運用“小結(jié)與反思”提高章節(jié)復習的有效性

【摘要】新浙教版教科書“小結(jié)與反思”中的“知識梳理”與“回顧與反思”是由原教科書的填空與填表改編成的.許多教師沒有領(lǐng)會新教材編寫的意圖，還是“新歌老唱”.以“有理數(shù)”章復習為例，談?wù)劇靶〗Y(jié)與反思”的使用與開發(fā)：利用“回顧與反思”給出知識回顧的線索；利用“知識梳理”構(gòu)建與優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)圖；利用“目標與評定”檢測學習的達成.

【關(guān)鍵詞】小結(jié)與反思；有理數(shù)；章復習

隨著《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）的頒布，初中數(shù)學各種版本教科書根據(jù)“新課標”理念進行了修訂與編寫，編寫者通過兩年的努力，新一輪教科書于2024年秋季投入試用.“新課標”提出課程“設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”“課程內(nèi)容的組織重點是對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合”[1].新浙教版教科書非常重視課程內(nèi)容的“結(jié)構(gòu)化”，例如，新浙教版教科書在“小結(jié)與反思”處進行重大的修訂，把原浙教版教科書章中“小結(jié)”改編成“小結(jié)與反思”，章中“小結(jié)”內(nèi)容由原來的填空和填表改編成“知識梳理”與“回顧與反思”.“知識梳理”是對本章的知識與蘊含的思想方法進行簡明扼要的概括，概括之后給出本章知識結(jié)構(gòu)圖；“回顧與反思”卻是以問題驅(qū)動的方式再次反思本章所學的內(nèi)容.在實際教學調(diào)研中，發(fā)現(xiàn)許多教師還沒有意識到新浙教版教科書章“小結(jié)與反思”的變化，有的教師還是用填空與表格的形式進行知識的回顧與提取，沒有領(lǐng)會新教材編寫的意圖，更沒有體會“新課標”所倡導的知識“結(jié)構(gòu)化”理念.那么如何利用新教科書中的“小結(jié)與反思”這一資源有效地促進復習課教學呢？本文以浙教版七年級上冊第一章“有理數(shù)”為例，談新浙教版教科書“小結(jié)與反思”的使用與開發(fā)，供同行們參考.

1利用“回顧與反思”給出知識回顧的線索

新浙教版教科書在“小結(jié)與反思”中都有“回顧與反思”的欄目，欄目的內(nèi)容以問題的形式給出，這些問題覆蓋了本章的大部分知識.例如在“有理數(shù)”一章中，給出了如下的問題：

（1）分類是一種重要的數(shù)學思想.有理數(shù)可以分成哪幾類？有幾種分類方法？本章還有哪些體現(xiàn)分類思想的例子？

（2）數(shù)軸是怎樣的一條直線？怎樣用數(shù)軸解釋一個數(shù)的相反數(shù)和絕對值？數(shù)軸能把抽象的數(shù)用直線上的點直觀地表示出來.利用數(shù)軸的直觀性，能更好地理解相反數(shù)和絕對值.數(shù)軸還能幫助我們解決什么問題？

（3）比較兩個有理數(shù)的大小，有哪些方法？

（4）在本章學習中，你還獲得哪些解決問題的方法和經(jīng)驗？有哪些需要提醒自己和同學注意的問題[2]？

首先，問題1是對分類方法的回顧，數(shù)學思想方法是一類默會性知識，需要在具體活動中進行體驗與感悟；問題2與3主要是對“數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值以及有理數(shù)大小的比較法則”的知識進行回顧，是對一類陳述性知識的再現(xiàn)與反思；問題4反思本章的學習過程，感悟其中的經(jīng)驗與方法，學會分享.經(jīng)驗與方法是一類策略性知識，它需要學生在反復做相同的事情中提煉與概括，需要結(jié)合具體的問題或者活動，才能領(lǐng)會其中的經(jīng)驗與方法.

教科書中給出了4個問題，但在實際的復習中，我們需要進行補充、調(diào)整與修改.例如上述4個問題沒有涉及負數(shù)，為什么要引入負數(shù)，考慮到數(shù)學知識的邏輯性，本章“有理數(shù)”沒有涉及有理數(shù)的運算，大部分教科書都是基于現(xiàn)實生活中具有相反意義的量而引入負數(shù)，事實上站在數(shù)學的發(fā)展角度，相反意義的量不是引入負數(shù)的本質(zhì)原因.因此，在實際復習中要滲透數(shù)系擴充的一般觀念，為后繼從有理數(shù)到實數(shù)的擴充作好鋪墊.

其次，由于數(shù)學思想方法是一類默會性知識，抽象的思想方法需要對具體的問題進行設(shè)問，因此問題1需要結(jié)合具體問題再提煉與概括；而問題4卻是一類策略性知識，思維含量高，不宜在回顧中給出高難度的問題，應(yīng)放在總結(jié)處.

綜合上述的分析與思考，可補充如下幾個問題：

（1）小慧這兩天的微信收支情況如下：9月9日媽媽給的零用錢為45元；9月10日消費了50元.

①請用正負數(shù)填寫上表.

②分析這兩天微信結(jié)余多少元？

③為什么要引入負數(shù)？你有哪些思考？

④梳理已學的數(shù)，數(shù)的范圍擴大了幾次？每次擴大數(shù)的范圍時，引入一類新數(shù)的原因是什么？

（2）下列各數(shù)：-3，-6/7，0，5.1，-1，3.你能對這些數(shù)進行分類嗎？有理數(shù)可以分成哪幾類，有幾種分類方法？

（3）數(shù)軸是怎樣的一條直線？-2和2在數(shù)軸上的位置有何特征，你能用數(shù)軸解釋它們的特征嗎？

（4）-3的絕對值在數(shù)軸上的含義是什么？哪些數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)？

（5）比較-2/3與-5/7的大小.

2利用“知識梳理”構(gòu)建與優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)圖

自從“新課標”倡導知識結(jié)構(gòu)化以來，一線的教師們越來越意識到知識結(jié)構(gòu)化的重要性，學生的認知結(jié)構(gòu)是通過知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來，有條理、有邏輯的知識結(jié)構(gòu)可以把外在的知識內(nèi)化為學生的認知結(jié)構(gòu).因此，在復習課中，老師們也開始指導學生對單元或者章節(jié)知識進行導圖的構(gòu)建，然而知識導圖如何構(gòu)建，為什么是這樣構(gòu)建？教師也不是很清楚，大部分教師也是直接參照章節(jié)復習課中的知識框架圖，或者抄寫各類教輔的知識導圖等.總之，怎樣讓學生學會構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖也成為復習課中的一個難點.新浙教版教科書在這一方面提供了可操作的方法.

例如，七年級上冊第一章“有理數(shù)”的知識與梳理如下：

本章在小學學過的自然數(shù)、分數(shù)（小數(shù)）的基礎(chǔ)上，學習了負數(shù)，使數(shù)的范圍從自然數(shù)、分數(shù)擴充到了有理數(shù).數(shù)軸不僅能直觀表示數(shù)，還能幫助我們認識相反數(shù)和絕對值，進行數(shù)的大小比較.借助絕對值，能將負數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為正數(shù)的大小比較.分類、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化是本章學習中常用的思想方法.

通過上述知識與梳理，教材得到如圖1所示的知識結(jié)構(gòu)圖.這樣的知識結(jié)構(gòu)圖是如何得到的呢？

實際上，知識與梳理是對本章所學過的內(nèi)容按照時間的先后進行回顧，在小學階段，首先學習自然數(shù)，再學習分數(shù)（小數(shù)），這些數(shù)都是正數(shù)，到初中階段引進負數(shù)，數(shù)系擴充到有理數(shù)，得到圖1左邊部分知識結(jié)構(gòu)圖.借助數(shù)軸把有理數(shù)序列化、直觀化，先后學習相反數(shù)、絕對值與有理數(shù)的大小比較.值得一提的是這里的知識結(jié)構(gòu)圖不是知識間的所屬關(guān)系，它體現(xiàn)了學習知識的一種先后關(guān)系.

知識與梳理除了對知識回顧外，還有對本章知識所蘊含的思想方法進行回顧，那么如何在知識結(jié)構(gòu)圖中體現(xiàn)數(shù)學思想方法呢？在圖1的基礎(chǔ)上，為了更好地體現(xiàn)數(shù)學思想方法，對圖1的知識結(jié)構(gòu)圖進行位置調(diào)整，比如有理數(shù)與數(shù)軸蘊含了數(shù)形結(jié)合與對應(yīng)的思想，數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是一對特殊位置關(guān)系的點，這是從形的視角看，如果從數(shù)的視角看，相反數(shù)也蘊含了數(shù)形結(jié)合思想.相反數(shù)與有理數(shù)的大小比較蘊含了轉(zhuǎn)化的思想，借助絕對值把負數(shù)轉(zhuǎn)化成正數(shù)，同時有理數(shù)的大小比較延續(xù)以前正數(shù)的大小比較，蘊含了類比推理的思想，這樣就得到圖2的知識結(jié)構(gòu)圖.

引入負數(shù)，數(shù)系擴充到有理數(shù)，類比小學中自然數(shù)的學習路徑：自然數(shù)（符號表示0，1，2，3等）→序（大小比較）→運算與運算律.基于數(shù)系擴充內(nèi)在的一致性看，對有理數(shù)一章的知識結(jié)構(gòu)可以整理成如下：引入與定義（有理數(shù)）→表示（有理數(shù)符號表示、數(shù)軸）→性質(zhì)（大小、相反數(shù)、絕對值）→運算與運算律.

上述知識結(jié)構(gòu)圖整理從最初的知識梳理得到圖1的知識結(jié)構(gòu)圖，然后再基于數(shù)學思想方法，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)圖，得到圖2的知識結(jié)構(gòu)圖，然后再基于數(shù)系擴充的一致性再進行優(yōu)化，從中可以發(fā)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)圖的整理實質(zhì)是一個知識的優(yōu)化與組合的過程，也是學生對有理數(shù)深度理解的過程.

3利用“目標與評定”檢測學習的達成情況

在“小結(jié)與反思”之后的“目標與評定”是對本章內(nèi)容目標的學習達成情況的自我評定.通過自測，了解自己在學習過程中，哪些方面還需進一步提高，在學習方法上還需作哪些改進.“目標與評定”分別分成目標A，B，C，其中目標A，B覆蓋本章各知識點，目標C是綜合本章的知識，解決一些簡單的實際問題.在復習課選題時，教師可以根據(jù)本班的學情選擇合適的問題，檢測學生對本章學習目標的達成情況.例如，教師選擇以下的內(nèi)容進行檢測與回顧.

目標與評定

1.（1）0的相反數(shù)是______，絕對值是______；-5.1的相反數(shù)是______，絕對值是______；|-5|+|-4|=______，|5|-|-4|=______.

2.哪些數(shù)的相反數(shù)與絕對值相等？

3.如圖3，數(shù)軸的單位長度為1.

（1）如果點P，T表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點S表示的數(shù)是多少？

（2）如果點R，T表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點S表示的數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)？圖3中表示的五個點中，哪一點表示的數(shù)的絕對值最大？為什么？

4.如圖4，在生產(chǎn)圖紙上通常用φ300^+0.2_-0.5來表示軸的加工要求，這里中φ300表示直徑300 mm，+0.2和-0.5是指直徑在（300-0.5）mm到（300+0.2）mm之間的產(chǎn)品都屬于合格產(chǎn)品.現(xiàn)加工一批軸，尺寸要求是φ45^+0.03_-0.04，請判斷直徑為44.97 mm和45.04 mm的兩根軸是不是合格產(chǎn)品[2].

4對“小結(jié)與反思”復習的思考

平常的課時授課是基于知識的學習，知識以點狀的形式存貯在學生的記憶中，復習課中就是要對知識點進行關(guān)聯(lián)，達到知識的結(jié)構(gòu)化，把零散的知識變成一個整體.

復習的另一個目的是為了減少遺忘，教師通過創(chuàng)設(shè)知識間回顧與構(gòu)建活動，使學生展開對知識意義的建構(gòu)，促進知識間多方位的聯(lián)接.在復習時，重點不是一個個知識點的回顧，而是通過回顧知識，加強知識間的聯(lián)系.例如，本章中以數(shù)軸為中心，加強數(shù)軸與有理數(shù)的聯(lián)系，有理數(shù)可以在數(shù)軸上找到一個點，點可以用數(shù)表示，感悟它們之間的關(guān)聯(lián)，體會知識蘊含的思想方法，其實這一個想法是不簡單的，它是一個偉大的想法，歷史上第一個把數(shù)用形去表示是數(shù)學家畢達哥拉斯，把頭腦中建構(gòu)出來的數(shù)與外部世界中的形找到一個有機的聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)與形的同構(gòu).這樣的想法是偉大的，它的偉大之處在于體現(xiàn)了數(shù)的有序化和直觀化.運用數(shù)軸研究相反數(shù)與絕對值，能夠更好地理解絕對值的幾何意義；同時由于數(shù)軸與有理數(shù)的大小有關(guān)聯(lián)，可以借助數(shù)軸比較有理數(shù)的大小.從中我們發(fā)現(xiàn)，可以以數(shù)軸為核心建立知識間的聯(lián)系，以此達到知識間的意義建構(gòu)，并在建構(gòu)的過程中促進知識間的深度理解與記憶.

復習就是知識的優(yōu)化與重組，通過復習可以進行知識的重組，讓學生看到知識的本質(zhì).比如為什么要引入負數(shù)，教材中從相反意義的量引入負數(shù)，數(shù)學史表明引入負數(shù)的其中一個重大意義，就是形成了有理數(shù)在加減運算上的閉環(huán)，比如“5-3”與“3-5”的結(jié)果都在有理數(shù)集合內(nèi).同時，引入負數(shù)，使加減成為可逆、互逆運算.運算封閉和運算互逆，體現(xiàn)了數(shù)學家在代數(shù)領(lǐng)域的數(shù)學思考，學生應(yīng)該學習并理解這種思考方式，才有利于消除困惑.那么本節(jié)課中我們可以讓學生體會站在數(shù)學的高度去認識為什么要引入負數(shù).

復習還要求我們學會應(yīng)用，對知識的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學來自哪里，又延伸到哪里.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學教育出版社，2022：2.

[2]范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學七年級上冊[M].杭州：浙江教育出版社，2024：26-28.

作者簡介張安軍（1975—），男，浙江臺州人，中學正高級教師，浙江省特級教師，余杭區(qū)初中數(shù)學教研員；主要從事數(shù)學教育與初中數(shù)學命題研究;發(fā)表論文60余篇，其中人大報刊復印資料全文轉(zhuǎn)載6篇.