基于Lorenz超混沌系統和DNA計算的三維圖像加密算法

摘 要：為實現多種場景下大容量三維圖像的實時、安全傳輸，本文提出了一種基于勞倫茲（Lorenz）超混沌系統和DNA計算的三維圖像加密算法。首先，該算法利用明文圖像的哈希值進行密鑰擴展。其次，采用Lorenz超混沌系統生成的偽隨機矩陣來確定DNA編碼、重組、計算和解碼的規則與次序。最后，基于“一像素一規則”思想，利用DNA計算的高度并行性有效提高了算法的加密和解密效率。仿真試驗和性能分析表明，該算法具有良好的統計性能，滿足安全性要求，并能有效抵御各種常規的密碼攻擊。

關鍵詞：圖像加密；信息安全；超混沌系統；DNA計算

中圖分類號：TN 919 " " " " " " 文獻標志碼：A

隨著5G通信和大數據應用的快速發展，互聯網中的圖像數據量呈指數級增長，然而，大部分圖像都以明文形式存儲和傳輸，這會帶來一些安全和隱私問題。圖像加密是保護圖像機密性最直觀、有效的技術之一，它能夠將明文圖像按照特定的規則轉換成類似隨機噪聲的密文圖像。混沌系統具有對初始值和控制參數的高度敏感性、良好的偽隨機性、遍歷性和不可預測性等固有特性，這些特性使其能夠滿足密碼學的要求。唐旭等[1]設計了一種基于羅斯勒（Rossler）超混沌系統的圖像加密算法，該算法能夠滿足軍事圖像加密傳輸過程中對高安全性的要求。李德新等[2]設計了一種基于陳氏（Chen）混沌系統和菲涅爾變換的多彩色圖像光學加密方法，其中，高維混沌相位掩碼的所有參數均可作為密鑰，有效提高了系統的密鑰敏感性。隨著3D建模技術的日益成熟，三維圖像逐步走進了大眾的視野。與二維圖像相比，三維圖像的數據量更大、結構更復雜。在上述研究工作的基礎上，本文設計了一種基于Lorenz超混沌系統和DNA計算的高效三維圖像加密算法。仿真試驗結果表明，與現有的其他算法相比，本文算法具有更快的加密、解密速度和更高的安全性。

1 基礎理論

1.1 Lorenz超混沌系統

Lorenz超混沌系統是對經典Lorenz系統的擴展，這是美國氣象學家愛德華·諾頓·洛倫茨（Edward Norton Lorenz）1963年在利用三維常微分方程描述天氣變化的過程中發現的非線性動力學系統。其動力方程如公式（1）所示。

（1）

式中：、、和為變化率；x、y、z和w為狀態變量；a、b、c和r為控制參數。當a=10、b=8/3、c=28并且-1.52≤r≤-0.06時， 系統處于超混沌狀態。

本文設計的算法取r=-1，經過計算得到4個李雅普諾夫（Lyapunov）指數，分別為λ1=0.338 1、λ2=0.158 6、λ3=0.158 6、

λ4=15.175 2。與低維混沌系統相比，Lorenz超混沌系統有4個狀態變量和2個正的Lyapunov指數，從而具有更大的密鑰空間和更復雜的動力學行為。該系統不存在短周期效應，能夠生成高質量的混沌序列。其隨機性和不可預測性更能滿足圖像加密算法的要求。

1.2 DNA計算

DNA，即脫氧核糖核酸，是由脫氧核苷酸組成的大分子聚合物，攜帶生物體內的遺傳信息。DNA序列包含4種類型的堿基，分別是腺嘌呤（A）、胸腺嘧啶（T）、胞嘧啶（C）和鳥嘌呤（G）。其中，A和T是互補的，C和G也是互補的。在二進制中，0和1是互補的，因此00和11、01和10也是互補的。基于這一點，每種堿基都可以用2位二進制數來表示。根據沃森-克里克（Watson-Crick）互補配對原則[3]，共有8種有效的編碼規則（見表1）。

為了進一步提高加密的強度，本文算法對DNA序列進行了計算。表2～表4分別列出了DNA加法、減法和異或運算法則。在這些法則中，加法和異或運算均滿足交換律，而減法與加法互為逆運算，異或運算是其自身的逆運算。通過DNA計算，可以同時實現圖像的置亂與擴散并且這些操作能夠并行執行，從而提高了計算效率。

2 算法設計

在本節中，筆者基于Lorenz超混沌系統和DNA計算法則，提出了一種新型的高效三維圖像加密算法。首先，計算明文圖像的哈希值，對初始密鑰進行擴展，以增強密鑰與明文之間的相關性。其次，利用Lorenz超混沌系統生成偽隨機矩陣，該矩陣將用于后續的DNA計算過程。最后，基于“一像素一規則”的設計思想，依次對明文圖像進行DNA編碼、重組、計算和解碼操作，從而得到密文圖像。加密流程如圖1所示。三維圖像的大小為M×N×L，其中M、N和L分別為圖像的高度、寬度和深度，像素值為0～255的整數，可以表示為1個三維矩陣。將明文圖像記作P，密文圖像記作C，下面將詳細介紹加密和解密算法的具體步驟。

2.1 圖像加密算法

將密鑰記作{x01，y01，z01，w01，x02，y02，z02，w02}，其中{x01，y01，z01，w01，x02，y02，z02，w02}為2組Lorenz超混沌系統的初始值。圖像加密算法的具體步驟如下。

第一步：使用SHA-256函數計算明文圖像P的256 bit哈希值，記作H=[h1，h2，…，h32]。h為8 bit二進制數。其中，hi={hi1，hi2，…，hi8}，i=1，2，…，32。

第二步：在初始密鑰中添加明文相關性，得到相關密鑰，如公式（2）和公式（3）所示。

（2）

（3）

第三步：將x01、y01、z01和w01作為初始值代入Lorenz超混沌系統，生成4個長度為MN的混沌序列，分別記作X1、Y1、Z1以及W1。隨后，將這個混沌序列轉換成大小為M×N的二維矩陣并進行進一步處理，以得到DNA序列重組所需的循環移位次數矩陣，分別記作R1、R2、R3以及R4，這一過程如公式（4）所示。

（4）

式中：abs為取絕對值的函數；floor為向下取整的函數；L為圖像的深度。

第四步：將x02、y02、z02和w02作為初始值代入Lorenz超混沌系統，生成4個長度為MNL的混沌序列，分別記作X2、Y2、Z2以及W2。隨后，將其轉換成大小為M×N×L的二維矩陣并進行進一步處理，以得到DNA編碼規則矩陣S1、計算規則矩陣S2、解碼規則矩陣S3以及偽隨機矩陣S4，這一過程如公式（5）所示。

（5）

第五步：基于“一像素一規則”的思想，對明文圖像中的各像素進行DNA編碼，編碼規則根據S1確定，得到三維矩陣A1。同樣，對偽隨機矩陣S4進行DNA編碼，得到三維矩陣B。

第六步：由于像素被編碼成長度為4的DNA序列，因此以單個堿基為基本單位，沿著三維矩陣的深度方向進行4組循環移位，移位次數根據R1、R2、R3以及R4確定。這樣對DNA序列進行重組，得到三維矩陣A2。

第七步：對A1與B進行DNA計算，計算規則根據S2確定，0對應加法運算，1對應減法運算，2對應異或運算，得到三維矩陣A3。

對計算結果進行DNA解碼，解碼規則根據S3確定，從而得到密文圖像C。

2.2 圖像解密算法

圖像解密算法的流程與加密流程相反且不包括密鑰擴展。將作為密鑰的兩組初始值代入Lorenz超混沌系統，經過處理后生成用于確定DNA編碼、重組、計算和解碼規則與次序的偽隨機矩陣。然后對密文圖像依次進行DNA編碼、計算、重組和解碼，即可恢復為明文圖像。

3 試驗分析

3.1 仿真結果

仿真試驗使用的計算機配置為Intel（R） Core（TM） i7-10700 CPU@2.90GHz，16 GB內存，64位Windows 11操作系統。編譯環境為Anaconda 3，Python 3.9.13。考慮到三維圖像在醫學領域的廣泛應用前景，試驗數據選取自哈佛大學網絡在線腦部解剖以及影像學圖譜庫的MRI三維醫學圖像，大小為256×256×127。不失一般性，初始密鑰設置為{x01=0.81600441，y01=0.065 723 57，z01=0.387 824 3，w01=0.967 964 15，

x02=0.184 156 91，y02=0.592 601 19，z02=0.019 938 78，

w02=0.372 526 74}。圖2展示了MRI三維圖像的加密和解密結果。從圖2可以看出，密文圖像呈現噪聲狀，從中無法獲取任何視覺信息；而解密圖像與明文圖像完全相同，表明加密、解密流程未造成任何信息損失。

3.2 效率分析

開發三維圖像加密算法的一個重要目的是提高效率。在相同的硬件和軟件環境下，分別使用本文算法和文獻[4-6]中的算法對圖2（a）所示的MRI三維圖像進行了加密、解密試驗，試驗結果見表5。可以看出，DNA計算具有高度并行性，本文算法的加密、解密速度分別達到了10.015 1 Mbit/s和10.396 0 Mbit/s，顯著高于其他算法。

3.3 直方圖分析

直方圖可以直觀地反映圖像中各像素值的分布情況。圖3展示了明文和密文圖像對應的直方圖。可以看出，圖3（a）呈現出極其不均勻的分布，像素值為0的頻率遠高于其他像素值，這是因為MRI醫學圖像的邊緣區域較暗。相比之下，圖3（b）是平坦的，呈現均勻分布，這表明加密過程可以很好地隱藏明文圖像的統計特征，有效地抵御直方圖分析攻擊。

3.4 相關性分析

由于三維圖像存在較多的信息冗余，相鄰像素間具備強相關性，因此性能良好的加密算法必須有效降低相鄰像素間的相關性。不失一般性，分別沿著水平、垂直、對角和反對角方向隨機選取了5 000對相鄰像素，繪制了明文和密文圖像的相關性相圖，如圖4所示。可以看出，在各方向上，圖4（a）中的相點大多分布于相平面的對角線附近，而圖4（b）中的相點均勻分布于相平面上，這表明加密過程消除了明文圖像的相鄰像素強相關性。

3.5 密鑰空間分析

研究表明，密鑰空間至少需要gt;2100，當加密算法遭受暴力破解攻擊時可以保障其安全性[7]。本文算法中采用Lorenz超混沌系統的初始值{x01，y01，z01，w01，x02，y02，z02，w02}作為密鑰，由于初始值精度為10-14，因此密鑰空間大小為1014×8=10112，足以抵御任何形式的暴力破解攻擊。

3.6 明文敏感性分析

明文敏感性分析旨在衡量加密算法對明文圖像中任意微小變化的敏感性。首先，隨機選取明文圖像中任一像素點的任一比特位進行反轉，從而生成1幅新的明文圖像。其次，使用同一密鑰對原始明文圖像和新生成的明文圖像進行加密，得到2幅密文圖像。最后，對比這2幅密文圖像的差異。為了量化這種差異，通常采用像素數改變率（NPCR）[8]和平均強度變化率（UACI）[9]作為評價指標。重復進行了100組試驗，在每組試驗中，隨機反轉明文圖像中任一像素點的任一比特位，對這100組試驗的結果進行計算，得到了NPCR和UACI的均值，見表6。從表6中的數據可以看出，與文獻[4-6]中提到的算法相比，本文算法在NPCR和UACI兩項指標上的表現更接近理論值，這表明本文提出的的加密算法具有良好的明文敏感性，能夠有效地抵御差分攻擊。

4 結論

將Lorenz超混沌系統與DNA計算相結合，本文提出了一種新型的三維圖像加密算法。首先，通過計算明文圖像的哈希值并進行密鑰擴展，增強了密鑰與明文的相關性。其次，利用Lorenz超混沌系統初始值的高精度確保了密鑰空間的充足性。最后，對明文圖像依次進行DNA編碼、重組、計算和解碼，其中DNA計算的高度并行性有效控制了加密、解密時間，同時DNA序列的復雜性也增強了算法抵抗各項攻擊的能力。仿真結果和安全分析表明，本文算法能夠高效地將三維圖像加密為類似隨機的噪聲狀圖像，具有均勻分布的直方圖和較低的相鄰像素相關性，滿足安全性要求。此外，該算法的密鑰空間較大，敏感性和魯棒性較強，可抵御差分攻擊，可選擇明文攻擊等常規的密碼攻擊。綜上所述，本文算法對實現多種場景下大容量三維圖像實時、安全的傳輸具有一定的應用價值。

參考文獻

[1]唐旭，舒立鵬，范繼，等.基于Rossler超混沌系統的軍事圖像加密算法研究[J].火炮發射與控制學報，2022，43（2）：32-38.

[2]李德新，王銳.基于混沌與菲涅爾變換的多彩色圖像加密算法[J].傳感技術學報，2023，36（6）：928-936.

[3]WATSON J D， CRICK F H C.Molecular structure of nucleic acids ：

A structure for deoxyribose nucleic acid [J].Nature，1953，171（4356）：737-738.

[4]高國靜，呂慶文.基于復合混沌的魯棒型醫學圖像加密算法[J].計算機與現代化，2021（6）：107-112.

[5]黃佳鑫，趙凱悅，李佳文，等.基于Logistic-Sine-Cosine映射的圖像加密算法[J].科學技術與工程，2023，23（27）：11713-11721.

[6]秦秋霞，梁仲月，徐毅.一種基于分段線性混沌映射的醫學圖像加密算法[J].大連民族大學學報，2023，25（1）：57-63.

[7]ALVAREZ G，LI S. Some basic cryptographic requirements for

chaos-based cryptosystems [J].International journal of bifurcation and chaos，2011， 16（8）： 2129-2151.

[8]ZHANG Y.A chaotic system based image encryption scheme with

identical encryption and decryption algorithm [J].Chinese journal of electronics， 2017，26（5）：1022-1031.

[9]MOAFIMADANI S S，CHEN Y， TANG C.A new algorithm

for medical color images encryption using chaotic systems[J].Entropy，

2019，21（6）：577.