩健波束形成器
2.1 Kronecker穩健波束形成方法
本節將原始全維導向矢量分解為兩個低維導向矢量的Kronecker積，并用兩個低維導向矢量的失配模型來近似全維導向矢量失配模型，提出一種Kronecker積穩健波束形成器。假設ω∈CK×1為原始全維濾波器權矢量，基于權矢量分離思想［16-21］，將ω分解為兩個低維權矢量的Kronecker積，即有
ω=v*u（11）
式中：v∈CM×1;u∈CN×1。基于最壞情況性能最優原理，可得到如下的代價函數：
min E|（v*u）Hx|2
s.t.|（v*u）H［（a+ea）（b+eb）］|≥1（12）
式中：ea∈{ea|ea≤εa};eb∈{eb|eb≤εb};x=［x1，x2，…，xMN］T。εa與εb分別為低維導向矢量a與b的誤差上界?？梢钥闯?，式（12）所示為一個非凸的雙二次優化問題，難以直接求解，注意到
（v*u）Hx=uHXv（13）
式中：
即X∈CN×M為將數據矢量x進行重新排列得到的數據矩陣，一個簡單的表示為
X=reshape（x，N，M）（15）
式中：reshape（·）表示按列讀取矢量x的數據后，按列重新排列為一個N×M維矩陣。
因此，式（12）所示代價函數可以寫為
min E|uHXv|2
s.t.|（vT（a+ea）uH（b+eb）|≥1（16）
式（16）所示代價函數中的約束條件可以等價表示為
minea，eb|（vT（a+ea）uH（b+eb）|≥1（17）
假設誤差界εa與εb足夠小，|uHb|gt;εbu與|aTv|gt;εav成立，利用Cauchy-Schwartz不等式可以得到
|vT（a+ea）uH（b+eb）|=|uH（b+eb）||vT（a+ea）|≥
（|uHb|－|uHeb|）（|vTa|－|vTea|）≥
（|uHb|－εbu）（|vTa|－εav）（18）
此外，容易證明式（18）中等號成立，即
|uH（b+eb）|=|uHb|－εbu
|vT（a+ea）|=|vTa|－εav（19）
式（19）成立的條件［2］分別為
eb=－uuεbej?b， ?b=angle{uHb}
ea=－vvεaej?a， ?a=angle{vTa}（20）
式中：angle{·}表示取相位。結合式（18），式（16）所示代價函數可以表示為
minu，v f（u，v）=E|uHXv|2
s.t.（|uHb|－εbu）（|vTa|－εav）≥1（21）
可以看出式（21）所示為非凸的雙二次代價函數，難以直接求解。下面根據循環最小化思想，利用BIA算法求解式（21）所示代價函數。注意到，兩個變量u與v之間存在尺度模糊問題，即對于任一非零常數β，有f（u，v）=f（βu，1/βv）。在不影響輸出SINR的情況下，可以在迭代過程中將變量u進行歸一化處理，從而避免尺度模糊對BIA算法收斂性的影響。
基于循環最小化思想，首先假設變量u已知，則式（21）所示代價函數可以轉化為
minv f1（v）=vHRvv
s.t.|vTa|－εav≥η（22）
式中：Rv=∑Li=1XHiuuHXi;η=（|uHb|－εbu）-1。
式（22）所示仍為一個非凸的優化問題，從式（22）可以觀察到，對變量v進行一個任意的相位旋轉后，代價函數式（22）不發生變化，利用文獻［2］中的方法，式（22）所示代價函數可以寫為
minv f1（v）=vHRvv
s.t.vTa－εav≥η
Im{vTa}=0（23）
式中：Im{·}表示取虛部。這樣，式（22）問題就轉化為式（23）所示的SOCP問題。
其次，假設變量v已知，則式（21）所示代價函數可以轉化為
minu f2（u）=uHRuu
s.t.|uHb|－εbu≥μ（24）
式中：Ru=∑Li=1XivvHXHi;μ=（|vTa|－εav）-1。式（24）所示代價函數也是一個非凸的優化問題。觀察式（24）可以看出，對變量u進行任一相位旋轉后，原代價函數也保持不變。同樣地，利用文獻［2］中的方法，可以將式（24）轉化為
minu f2（u）=uHRuu
s.t.uHb－εbu≥μ
Im{uHb}=0（25）
這樣，式（24）所示代價函數也被轉化為一個SOCP問題。
綜上所述，基于循環最小化思想，用BIA求解式（21）所示代價函數的算法流程如下。
步驟 1 對變量u初始化，設初值為u（0），并對u（0）進行歸一化，使得u（0）=1，給定迭代停止參數δ，0lt;δlt;lt;1。
步驟 2 將u（k－1）代入式（23）所示代價函數，通過求解式（23）所示代價函數，得到變量v的解v（k－1）。
步驟 3 將步驟2中求得的v（k－1）代入式（25）所示代價函數，通過求解凸優化問題式（25），得到u（k），然后對u（k）進行歸一化，令u（k）=u（k）/u（k）。
步驟 4 驗證u（k）－u（k－1）≤δ是否成立，如果成立則停止迭代;否則令u（k－1）=u（k），繼續執行步驟2和步驟3，直至u（k）－u（k－1）≤δ成立。
BIA算法流程如算法1所示。
算法 1 利用BIA算法求解低維導向矢量u和v輸入 u（0），δ，Niter輸出 u，v1k=1;2u（k）=u（k）/u（k）;3For k=1：Niter4
Rv=∑Li=1XHiu（k－1）u（k－1）HXi;5
η=1u（k－1）Hb－εbu（k－1）;6
v（k－1）←minv f1（v）=vHRvv
s.t.vTa－εav≥η， ImvTa=0;7
Ru=∑Li=1Xiv（k－1）v（k－1）HXHi;8
μ=1v（k－1）Ta－εav（k－1）;9
u（k）←minu f2（u）=uHRuu
s.t.uHb－εbu≥μ， ImuHb=0;10
u（k）=u（k）/u（k）;11 Ifu（k）－u（k－1）≤δ then12
break;13 end14end15u=u（k），v=v（k－1）
假設利用上述BIA算法求得變量u與v的最優解分別為u～與v～，結合式（11）可以得到所提方法的濾波器權矢量為
ωKronecker=v～*u～（26）
對于所提的BIA算法，可以得到如下性質：
性質 1 式（21）中代價函數f（u，v）是連續的。
性質 2 BIA算法基于循環最小化思想，因此可以得到
f（u（k-1），v（k-1））≥f（u（k-1），v（k））=minv f（u（k-1），v）≥
f（u（k），v（k））=minu f（u，v（k））
性質 3 式（12）中代價函數有下界。令wtr=（v*u），R=E{xxH}，則有f（u，v）=wHtrRwtr≥λminwtr2，其中λmin為R的最小特征值。由文獻［22］和文獻［23］可知，根據LaSalle準則，所提BIA算法是漸進收斂的。
2.2 樣本需求量、計算復雜度及自由度分析
由第2.1節中BIA算法求解代價函數式（21）的流程可以看出，所提算法需要估計協方差矩陣Ru∈CN×N、Rv∈CM×M，因此所提算法的樣本需求量應大于2max{M，N}［16］，而全維處理時的樣本數應大于2MN，這樣本文方法的樣本需求量遠小于全維處理時的樣本需求量。在每一步迭代過程中，需要分別求解N維與M維的SOCP問題，因此每一步迭代過程消耗的計算復雜度為O（N3+M3），從下文的仿真實驗可以看出，BIA算法經過3步左右即可收斂，因此所提算法的計算復雜度遠低于全維處理的Worst-Case算法（全維處理時為O（N3M3））。
由于權矢量u與v分別包含了N個與M個獨立變量，則本文方法所能提供的自由度為M+N［16］。為滿足式（23）與式（25）中的約束條件，將占用少部分自由度，因此本文方法能夠抑制的干擾個數在［max{M，N}，M+N］內。本文方法能夠提供比處理器維數多的自由度，這也是本文方法優于傳統降維穩健算法（如文獻［25-28］中的方法）的原因。
3 仿真實驗與性能分析
假設天線陣列為一個ULA，陣元個數為100，陣元間距均為半個波長。目標信號波達方向為3°，噪聲功率為0 dB。所提算法將全維導向矢量分解為兩個10維導向矢量的Kronecker積，即有N=10，M=10，兩個低維導向矢量的誤差界分別設置為εa=2，εb=2。仿真實驗分為兩組，一組為干擾個數較少情形，一組為干擾個數較多情形，干噪比（interference to noise ratio， INR）均為30 dB。4種算法用來與所提算法進行性能對比：① 全維最壞情況性能最優算法（full-dimensional Worst-Case， F-Worst-Case）。根據文獻［2］誤差界的選取，應滿足ε1lt;K=10，因此F-Worst-Case的誤差界設為ε1=8;② 全維對角加載矩陣求逆（loaded sample matrix inverse， LSMI），對角加載水平為噪聲功率的10倍;③ 文獻［25］中降維穩健波束形成（reduced-dimensional robust Capon beamforming， RD-RCB）算法，采用波束形成空間（beamforming spatial， BS）法構造降維矩陣，降維后處理器維數為10，將不確定集參數設置為ε2=6;④ 文獻［27］基于正交降維矩陣的Krylov子空間穩健波束形成算法（orthogonal powers-of R under spherical uncertainty set， O-PoR-Spherical），該算法將真實導向矢量限定在球形不確定集中，利用Krylov子空間方法構造列正交的降維矩陣，降維后處理器維數為10，不確定集參數設置為ε3=6。所有凸優化問題均采用CVX工具包［31］進行求解。存在幅相誤差和角度誤差時輸出SINR隨輸入信噪比（signal to noise ratio， SNR）、樣本數、迭代次數的變化曲線分別如圖2、圖3所示。除圖2（c）和圖3（c）為單次實驗的結果外，其余圖中實驗均為100次獨立重復實驗取平均值的結果。此外，本文中OPT算法表示理論最優MVDR算法，作為性能上限給出。
實驗 1 假設空間遠場處存在兩個點干擾，波達方向分別為30°，50°，圖2給出了5種算法抗陣元幅相誤差的性能。假設陣元幅相誤差標準差為0.04，圖2（a）給出了在樣本數為40時，5種算法輸出SINR隨輸入SNR的變化曲線。從圖2可以看出，在整個SNR范圍內，本文方法均取得了最高的輸出SINR。由于樣本數較少，全維處理的Worst-Case算法與LSMI算法性能較差。由于本文方法采用迭代降維處理，具有更高的自由度，因此本文算法相對于O-PoR-Spherical與RD-RCB算法具有更高的輸出SINR。圖2（b）給出了在SNR為10 dB時5種算法的樣本收斂性曲線，從圖中可以看出，在小樣本條件下本文算法相對于其他4種算法取得了更高的輸出SINR，具有更快的樣本收斂性。圖2（c）給出了在樣本數為40、SNR為10 dB時，BIA算法求解過程的收斂曲線。可以看出，經過3至4步，BIA算法即可收斂，這種快速收斂性說明本文方法具有較低的計算復雜度。
圖3給出了5種算法抗角度失配的性能。假定的目標信號方向為3°，而真實的目標信號方向為2.7°，即存在0.3°的角度失配，參數設置如前所述。圖3（a）給出了樣本數為40時5種算法輸出SINR隨輸入SNR的變化曲線，可以看出在整個SNR范圍內本文方法依然取得最高的輸出SINR。圖3（b）給出了在SNR為20 dB時，5種算法的樣本收斂曲線，從圖中可以看出本文方法在樣本數為20時已開始收斂，且在小樣本條件下取得最高的輸出SINR，具有最快的樣本收斂性。圖3（c）給出了BIA算法求解過程的收斂曲線，從圖中可以看出，BIA算法具有快速收斂性，經過3步即可收斂。
實驗 2 假設空間遠場處存在14個干擾，波達方向分布為［－80：10：－20，20：10：80］°，假設期望信號方向為3°，而真實目標信號方向為2.9°，期望信號方向與真實目標信號方向存在0.1°的失配，同時考慮陣元幅相誤差，假設陣元幅相誤差標準差為0.04，各算法的參數設置如前所述。圖4為在樣本數為40時，5種算法輸出SINR隨輸入SNR的變化曲線。從圖4可以看出，干擾數大于降維后處理器維數，RD-RCB算法沒有足夠多的自由度來抑制干擾，因此RD-RCB算法性能嚴重下降;由于利用Krylov子空間降維方法構造列正交的降維矩陣時，已經具有預濾波的能力，因而O-PoR-Spherical算法仍能保持較好的性能;由于樣本數較少，F-Worst-Case算法與LSMI算法在高SNR時性能較差;而本文方法由于具有更多的自由度，在整個輸入SNR區間內都取得較高的輸出SINR，因此本文算法性能優于其他算法。
下面對5種算法的計算復雜度進行分析，忽略二階及以下項，F-Worst-Case與本文方法均需要求解SOCP問題，用內點法求解一般在10步前后收斂。為便于分析，假設求解SOCP問題需迭代10步，從仿真實驗可以看出BIA算法在3步前后即可收斂，故假設BIA算法需迭代3步。為使得本文方法計算復雜度盡可能小，在對全維導向矢量進行Kronecker積分解時，應盡可能使兩個低維的維數相等或接近，可以假設M=N。假設RD-RCB與O-PoR-Spherical降維穩健算法降維后處理器維數為D，為便于在同階進行比較，可以假設M=N=D，5種算法的計算復雜度如表1所示。
由于本文算法采用迭代降維處理，與全維算法F-Worst-Case、LSMI算法相比，本文算法計算復雜度大大降低，但是由于采用迭代降維處理，本文算法在計算過程中與RD-RCB、O-PoR-Spherical相比增加了迭代次數，使得計算效率低于RD-RCB與O-PoR-Spherical算法，但是理論分析和仿真實驗結果表明，本文方法能夠取得更高的輸出SINR。
4 結 論
本文通過將全維導向矢量進行Kronecker積分解，并利用兩個低維導向矢量的失配模型來表示全維導向矢量失配模型，然后基于最壞情況性能最優原理建立雙二次代價函數，并利用BIA算法進行求解。理論分析和仿真實驗結果表明，BIA算法能夠快速收斂，與傳統全維處理算法相比，本文方法能夠大大降低計算復雜度和樣本需求量，與現有的穩健降維算法相比，本文方法由于能夠提供比處理器維數更多的自由度，因而具有更好的干擾抑制能力，能夠獲得更高的輸出SINR。
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作者簡介
王德伍（1988—），男，高級工程師，博士研究生，主要研究方向為雷達系統總體設計、雷達信號處理與數據處理。
虞泓波（1988—），男，高級工程師，博士，主要研究方向為雷達系統總體設計、陣列信號處理。
袁耀輝（1995—），男，工程師，碩士，主要研究方向為雷達系統總體設計、電子對抗。
廖勝男（1984—），女，高級工程師，碩士，主要研究方向為雷達系統總體設計、電子對抗。
陳 燕（1972—），女，研究員，碩士，主要研究方向為雷達系統總體設計。
