導數在卷積神經網絡訓練中的應用

摘要：近年來，人工智能發展勢頭強勁。在這一領域，導數在算法設計和模型優化等方面扮演著舉足輕重的角色。同時，導數也是高等數學教學中的重難點。以卷積神經網絡訓練為設計案例，旨在提煉出其中蘊含的數學方法和思想，以期激發學生對數學的興趣，培養他們的科研能力，同時也為基礎課程的建設和發展提供助力。

關鍵詞：高等數學；導數；方向導數；梯度；CNN；導數應用

中圖分類號：TP18文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2024）35-0016-05開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

0引言

在21世紀的數字化時代，人工智能（ArtificialIn?telligence，AI）已成為推動科技創新與經濟增長的關鍵動力。從深度學習的重大突破到自然語言處理的飛速發展，AI正以驚人的速度革新著生活和工作的方式[1]。如今，圖像識別技術現已經能夠匹敵甚至超越人類視覺，自動識別和分類數百萬圖像。語音助手如Siri（或其他語音助手）日益智能，可理解和執行復雜命令。自動駕駛系統，如特斯拉Autopilot，為駕駛者提供輔助功能。醫療領域中，AI輔助診斷系統幫助醫生提高診斷疾病的準確性和治療效率。金融行業內，通過大數據分析與機器學習算法，AI助力銀行和投資公司評估風險，并預測市場趨勢。教育領域內，個性化學習系統根據學生習慣與能力提供定制化教學方案。從智能音箱到自動駕駛汽車，從精準醫療到個性化教育，人工智能的應用已經深入人們生活的每一個角落。而在這一切背后，有一種數學工具正在發揮著至關重要的作用——那就是導數。

導數在人工智能的廣闊天地里，應用廣泛至極。它是機器學習和深度學習核心算法的數學基石，尤其在模型優化、性能分析以及特定應用領域發揮著不可替代的作用。例如，在深度學習領域內，導數可以幫助計算損失函數關于參數的梯度，沿梯度指引快速降低損失并提升預測能力。在強化學習中，導數幫助人們理解智能體的行為和環境之間的相互作用。如策略梯度方法[2]，計算獎勵函數關于智能體行為的導數，以便優化智能體的策略和反饋調整自己的行為，以達到更好的性能。再如基于梯度的優化算法，尋找最佳策略[3]和支持向量機[4]中的最優超平面。在模型性能分析中，導數評估模型對輸入變化的敏感度，增強對模型魯棒性和過擬合的理解。在圖像識別任務中，基于導數理解模型對輸入像素值輕微變動的反應，可揭示模型面對對抗性攻擊時的脆弱性。在自然語言處理領域，導數的重要性同樣不言而喻。比如，Word2Vec模型采用導數來計算詞向量之間的相似度。在處理序列數據，如機器翻譯或文本生成時，循環神經網絡（RecurrentNeuralNetwork，RNN）和長短期記憶網絡（LongShortTermMemory，LSTM）等[5-7]模型利用導數來計算隱藏狀態的變化，使得模型能夠學習并記住長時間的依賴關系。導數的應用使人工智能模型能夠更精確地捕捉到數據的本質特征，為解決復雜的實際問題提供了強大的數學工具。

導數作為高等數學的核心理論，既是被視為學習的重點也常被視為難點。其概念的抽象性、眾多復雜的公式及其應用常常使得學生感到困惑與挫敗。若教學過程僅理論與計算而忽視實際應用，難以幫助學生全面理解導數的概念與功能，也不利于激發學生的興趣和培養創新能力。因此本文從導數、方向導數和梯度等基本概念出發，深入分析它們之間的關系，進而以導數在卷積神經網絡（ConvolutionalNeuralNet?work，CNN）[8]的應用為例，深度討論導數在人工智能領域的具體應用，進而為高等數學的教學豐富化和基礎課程的建設與發展提供有力支持。具體工作主要體現在以下幾個方面：首先回顧相關知識，包括導數、方向導數和梯度等基本概念及其聯系；然后介紹梯度下降法；接著推導CNN的參數梯度遞推公式，并結合梯度下降法更新參數和優化目標函數；最后通過Py?thon環境下LeNet算法[9]在MNIST數據集上的實驗驗證梯度下降方法的有效性。

這里坐標（i′，j′）是第l+1層中在向前傳播中受第l層坐標（i，j）影響的點，坐標（h，w）是影響區域中的最大值的坐標。同時影響坐標（i′，j′）的點有k×k個，并且都滿足式（29）。因此在第l層中影響坐標（i′，j′）的k×k區域內最大值位置處的元素的誤差項為δ（l+1）i′，j′，其他位置全部值為0。當平均池化時

2.3小結

圖4是基于YannLeCun在1998年設計并提出的經典LeNet模型和MNIST數據集作為訓練樣本集進行實驗。圖中展現的是隨迭代次數增加，目標函數（loss）變化曲線圖。由圖可見，隨著迭代（epochs）次數增加，在更新參數的情況下，目標函數逐漸減少。可見在卷積神經網絡訓練中，反向傳播算法通過鏈式法則計算損失函數對參數的導數來調整網絡參數，確保參數更新方向和步長，降低損失，促進模型學習和優化，提升預測能力。

3結束語

從高等數學的基本概念—導數出發，結合當前熱門的人工智能領域，本文深入闡述了導數在卷積神經網絡訓練過程的具體應用。導數確定了CNN不同網絡層參數更新方向和步長，逐步調整參數，使輸出更接近期望，促進CNN高效學習和優化。最后，通過經典卷積神經網絡模型和數據集進行演示，實驗結果深層體現了導數在其中的實際應用。若新技術融合于基礎課程，有助于學生領悟理論、培養實際應用能力和創新思維，也利于未來技術工作或科研必備能力的形成；同時，促進課程建設與發展，使新技術為基礎學科提供支持。

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【通聯編輯：王力】

基金項目：安徽省級重點自然科學基金（KJ2021A1191）；安徽省普通高校交通信息與安全重點實驗室開放課題資助課題（JTX202204）；安徽省優青人才支持項目（gxyqzd2021140）