構(gòu)建一次函數(shù)解決策型應用題

中考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)的決策型應用題，是對實際活動作出相應決策的應用題.這類應用題可通過建立數(shù)學模型來解.下面舉例介紹.

一、家電生產(chǎn)決策題

例1 某家電公司生產(chǎn)某種型號的新家電，前期投資200萬元，每生產(chǎn)一臺這種新家電，后期還需要其他投資0.3萬元，已知每臺新家電可實現(xiàn)產(chǎn)值0.5萬元.

（1）分別求總投資y1（萬元）和總利潤y2（萬元）關(guān)于新家電的總產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當新家電的總產(chǎn)量為900臺時，該公司盈虧情況如何？

（3）請你利用第（1）小題中y2與x的函數(shù)關(guān)系式，分析該公司的盈虧情況. （注：總投資 = 前期投資 + 后期其他投資，總利潤 = 總產(chǎn)值 - 總投資.）

解：（1）y1 = 0.3x + 200；y2 = 0.5x - （0.3x + 200） = 0.2x - 200.

（2）當總產(chǎn)量為900臺，即x = 900時，y2 = 900 × 0.2 - 200 = -20 lt; 0，即當總產(chǎn)量為900臺時，該公司虧損20萬元.

（3）由0.2x - 200 lt; 0，得x lt; 1000，即新家電的總產(chǎn)量小于1000臺時，該公司會虧損；由0.2x - 200 = 0，得x = 1000，即新家電的總產(chǎn)量等于1000臺時，該公司不虧損也不盈利；由0.2x - 200 gt; 0，得x gt; 1000，即新家電的總產(chǎn)量大于1000臺時，該公司會盈利.

二、運輸方案決策題

例2 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運往B市銷售，共有飛機、火車、汽車三種運輸方式，現(xiàn)只選其中一種，這三種運輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示. 若這批水果在運輸（包括裝卸）過程中的損耗為200元/h，記A，B之間的距離為x km.

（1）如果用w1，w2，w3分別表示使用飛機、火車、汽車運輸時的總支出費用（包括損耗），求出w1，w2，w3與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）應采用哪種運輸方式，才能使運輸時的總支出最少？

解：（1）w1 = 17x + 1400，w2 = 6x + 2800，w3 = 12x + 1400.

（2）∵x gt; 0，∴w1 gt; w3恒成立. 當w3 gt; w2時，x gt; [7003]，即當x gt; [7003]時，w1 gt; w3 gt; w2；當w3 = w2時，x = [7003]，即當x = [7003]時，w1 gt; w3 = w2；當w3 lt; w2時，x lt; [7003]，即x lt; [7003]時，w1 gt; w3且w2 gt; w3.

所以當x = [7003] 時，選火車與汽車運輸總支出都最少；當x gt; [7003] 時，選火車運輸總支出最少；當x lt; [7003] 時，選汽車運輸總支出最少.

三、購買方案決策題

例3 某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶，西裝每套定價200元，領(lǐng)帶每條定價40元.廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：（1）買一套西裝送一條領(lǐng)帶；（2）西裝和領(lǐng)帶均按定價的9折付款.某商店老板要到該服裝廠購買西裝20套、領(lǐng)帶x（x gt; 20）條.請你根據(jù)x的不同情況幫助老板選擇最省錢的購買方案.

解：按方案（1）購買，應付款200 × 20 + （x - 20） × 40 = 40x + 3200（元）；按方案（2）購買，應付款（200 × 20 + 40x） × 90% = 36x + 3600（元）.

比較可知：當20 lt; x lt; 100時選擇方案（1）比方案（2）省錢；當x = 100時，選擇方案（1）與方案（2）同樣省錢；當x gt; 100時，選擇方案（2）比方案（1）省錢.

如果同時選擇方案（1）和方案（2），那么為了獲得廠方贈送領(lǐng)帶的數(shù)量最多，同時享受9折優(yōu)惠，可綜合設(shè)計方案（3），即先按方案（1）購買20套西裝并獲贈20條領(lǐng)帶，然后余下的（x - 20）條領(lǐng)帶按方案（2）購買，應付款：200 × 20 + （x - 20） × 40 × 90% = 36x + 3280（元）.方案（3）與方案（2）比較，顯然按方案（3）購買比較省錢.方案（3）與方案（1）比較，當36x + 3280 lt; 40x + 3200時，解得x gt; 20，即當x gt; 20時，方案（3）比方案（1）省錢.

綜上所述，當x gt; 20時，按方案（3）購買最省錢.

（作者單位：江蘇省泰州市第二中學附屬初級中學）