基于Beta-SARMA模型的安徽降雨量預測

摘要：本研究旨在通過Beta-SARMA時間序列模型捕捉安徽省降水模式，為農業產出、灌溉需求和農民福祉提供可靠數據支持。該模型在傳統SARIMA模型的基礎上，結合廣義線性回歸，并將殘差設定為Beta分布。研究發現，皖中和皖南地區的降水數據殘差符合高斯分布，而皖北地區則表現出不同的分布模式。Beta-SARMA模型在預測性能上普遍優于傳統SARIMA模型，顯示出更高的準確性和可靠性。

關鍵詞：降水量預測；廣義線性回歸；Beta-SARMA模型；R語言

降水預測在全球范圍內被視為一個至關重要的研究領域，其對農業、水資源管理以及整個社會經濟活動產生著深遠的影響。隨著氣候變化的加劇和極端天氣事件的頻繁發生，準確的降水預測變得越來越重要，以便各國政府和相關機構能夠及時采取適當的應對措施。近年來，科學家們已經采用了多種創新方法來提高降水預測的準確性。例如，王永濤等人開發的中長期降水預測模型就是一次重要嘗試。該模型利用小波分解技術結合預測重建過程，有效提取了降水數據中的關鍵特征，從而改善了預測的準確度[1]。另一方面，郭楠和王兆才采用了結合了麻雀搜索優化算法的BP神經網絡和馬爾可夫鏈，這種組合模型能夠更好地處理降水的非線性變化[2]。此類發現不僅在理論上有重要意義，也為實際的水資源管理和應急響應提供了實用的指導。

安徽省在地理上屬于華東地區，處于暖溫帶過渡地區，以淮河為分界線，北部屬暖溫帶半濕潤季風氣候，南部屬亞熱帶濕潤季風氣候。安徽省南北兩部的代表性城市的歷年降水量數據對研究安徽省降雨變化特征對農作物產量預報及因地制宜指導農業生產有著重要的意義[3-5]。

1 材料與方法

1.1 數據資料

選用的降雨量數據來源于歷年安徽省統計年鑒，收集了2000—2021年共計22年的安徽省16市（巢湖市不做分析）逐月降雨量資料，2000—2020年為訓練數據集，2021年為驗證集。

1.2 研究方法Beta-SARMA模型

時間序列分析廣泛應用在按時間順序收集的數據上，ARIMA模型是一個著名的時間序列分析模型，在降雨預測中起十分重要的作用[6]，ARIMA模型由自回歸（AR）部分、積分（I）部分和移動平均（MA）三部分組成。然而，需要注意的是，ARIMA模型基于對數據的高斯（正態）分布假設。這意味著它們假定數據遵循一個鐘形曲線，而這不一定適用于所有類型的數據。特別是對于那些季節性是由隨機過程引起的數據集，ARIMA模型可能不太適用。在這種情況下，廣義線性回歸給出了另一種使用非高斯模型的辦法，這種模型可以有效處理數據中的隨機機制驅動的季節性，并更好地捕捉數據背后的機制[7]。Beta-SARMA模型[8]是一個動態類的時間序列模型衍生自貝塔回歸模型。Beta-SARMA[9]模型集成了隨機季節、自回歸和移動平均動力學三個組成部分。假設是n個隨機變量的向量，對于每一個服從一個β分布，模型的表達式為：

這里的，是模型的自回歸和移動平均的系數，而和是季節性自回歸和移動平均的系數。P和q分別是模型的自回歸部分和移動平均部分的階數，P和Q分別是描述季節自回歸部分和季節移動平均部分的階數，S表示季節性頻率。

1.3 均方根誤差（RMSE）

在進行時間序列分析和預測時，評估模型的預測準確性是至關重要的。為此，研究者經常使用各種誤差指標來量化模型的預測能力。其中，均方根誤差[10]（RMSE）是最常用的評價指標之一，因為它綜合考慮了所有預測誤差，并提供了一個易于解釋的單一值。均方根誤差（RMSE）計算公式為：

2 結果與分析

考慮到安徽省的地理和氣候特征[11]，本研究將全省的16個城市依據地理位置劃分為三個主要區域：淮河以北（包括宿州、淮北、蚌埠、阜陽、亳州五市）、江淮之間（合肥、淮南、安慶、六安、滁州五市）以及長江以南（黃山、蕪湖、馬鞍山、銅陵、宣城、池州六市）。選擇了三個具有代表性的城市—安慶、亳州、黃山進行深入展示與分析。

2.1 模型建立及檢驗

Beta-SARMA模型的構建基于對殘差行為采用Beta分布，這要求將原始降雨量數據轉換至（0，1）的范圍內。圖1清晰展示了安慶、亳州和黃山三市在2000—2020年，經過此轉換處理的降雨量數據時間序列。在時間序列分析中，若序列的均值與方差隨時間保持恒定，則稱該序列為平穩的。使用ADF檢驗來測試三個城市的降雨量數據是否平穩，檢驗結果為所有城市的P值均低于0.05的臨界值，這表明安慶、亳州和黃山的降雨數據滿足平穩性需求。

圖2展示了安慶、亳州和黃山三市降雨量的自相關系數圖（ACF）和偏自相關系數圖（PACF）。安慶市的ACF圖在初期顯示顯著的非季節性峰值，而季節性成分在滯后12處表現突出。亳州市的ACF和PACF圖則顯示明顯的季節性和非季節性成分。黃山市的數據呈現初期的非季節性顯著峰值及季節性成分的周期性特征，表明三市降雨量時間序列中存在非季節性和季節性波動。

在確定了所有可能的非季節性自回歸（p）和移動平均（q）成分，以及季節性自回歸（P）和移動平均（Q）成分的組合后，使用R軟件并通過AIC準則選擇了每個城市的最佳Beta-SARMA模型。表1列出了三市最佳Beta-SARMA模型及其參數估計值。表1中的Ljung-Box[12]檢驗結果表明，Beta-SARMA模型成功擬合了安慶市和黃山市的降雨量數據，而亳州市的Ljung-Box檢驗P值顯著小于0.05，表明該模型未能有效捕捉亳州市的降雨模式。

2.2 模型預測

表2詳細展示了2021年三個城市的實際降水量與Beta-SARMA模型預測值之間的對比。

從表2可以看出，得出Beta-SARMA模型在這三個城市的均方根誤差（RMSE）分別為0.07276、0.14838和0.11514。與之形成對比的是，采用傳統SARIMA模型在同一時間段內的預測結果，其均方根誤差分別為0.07758、0.12996和0.11514。特別值得注意的是，在安慶市和黃山市，Beta-SARMA模型展現出的預測精度明顯優于傳統SARIMA模型，這一發現凸顯了在特定氣候和地理條件下，Beta-SARMA模型的高效性和適應性。

深入分析三市原始降水數據揭示了一些關鍵的地理和氣候特征。亳州市的月均降水量較低，其數據分布頻繁出現低于下四分位數的情況。這可能是由于亳州市地處淮河以北的平原區域，該地區降水量普遍偏低，導致數據呈現出顯著的偏態分布。此類偏態分布的數據對于線性模型的預測挑戰較大，不適合簡單的線性擬合。相比之下，安慶市和黃山市月均降水量均超過100 mm，降水量較為豐富。在這兩個城市中，Beta-SARMA模型通過將降雨量數據有效地轉換至（0，1）[13]區間，顯著提高了預測的準確性，從而在預測性能上超越了傳統SARIMA模型。

此外，對安徽省其余13個市近20年的月降水量數據進行深入分析，采用R語言挑選出適合各個城市的最佳Beta-SARMA模型，并利用auto.arima函數自動選擇最合適的SARIMA模型。這些模型的12期預測結果與實際降水量數據對比后得出的均方根誤差（RMSE）如表3所示。結果顯示，Beta-SARMA模型在合肥、安慶、六安等11個城市的預測中表現優異，其中10個城市位于皖中和皖南地區。

3 結論

采用Beta-SARMA時間序列模型對安徽省十六個市的降水進行預測，主要發現：通過自相關系數圖（ACF）、偏自相關系數圖（PACF）和Ljung-Box檢驗分析Beta-SARMA模型的殘差，皖中和皖南地區的降水數據殘差似乎符合高斯分布，而皖北地區則不然。這可能與皖北為暖溫帶半濕潤大陸性氣候，年降水量較少且集中在夏季有關；而皖南為亞熱帶濕潤氣候，年降水量豐富，特別是夏季降水充沛，表明Beta-SARMA模型更適用于降水量較大的區域。與SARIMA模型的RMSE誤差估計對比，Beta-SARMA模型在多數情境下顯示出明顯更高的預測精度，驗證了其優越性能。

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