橫向理解教材特點 縱向促進結構進階

【摘要】結構視域下，以人教版、蘇科版、滬科版七年級上冊為例，從教材的內容結構、內容組織、欄目設置、習題編排等方面，研究分析新版初中數學教材關于“數與代數”領域編寫的特點.總結了三條教學啟發：理解教材中的知識結構、設計促進從知識結構到認知結構的教學、注重從認知結構化向思維結構化的滲透.

【關鍵詞】新教材；數與代數；教材特點；對比研究

1問題提出

數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）在“課程理念”中明確提出：“設計體現結構化特征的課程內容.”[1]這就要求新教材所選內容應注重體現數學的本質，重點要對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑.本文基于建構代數知識結構的視角，以人教版、蘇科版、滬科版七年級上冊為例，從教材的內容結構、內容組織、欄目設置、習題編排等方面，研究分析新版初中數學教材關于“數與代數”領域編寫的特點.

2對比分析

2.1內容結構的對比研究

內容結構的對比研究，詳見表1.

從內容結構對比分析，有理數和代數式以及整式加減的條目數量一致.但“方程與不等式”這一主題，人教版和蘇科版內容只安排了一元一次方程，而滬科版在一元一次方程學習的基礎上又安排了二元一次方程組、三元一次方程組的內容.

從三個版本的教材編寫來看，在教材編寫中，編者充分考慮到內容結構化特征，以主題的核心概念為線索，將相同本質特征的內容整合為一個主題，更好地體現了學科內容的本質特征和學生學習的特征.

具體到“數與代數”領域的三章整體設計來看，具有較強的關聯性和內在邏輯性，便于學生構建結構化知識體系.先從算術數到有理數，反映了運算的需要（負數的引入保證減法的實施）.再從“數”到“式”的拓展，體現“數”“式”運算的一致性，它們又是“一元一次方程”學習的基礎.“一元一次方程”的學習又讓學生進一步體會前兩章的價值.

從初等數學來看，對方程的研究也促進了數與式（多項式）的研究.注重來龍去脈，有利于教師在教學過程中幫助學生有效地理解知識與方法、積累活動經驗、提高“四能”，開展素養導向的教學.

2.2內容組織的對比研究

內容組織的對比研究，詳見表2.

2.2.1概念獲得的分析

概念獲得主要有概念形成和概念同化兩種形式[2].三個版本的教材在主要概念呈現上都體現了概念形成的特點.比如，一元一次方程的概念，首先呈現正例，再通過分析例子的共性，進而歸納概括出概念的本質，屬于歸納推理.在呈現“倒數”和“方程的解”這兩個概念時，蘇科版采用先給出概念，再舉例解釋的形式，屬于演繹推理，而人教版和滬科版依舊采用概念形成的模式，通過案例抽象出概念.

在數學概念學習中，學習素材的數量、變式、典型性對于數學概念的學習都有影響.三個版本的教材，從素材的數量分析有相同點也有不同之處.比如，在引入“單項式”概念時，人教版和滬科版給出4個例子，蘇科版呈現5個例子，在此基礎上歸納出“單項式”的概念.在“正數和負數”概念引入的過程中，人教版和滬科版各呈現了3個例子，而蘇科版教材給出4個例子.在比較中也發現有部分概念引例差異比較大.比如，“代數式”引入環節人教版、蘇科版、滬科版的呈現案例數分別是5，4，9，由此也可以推斷出滬科版教材編寫者對于“代數式”這一概念的重視.另外，三個版本特別重視乘方、同類項、移項等基本概念的教學，多維度引導學生領悟概念的內涵，深刻理解概念的應用價值.教材采取從整體到局部、從簡單到復雜、從特殊到一般的方法建構知識體系，為后續代數學習奠定基礎.

2.2.2重視數式通性

初中階段（七年級上冊）數的運算由正有理數運算拓展到更一般的有理數運算，由數的運算拓展到代數式的運算，進一步拓展到方程的求解.數式通性體現了抽象能力和運算能力兩個維度的核心素養.三個版本的教材在運算法則呈現上都注重過程性.比如“有理數加法”，首先探究幾道算式的算法，獲得法則，然后追加“思考”活動完善法則，建立新舊聯系，再通過例題示范和練習變式強化對法則的理解.構建數與式的知識結構，重視數式通性，有利于學生形成良好的知識結構.

2.2.3數式運算的進階升級

分析發現，三個版本教材關于七年級上冊部分“數與代數”的編寫既關注數學內容結構的合理性，又關注學習內容的階段性.例如，新教材設計的相應內容，讓學生經歷從數的具體計算過渡到式的抽象運算的過程，為進一步學習方程、不等式和函數等內容奠定基礎.

圖1是各運算之間的進階升級，具有一定的相互關系.

在教學中，數式的各級運算出現在不同的年級、不同的學段，教師容易陷入對具體數學知識的傳授和對基本計算技能的探尋，而忽略不同級運算之間的本質屬性和關聯，導致碎片化教學，不利于學生對知識的整體性建構[3].教師在教學中要把握教材內容結構，著重關注核心素養的整體性，“三會”在教材中的表現相對獨立又相互影響，構成一個有機整體，不僅要關注教學內容的主線，也要關注核心素養培養的一致性.

2.3欄目設置的對比研究

欄目設置的對比研究，詳見表3.

對比分析可以發現教材在呈現學習材料時，充分考慮到知識的發生發展過程與學生建構知識過程的統一.首先章引言整體交代了一章的學習內容和研究路徑，每一小節再按照概念、法則的學習規律，通過“觀察”“交流”“討論”“探究”等活動有序呈現學習內容.從具體例子中歸納共性，進而形成概念或者歸納出性質，再給予例題講解分析和變式練習，有利于學生建構科學的知識體系.三個版本教材都重視新課程理念的落實，其中人教版的“閱讀與思考”“數學活動”“探究與發現”、蘇科版的“數學探究”“嘗試”“閱讀”、滬科版的“數學拓展”“數學史話”等欄目設置形式多樣，充分考慮到初中生學習的特點，激發學生興趣，引導學生探索，促進學生多樣化、個性化發展.人教版教材還特別增設了“信息技術應用”這一板塊，它與其他數學活動的區別在于需要用到跨學科知識（信息技術學科）解決實際問題，體現了智能技術在提高復雜問題的解決效率方面的重要作用，而其他數學活動主要是用本章的數學知識解決問題.這符合《新課標》提出的項目化學習的意圖，給廣大教師提供了教學研究方向.

2.4習題編排的對比研究

習題編排的對比研究，詳見表4.

教材習題是教材的重要組成部分，它的編寫以課程標準為依據進行整體設計.教材習題既是促進學生對知識內容掌握的一個重要載體，也是檢查學生知識結構是否完善的有效手段，更是評價學生核心素養水平發展的重要指標.

根據統計分析發現，三個版本的習題形式主要類型相同，都設置了例題、練習、習題、復習題四類練習題.從習題數量上分析，人教版和滬科版在“數與式”這一主題的例題和練習數量略高于蘇科版，而蘇科版在復習題數量又高于人教版和滬科版.根據課程標準分析，三個版本的習題設置都是鞏固學生對于知識結構的掌握，進一步形成合理的認知結構.

總體來看，三個版本教材編排考慮了習題典型性、基礎性和階梯性.比如，復習題都能夠分層設計，循序漸進.但也發現習題考查數量略多于課程標準目標要求數量，這就需要在教材習題設計時精簡題量、優化題型，盡量用簡練的題目考查到課程標準中的要求.

3教學啟示

3.1理解教材中的知識結構

教材編寫體現了結構化特征的課程內容，教師要充分理解教材內容的知識結構.在分析數學內容本質和學生認知規律的基礎上，以章為單位整體設計教學內容，科學安排章節順序和知識點分布，使教材結構清晰、層次分明.

如有理數這一章，以“概念—性質—運算—應用”為主線，展開本章內容，體現了研究“數”的一般過程.三個版本的教材在章末復習階段“知識體系”結構框圖的設計上更加注重整體性，強化知識之間的關聯，幫助學生構建知識網絡.如三個版本關于有理數章節的結構框圖（圖2，3，4）呈現清晰、有條理，能夠體現數學對象研究的一般思路，引導學生學會思考、學會學習.

從知識發生發展的過程更深層次地理解知識結構，比如教師要理解自然數的研究蘊含著數系研究的基本框架和代數的基本思想.

這種有理數研究的基本框架奠定了后面數系擴充的研究框架，而保持運算的相容性和運算律的一致性則構成了數系擴充中歸納建構需要繼承的基本運算性質.運算律是代數結構的共同的重要事實，是代數學的基石[4].

3.2設計促進從知識結構到認知結構的教學

學科概念、原理等知識是有內在聯系的，其本質就是學科的知識結構；而認知結構是學生大腦里的學科知識按照自己的理解深度與廣度結合自己的思維、聯想等認知特點組成的一個具有內部規律的整體結構.教師可以設計從知識結構到認知結構的教學，讓學生感受到知識的整體性和連貫性，促使學生獲得結構化的數學知識.

教學中要注重教學內容的重組、知識的拓展和延伸、知識的梳理和統整以及專題式和主題式教學方式.比如，七上乘方的意義學習之后，在七下研究同底數冪乘法的運算性質時，教師將“冪的乘方”“積的乘方”的運算性質采用相同設計思路，在同一節課將三個運算性質同時呈現，體現了知識之間前后的縱向聯系，如圖5.

教師將教材進行重構和整體設計，引導學生經歷“計算—分析—猜想—推證—總結—推廣”等過程，把緊密關聯的知識串在一起，形成整體，達成認知合力，使學生既看到“樹木”又看到”森林”，充分領會知識的發展規律和鏈接點，形成良好的認知結構[5].

3.3注重從認知結構化向思維結構化的滲透

新課程理念下的結構化教學，注重結構化思考的方法和方向滲透.在教學過程中設計系列活動促使學生不斷地結構化思考，注重滲透結構化思考的方法，培養一種數學的思維方式和思維習慣.數學結構化思維是以數學知識的結構為思維對象，以對數學知識的結構進行建構為思維過程，通過對數學知識的結構進行梳理建立結構化的數學知識網絡.

基于教材編排結構和知識體系結構的視角，在教學中運用整體化、結構化思想進行數學知識的教學.圖6揭示了數式概念、性質、運算之間的內在關聯，有效地培養學生的數學結構化思維[6].

總之，在日常教學中教師應根據教材的內容和學生的認知規律因材施教，開展結構化教學，促進學生理解性的學習，使學生在問題解決中實現知識的遷移和學習能力的遷移，從而發展學生的數學結構化思維，促進學生的核心素養的養成.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：3.

[2]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].第3版.北京：北京師范大學出版社，2022：112.

[3]劉志昂.數式通性：代數知識結構化的整體性教學[J].中國數學教育，2024（11）：47-50.

[4]吳增生.在結構化知識體系整體建構和綜合應用中發展數學核心素養：有理數與實數[J].中國數學教育，2023（09）：18-22.

[5]呂亞軍，印冬建，戴健.指向素養提升的初中數學結構化教學的探索與實踐[J].數學通報，2024，63（02）：25-29.

[6]劉志昂.數式通性：代數知識結構化的整體性教學[J].中國數學教育，2024（11）：47-5.

作者簡介樊允浩（1984—），男，安徽潁上人，高級教師，合肥市瑤海區中學數學教研員；主持并順利完成多項省、市級課題；發表論文多篇；主要從事數學教育研究.

陳鋒（1977—），男，江蘇無錫人，博士研究生，正高級教師；主要從事數學課堂教學研究.

鄧小妹（1995—），女，安徽定遠人，一級教師，本科學歷;主要從事數學教育研究.