排列組合問(wèn)題常見(jiàn)題型分類與總結(jié)

【摘要】排列組合是高中數(shù)學(xué)貼近生活的知識(shí)模塊，相關(guān)問(wèn)題靈活多變，考查方式常以填空題、解答題為主.解答排列組合問(wèn)題，關(guān)鍵在于按照要求對(duì)所有元素進(jìn)行篩選并排列組合.本文主要介紹幾種不同類型的排列組合問(wèn)題和對(duì)應(yīng)求解方法，以期幫助學(xué)生正確求解相關(guān)問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】排列組合；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

1特殊要求排列問(wèn)題

當(dāng)排列組合問(wèn)題中存在特殊元素或者特殊位置時(shí)，可以運(yùn)用“優(yōu)先法”作答.優(yōu)先法是指從特殊元素或特殊位置入手，優(yōu)先考慮特殊元素或特殊位置，然后安排其他元素或位置的方法.實(shí)際解答此類型問(wèn)題時(shí)，主要步驟如下：（1）根據(jù)具體題意確定特殊元素或特殊位置的個(gè)數(shù)及要求；（2）優(yōu)先考慮特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素的排列；（3）利用分步計(jì)數(shù)原理列式求解.

例1某歌唱明星和4位粉絲排成一排拍照留念，若該明星不站在兩端位置，則有多少種安排方法？

剖析本題既可以從特殊位置方向解答，也可以從特殊元素方向解答.若從特殊位置方向考慮，則先從四位粉絲中選擇兩位將兩端的位置安排好再安排剩下的三個(gè)位置；若從特殊元素方向考慮，則先安排明星的位置，從中間的三個(gè)位置中選一個(gè)，再安排剩下的四位粉絲的位置.

解析角度1：從特殊位置方向考慮，先安排兩端的位置，即從4位粉絲中挑選兩人站在兩端，則有A24種；再對(duì)剩下的3個(gè)位置進(jìn)行排列，有A33種，因此，排列方法一共有：A24A33=72種.

角度2：從特殊元素方向考慮，優(yōu)先安排明星的位置，明星只能從中間的3個(gè)位置選一個(gè)，則有A13種；剩下的4個(gè)位置和4位粉絲的排列方式有A44種，因此，排列方式一共有：A44A13=72種.

變式已知0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字，從中選擇3個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)數(shù)字，把其中最大的數(shù)字放在個(gè)位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有個(gè).

剖析該題有特殊要求，即個(gè)位數(shù)是3個(gè)數(shù)字中最大的一個(gè)數(shù)，既要關(guān)注特殊位置個(gè)位的要求，還要注意特殊元素0的存在.同時(shí)分情況討論，分別從存在0和不存在0的這種情況分析，排列得到具體可能數(shù).

解析若3個(gè)數(shù)字中沒(méi)有0，則共有C35A22個(gè)；若3個(gè)數(shù)字中有0，則共有C25個(gè)，一共有C35A22+C25=30個(gè)數(shù)字.

評(píng)析優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置是解答該類型問(wèn)題的關(guān)鍵，若有多個(gè)特殊元素或特殊位置時(shí)，要注意正確分類和分步.

2元素相鄰問(wèn)題

當(dāng)問(wèn)題中要求某些元素必須相鄰時(shí)，“捆綁法”是解答此類問(wèn)題的有效方法.捆綁法是指將必須相鄰的元素“捆綁”到一起，視為一個(gè)元素，然后再與剩下的元素進(jìn)行排列組合，并且要對(duì)“捆綁”的元素進(jìn)行內(nèi)部排列.實(shí)際解答此類型問(wèn)題時(shí)，主要步驟如下：（1）根據(jù)題意確定相鄰的元素并進(jìn)行“捆綁”；（2）排列組合“捆綁”后的元素與其他元素，并對(duì)“捆綁”元素進(jìn)行內(nèi)部排列；（3）列式計(jì)算，最后利用分步計(jì)數(shù)原理求解.

例2有8個(gè)不同顏色的小球，其中紅色的小球有3個(gè)，藍(lán)色的小球有2個(gè)，其他顏色的小球有3個(gè)，如果將這些小球排成一排放在墻角，要求紅色的小球剛好排在一起，藍(lán)色的小球也剛好排在一起，則一共有多少種不同的排法？

剖析要進(jìn)行“捆綁”的元素分別是紅色的3個(gè)小球和藍(lán)色的2個(gè)小球，將其看作兩個(gè)元素與剩下的3個(gè)小球進(jìn)行排列，還要對(duì)紅色的3個(gè)小球和藍(lán)色的2個(gè)小球分別進(jìn)行內(nèi)部排列，最后求解.

解析3個(gè)紅色的小球剛好排在一起，則有A33種方法；2個(gè)藍(lán)色的小球剛好排在一起，則有A22種方法；對(duì)“捆綁”后的元素排列，則有A55種方法；綜上所述，總的排列方法為A33·A22·A55=1440種.

變式有3對(duì)雙胞胎站在一排拍照，恰好有一對(duì)雙胞胎相鄰的站法有種.

剖析需要根據(jù)不同位置的站法分類捆綁求解問(wèn)題，相鄰的一對(duì)雙胞胎可以捆綁看做一個(gè)元素，但仍需要從3對(duì)中挑選，其次排列組合的位置也需要分類討論，故捆綁后分類計(jì)算再綜合求解.

解析將位置從左往右依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6.

①恰好有一對(duì)雙胞胎站在1，2號(hào)，則再選一對(duì)雙胞胎站在3，5號(hào)，另一對(duì)雙胞胎站在4，6號(hào)即可，且每對(duì)雙胞胎的兩人都可以交換位置，則有C13A22C12A22A22種站法；

②恰好有一對(duì)雙胞胎站在2，3號(hào)，4，5號(hào)，5，6號(hào)時(shí)，情況同前，故有3C13A22C12A22A22種站法；

③恰好有一對(duì)雙胞胎站在3、4號(hào)，則余下兩對(duì)雙胞胎各選一人站在1、2號(hào)即可，從而有C13A22C12C12A22A22種站法；

綜上，總站法有4C13A22C12A22A22+C13A22C12C12A22A22=288種.

評(píng)析處理元素相鄰問(wèn)題，主要遵循原則為“先整體后局部”，即先考慮其他元素和“捆綁”元素的安排方式，再考慮“捆綁”元素的內(nèi)部排列方式.

3元素不相鄰問(wèn)題

元素不相鄰問(wèn)題一般是指求解的題目中要求某兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素之間必須有其他元素存在，不能相鄰排列的問(wèn)題，解答此類型問(wèn)題一般利用“插空法”求解.插空法是將不能相鄰的元素插入其他元素之間的空隙進(jìn)而求解的方法.實(shí)際解答此類型問(wèn)題時(shí)，主要步驟如下：（1）結(jié)合實(shí)際問(wèn)題確定不能相鄰的元素個(gè)數(shù)及要求；（2）安排剩下的元素位置并計(jì)算其兩兩之間的空隙數(shù)（根據(jù)實(shí)際情況判斷是否能排在兩端的位置）；（3）將不能相鄰的元素排列到空隙中，并利用分步計(jì)數(shù)原理求解.

例34名男生和2名女生站成一排合影，當(dāng)2名女生不相鄰時(shí)，不同的排法有多少種？

剖析本題的排列過(guò)程分兩步進(jìn)行，首先考慮4名男生的位置，一共形成5個(gè)空隙，然后再將2名女生隨機(jī)插入這5個(gè)空隙中即可.

解析第一步：對(duì)4名男生的位置進(jìn)行排序，則有A44種方法；此時(shí)形成5個(gè)空隙（算上兩端的位置）.

第二步：對(duì)2名女生的位置進(jìn)行排序，則有A25種方法.

綜上所述，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，一共的安排方法有：A44·A25=480種.

評(píng)析一定要正確掌握元素不相鄰問(wèn)題與元素相鄰問(wèn)題的求解方法，要注意區(qū)別和聯(lián)系.

4結(jié)語(yǔ)

排列組合問(wèn)題是高中階段的一個(gè)重要問(wèn)題，雖然涉及的題型很多，但難度不大，只要掌握了一定的規(guī)律和方法就能正確求解，因此學(xué)生一定要熟練掌握每一種題型的求解方法.

參考文獻(xiàn)：

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