預制構件瓷磚鋪貼并聯機器人運動學分析

文章編號：1008-1542（2024）06-0662-07

摘" 要：

針對裝配式建筑預制構件瓷磚自動鋪貼的需求，設計了一種基于并聯機構的瓷磚抓取、振實一體式的機器人新構型。首先，設計了由3個分支組成的鋪貼機器人，其每個分支中包含2個不同類型的作動器，分別對應機器人的抓取工作模式和振動工作模式；其次，結合機構的布置特點，分析了機構的自由度特性，推導了其位置正、反解；再次，針對廣義坐標，采用等效運動旋量表描述閉環四桿機構的運動特性，將振動工作模式下的鋪貼機器人瞬時等效為3-RRC并聯機構；最后，基于旋量代數推導了機器人等效機構的運動學一、二階影響系數，并給出了相應的數值算例。結果表明，鋪貼機器人有較大的工作空間，結合不同頻率和幅值的振動輸出，能夠實現瓷磚抓取、振實一體化。所提出的瓷磚鋪貼機器人具有一定可行性，為瓷磚自動鋪貼的進一步研究與應用提供了參考。

關鍵詞：

工業機器人技術；預制構件；瓷磚鋪貼；并聯機構；運動學

中圖分類號：TP242

文獻標識碼：A

DOI：10.7535/hbkd.2024yx06011

收稿日期：2024-07-15；修回日期：2024-10-20；責任編輯：胡姝洋

基金項目：

國家自然科學基金（U20A20283）；河北省重點研發計劃項目（22311801D）；河北省“三三三人才工程”資助項目（C20231128）；河北省高校基本科研業務經費項目（2023JCTD03，2023JCTD04）；張家口市基礎研究和人才培養計劃項目（2311006A）

第一作者簡介：

馬宏（1987—），男，河北康保人，副教授，碩士，主要從事機器人技術及應用方面的研究。

通信作者：

耿明超，副教授。E-mail：gmingchao@163.com

馬宏，耿明超，王占英，等.

預制構件瓷磚鋪貼并聯機器人運動學分析

［J］.河北科技大學學報，2024，45（6）：662-668.

MA Hong，GENG Mingchao，WANG Zhanying，et al.

Kinematics analysis of prefabricated tile paving parallel robot

［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2024，45（6）：662-668.

Kinematics analysis of prefabricated tile paving parallel robot

MA Hong1，GENG Mingchao1，WANG Zhanying1，LIU Jinyue2，ZHOU Jingjun1

（1.School of Mechanical Engineering， Hebei University of Architecture， Zhangjiakou， Hebei 075000， China;

2.School of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China）

Abstract：

Aiming at the requirement of automatic tile paving of prefabricated components in prefabricated buildings， a new robot configuration based on parallel mechanism for tile grabbing and compacting was proposed. Firstly， the designed paving robot consisting of three branches was designed， and each of which contained two different types of actuators corresponding to the grasping and vibration working modes of the robot. Secondly， combined with the layout characteristics of the mechanism， the degree of freedom characteristics of the mechanism were analyzed， and the forward and inverse solutions for its position were derived. Thirdly， for the generalized coordinates， an equivalent motion screw was used to describe the motion characteristics of the closed-loop four-bar mechanism， and the paving robot in the vibration working mode was instantaneously equivalent to a 3-RRC parallel mechanism. Finally， based on the screw algebra， the first-order and second-order influence coefficients of kinematics were derived in a concise and compact form， and the corresponding numerical examples were given to verify. The results show that the paving robot has a large working space. Combined with the vibration output of different frequencies and amplitudes， it can realize the integration of tile grabbing and compacting. The proposed tile paving robot has certain feasibility and provides reference for further research and application of automatic tile paving.

Keywords：

industrial robot technology; prefabricated components; tile paving; parallel mechanism; kinematics

瓷磚能夠對建筑物進行裝飾和防護，瓷磚鋪貼作業是建筑施工中非常重要的環節。現在的瓷磚鋪貼一般以人工為主，存在效率低、成本高、鋪貼質量不易控制等問題，瓷磚鋪貼機器人能夠提高鋪貼的質量和效率。

NAVON［1］設計了一種串聯六自由度形式的瓷磚鋪貼機器人，可適應不同的瓷磚鋪貼位置及角度。2014年，新加坡未來城市實驗室聯合ETH Zurich開發了串聯機械臂形式的瓷磚鋪貼機器人，能夠完成瓷磚的抓取和粘貼工作。李皖根等［2］將AGV小車與六自由度工業機械臂結合，設計了智能鋪磚機器人。周奇等［3］發明了一種瓷磚鋪貼機器人，在機器人末端設置有可移動吸盤用于瓷磚的吸取和振動按壓。劉侃［4］設計了一種鋪磚機器人，實現了自動化供料和鋪貼功能，但重量大、移動路徑受到導軌的限制。李帥［5］提出了一種瓷磚鋪貼機器人方案，主要實現了地面梳條、磚背梳條、瓷磚夾持翻轉等功能。并聯機構具有運動慣量低、剛度大、累計誤差小等優點［6-7］。邱文利等［8］提出了基于六自由度并聯機構的瓷磚鋪貼機器人；鄭云［9］將并聯機器人應用于預制構件生產線的瓷磚鋪貼中。針對建筑板材的安裝，楊冬等［10］提出了串并混聯的安裝機器人，蒙磊［11］等設計了液壓驅動的混聯機構雙臂安裝機器人。

裝配式建筑是指以工廠化生產的預制構件為主，通過現場裝配方式建造的房屋建筑。本文針對預制構件這一建筑細分領域，設計了一種基于并聯機構的抓取、振實一體式的瓷磚鋪貼機器人，并基于旋量代數建立了其運動學模型。

1" 總體方案設計

1.1" 預制構件瓷磚自動鋪貼方案

預制構件的瓷磚鋪貼主要有正貼和反貼2種生產工藝。反貼工藝是先將瓷磚放在模臺上定位，然后澆筑，水泥砂漿可能從瓷磚與模臺之間的縫隙滲出，后期清理工作量較大。正貼工藝是在養護好的預制構件上直接進行瓷磚鋪貼。

根據正貼工藝，預制構件的瓷磚自動鋪貼方案如圖1所示。機器人本體為三平移的并聯機構，其動平臺上安裝有末端執行器。機器人具有瓷磚的抓取和振動壓實2種功能。養護好的墻板等預制構件由模臺運輸，瓷磚膠噴涂機根據設計圖紙將瓷磚膠噴涂到預制構件上，齒形刮平機進行刮平，機器人將瓷磚輸送單元的瓷磚抓取到預定位置，定位振實，完成鋪貼。機器人移動單元能夠使機器人沿Y軸移動和繞Z軸轉動，增加機器人的運動自由度。

1.2" 瓷磚鋪貼機器人方案

傳統的瓷磚鋪貼機器人，一般是在末端執行器的中間布置一個振動機構或者在其四周布置多個振動機構，對瓷磚進行振動壓實。這種布置方式產生的振動主要集中在一個方向，同時瓷磚遠離振源的部位容易出現空鼓現象。針對上述問題，本文設計了一種抓取、振實一體式瓷磚鋪貼機器人，其本體由定平臺、動平臺和3個相同的（RRRP）PRC分支組成，如圖2所示。每個（RRRP）PRC分支中包含P1、P2 2個驅動副：第1個驅動副

P1一般為電動缸，實現動平臺的大范圍運動；第2個驅動副P2一般為直線電機，實現動平臺多自由度的中高頻振動。

為了便于分析，將鋪貼機器人分為抓取和振動2種工作模式。抓取模式時，直線電機鎖定，電動缸驅動；振動模式時，電動缸鎖定，直線電機驅動。工作時，機器人首先抓取瓷磚將其搬運到預制構件指定位置完成一次定位，振動壓實，之后對瓷磚進行二次定位，保證鋪貼精度。根據瓷磚的種類和材質不同，振動的頻率和幅值均可以調節。振動時，瓷磚的邊緣部分也受到充分的振動，在保證黏結強度的同時減少空鼓等現象的出現。

在定平臺建立定坐標系，其原點o為3個鉸鏈點ai確定的三角形中心，x軸沿著oa1的方向，z軸垂直于該三角形平面。在動平臺建立固聯的動坐標系，其原點p位于3個圓柱副軸線圍成的三角形中心，x軸為該三角形平面與第1個分支平面的交線，z軸垂于與該三角形平面。

根據螺旋理論，每個分支分別提供給動平臺2個約束力偶Sr（i）1和Sr（i）2。其中，約束力偶Sr（1）1、Sr（2）1、Sr（3）1均約束動平臺繞z軸的轉動，為公共約束。3個約束力偶Sr（1）2、Sr（2）2、Sr（3）2的軸線分別平行于各分支轉動副的軸線，且在一個面內，因此其中任意2個是線性無關的，約束了動平臺繞x、y軸的轉動。3個分支，6個約束力偶，動平臺繞x、y、z軸的轉動受到約束，剩余沿x、y、z軸平移的3個自由度，且每個自由度有2個可動度［12］。

2" 鋪貼機器人位置正、反解

鋪貼機器人的分支機構簡圖如圖3所示，第1個驅動副P1的變量為l（i）ac，表示鉸鏈點ai、ci之間的距離；第2個驅動副的變量為l（i）zd，表示鉸鏈點di到定坐標系z軸的距離。抓取模式時，廣義坐標定義為q=（l（1）ac l（2）ac l（3）ac）T，振動模式時，廣義坐標定義為q=（l（1）zd l（2）zd l（3）zd）T。

由圖3可知，桿件ac與水平面的夾角φ（i）1與l（i）zd的關系可表示為

φ（i）1=arctan（dizl（i）zd-ra）+

arccos（l（i）ae）2+

（l（i）ad）2-（lde）22l（i）ael（i）ad+φ ，（1）

式中：φ（i）j為第i個開鏈分支中第j個運動副的關節變量；diz為鉸鏈點di坐標的z軸分量；ra為鉸鏈點ai到定坐標系原點o的距離；φ為向量l（i）ae與l（i）ac的夾角。diz、ra、φ、lae、lde均為結構參數，為常量。l（i）ad為鉸鏈點ai、di之間的距離，為l（i）zd的單變量函數。

給出機構2種工作模式下的廣義坐標q=（l（1）ac l（2）ac l（3）ac）T和q=（l（1）zd l（2）zd l（3）zd）T，則鉸鏈點ci的坐標可以表示為

c1=（a1x+l（1）accφ110

a1z+l（1）acsφ11）T，

c2=（a2x-l（2）accφ12sα

a2y+l（2）accφ11cα

a2z+l（2）acsφ12）T，

c3=（a3x-

l（3）accφ13sα

a3y-l（3）accφ11cα

a3z+l（3）acsφ13）T，

式中：sφ1i=sin（φ（i）1）；cφ1i=cos（φ（i）1）；sα=sin α；

cα=cos α；α=30°。

根據機構分支的布置特點，當給定動平臺相對于初始位姿的位移pop=（xopyopzop）T時，鉸鏈點bi在定坐標系o中的坐標可表示為

b1=（b1x0+xop

b1y0

b1z0+zop）T，

b2=（b2x0+

xops2α-yopcαsα

b2y0-xopsαcα+yopc2α

b2z0+zop）T，

b3=（b3x0+

xops2α+yopcαsα

b3y0+xopsαcα+yopc2α

b3z0+zop）T，

式中b1x、b1y、b1z分別為鉸鏈點bi在初始位姿時的坐標分量，為已知。

上連桿的長度lbc為結構參數，是定值，滿足如下約束方程

|bi-ci|=lbc 。（2）

機構的每個分支有2個驅動副，給定其位移量l（i）ac、l（i）zd時，求解方程組（2）可以得到動平臺相對初始位姿的位移pop=（xopyopzop）T，為機構的位置正解。當給定pop=（xopyopzop）T時，針對鋪貼機器人的抓取、振動2種工作模式，可以分別求解出廣義坐標定義為q=（l（1）acl（2）acl（3）ac）T或q=（l（1）zdl（2）zdl（3）zd）T，為位置反解。

3" 鋪貼機器人運動學建模

鋪貼機器人在抓取工作模式時，直線電機鎖定，機器人機構為3-PRC并聯機構。鋪貼機器人在振動工作模式時，電動缸鎖定，機器人機構為包含閉環子鏈的3-（RRRP）RC并聯機構。3-PRC和3-（RRRP）RC并聯機構的運動學求解過程類似，本文僅針對相對復雜的3-（RRRP）RC機構進行分析。

3.1" 針對廣義坐標的機構等效

如圖4所示，分支中桿件ac存在于閉環子鏈（RRRP）中，其旋量速度為

V（i）1=φ·（i）1S（i）1 ，（3）

式中S（i）j為機構的第i個開鏈分支中第j個運動副的運動旋量。

式（1）可表示為φ（i）1=f（l（i）zd），對其求導可以得到φ·（i）1與l·（i）zd之間的映射關系為

φ·（i）1=

df（i）dl（i）zdl·（i）zd 。（4）

結合式（4），桿件ac的旋量速度進一步表示為

V（i）1=l·（i）zdS（i）u ，（5）

式中：S（i）u為桿件ac對廣義坐標的等效運動旋量，S（i）u=df（i）dl（i）zdS（i）1。等效運動旋量S（i）u與S（i）1呈線性關系，但仍表示同一軸線。等效運動旋量S（i）u對l（i）zd導數可表示為

dS（i）udl（i）zd=d2f（i）

dl（i）2zdS（i）1 。（6）

借助等效運動旋量，3-（RRRP）RC并聯機構等效為3-

RRC機構，對應的廣義坐標為q=（l（1）zdl（2）zdl（3）zd）T，其中R表示閉環子鏈（RRRP）的等效轉動副，位置位于鉸鏈點ai處。

3.2" 一階影響系數

瓷磚鋪貼機器人振動工作模式下的等效機構3-RRC具有3個平移自由度，為了與旋量代數的形式保持一致，分析過程中旋量速度、加速度仍表示為六維形式。圓柱副分解為1個轉動副和1個移動副，分別用S（i）3、S（i）4表示。

動平臺的旋量速度在定坐標系o中表示為

Vop=Gp（i）φ

φ·（i） ，（7）

式中：Gp（i）φ=（S（i）u S（i）2 S（i）3 S（i）4）為串聯分支的一階影響系數矩陣；

φ·（i）=（l·（i）zd φ·（i）2 φ·（i）3 φ·（i）4）。Gp（i）φ為6×4的長方陣，無法直接求逆。采用QR分解對Gp（i）φ進行分解［13］，得到第i個分支關節速度與動平臺旋量速度的映射關系為

φ·（i）=Gφ（i）pVop ，（8）

式中Gφp是4×6的長方陣。機構分支的第1個運動副為驅動副，其速度為

l（1）zd=（Gφp）（1）1：Vop" ，

l（2）zd=（Gφp）（2）1：Vop ，

l（3）zd=（Gφp）（3）1：Vop 。 （9）

則機構的廣義速度與動平臺旋量速度的映射可以表示為

q·=GqpVop ， （10）

式中Gqp=［（Gφ（1）p）1：;（Gφ（2）p）1：;（Gφ（3）p）1：］。Gqp為3×6的長方陣，同樣不可逆，基于QR分解及分支的約束關系可以得到動平臺旋量速度與廣義速度的映射關系為

Vop=Gpqq· ，（11）

式中Gpq為機構的一階影響系數矩陣，其是6×3的矩陣。

結合式（8）及式（11），得到分支關節速度與廣義速度的映射關系為

φ·（i）=gφ（i）qq· ，（12）

式中gφ（i）q=Gφ（i）pGpq，其是4×3的矩陣。

3.3" 機構的二階影響系數

對式（7）求導，得到動平臺的旋量加速度與分支的關節速度、加速度的映射關系為

Aop=Gp（i）φ

φ¨（i）+

φ·T（i）

Hp（i）φφ·（i） "，（13）

式中Hp（i）φ為分支的二階影響系數矩陣，其是4×4的矩陣。Hp（i）φ的第1個元素為等效運動旋量的導數，［Si，Sj］

為李代數中的李括弧運算，表示旋量Sj相對于φi的偏導數。

Hp（i）φ=

dS（i）udφ（i）1

［S（i）u，S（i）2］

［S（i）u，S（i）3］

［S（i）u，S（i）4］06×106×1［S（i）2，S（i）3］［S（i）2，S（i）4］

06×106×106×1［S（i）3，S（i）4］

06×106×106×106×1

。

由文獻［14］可知，動平臺的旋量加速度可以表示為

Aop=Gpq

q¨+q·THpqq· ，（14）

式中Hpq為3×3的二階影響系數矩陣，矩陣中的元素為6×1的列矢量。

結合式（12）、式（14）可以得到分支關節加速度與廣義速度、加速度的映射關系為

φ¨（i）=gφ（i）qq¨+

q·Thφ（i）qq· ，（15）

式中hφ（i）q為3×3的立方陣，每個元素為4×1。

4" 數值算例

4.1" 工作空間

鋪貼機器人的工作空間主要與電動缸的行程、上下連桿長度、圓柱副長度等因素有關。瓷磚鋪貼機器人的關鍵結構參數如表1所示。給定電動缸的行程為400 mm，即-200 mm≤l（i）ac≤200 mm。

以電動缸的行程等關鍵結構參數作為約束條件，利用機構的位置正解公式，通過逐點搜索得到的鋪貼機器人的工作空間如圖5所示。圖5 a）為x-y-z三維圖，圖5 b）為x-y平面投影圖。從整體分布看，鋪貼機器人工作空間基本能夠滿足工作需求，同時工作空間分布比較規則，在3個分支平面內對稱分布。給定結構參數下，工作空間在x-y平面內最遠可達0.3 m。由于電動缸垂向布置，所以機器人在z軸方向的工作空間和電動缸的行程基本一致。

4.2" 運動學算例

針對不同大小、材質的瓷磚，鋪貼機器人能夠輸出不同振動頻率與振幅的多維振動。給定動平臺的振動規律為xop=0.003×sin（2π×20×t）、 yop=0.003×sin（2π×20×t）、 zop=0.005×sin（2π×20×t），即x、y、z軸3個方向的振動頻率均為20 Hz，振動幅值分別為0.003、0.003、0.005 m。

圖6—圖8分別為鋪貼機器人在振動模式下的廣義坐標、速度、加速度曲線，圖9為ADAMS軟件仿真得到的廣義加速度曲線。通過對比可知，圖8和圖9基本一致，表明了上述運動學建模過程的正確性。

5" 結" 語

針對預制構件這一建筑細分領域，設計了一種基于并聯機構的瓷磚鋪貼機器人。機構分支中2種不同類型的作動器分別實現瓷磚的抓取及振動壓實動作，提升了作業效率及質量。根據機構中3個分支的布置特點，推導了鋪貼機器人的位置正解及2種工作模式下的位置反解。采用瞬時等效運動旋量描述閉環四桿機構的運動特性，將振動工作模式下的鋪貼機器人瞬時等效為3-RRC并聯機構，并基于旋量代數推導了其運動學一、二階影響系數，形式簡潔緊湊，為鋪貼機器人軌跡規劃及應用提供了理論參考。

本文僅對瓷磚鋪貼機器人的構型及運動學進行了分析，未來還需進一步優化參數并設計原理樣機，以驗證瓷磚鋪貼的實際效果。

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