丟番圖方程在余弦定理中的應(yīng)用

【摘要】本文深入探討運(yùn)用余弦定理解決三角形涉及丟番圖方程相關(guān)問題的方法.通過個具體實例分析，闡述如何利用余弦定理構(gòu)建丟番圖方程，并用不同解法分別求解三角形邊長、角度等問題.最后，以比薩斜塔模型為例，說明丟番圖方程在實際問題中具有的現(xiàn)實意義和應(yīng)用價值.通過實際應(yīng)用丟番圖方程，學(xué)生可以領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的熱愛，認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實問題中的重要地位，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和實踐能力，拓展思維空間.

【關(guān)鍵詞】丟番圖方程；余弦定理；運(yùn)算能力

1引言

余弦定理作為三角學(xué)中的基本定理，廣泛應(yīng)用于解決各類三角形問題.近年來，涉及余弦定理的丟番圖方程問題在高考中逐漸受到重視，并成為考生關(guān)注的焦點之一.本文將通過實例說明如何利用余弦定理解決一些典型的丟番圖方程問題，并闡釋丟番圖方程的不同解法在余弦定理中的應(yīng)用.

2丟番圖方程在余弦定理中的應(yīng)用

例1（2016·北京）在△ABC中，a2+c2=b2+2ab，求B.

解析由題意可得a2+c2－b2=2ac，這是一個關(guān)于a，b，c的丟番圖方程.由余弦定理可得cosB=a2+c2－b22ac=2ac2ac=22.因為0°<B<180°，所以B=45°.

分析這是一道涉及丟番圖方程的數(shù)學(xué)高考問題，根據(jù)題目條件只能列出一個方程，但涉及三個未知數(shù)a，b，c，然而一個方程解不出三個未知數(shù)a，b，c，這時要聯(lián)想到分子和分母存在倍數(shù)關(guān)系，對式子做簡

單變形，分子和分母可以消去未知數(shù)ac，即可得到答案.在面對與三角形相關(guān)的丟番圖方程時，可以嘗試從余弦定理的角度尋求解決之道.

例2（2016·北京）在△ABC中，A=2π3，a=3c，則bc= .

解析因為A=2π3，a=3c，所以由余弦定理可得cosA=b2+c2－a22bc=－12.把a(bǔ)=3c代入上式得b2+bc－2c2=0，等式兩邊同除以c2可得bc2+bc－2=0，解得bc=2.

分析這是一道涉及丟番圖方程的數(shù)學(xué)高考問題，根據(jù)題目條件能列出兩個方程，但涉及三個未知數(shù)a，b，c.兩個方程解不出三個未知數(shù)，此題也不像例1那樣一下子就可以推導(dǎo)出分子和分母存在倍數(shù)關(guān)系，因此不易求出.丟番圖方程是未知量的個數(shù)多于方程的個數(shù)，而定方程是未知量的個數(shù)等于方程的個數(shù).這道題的丟番圖方程通過等效變換可以轉(zhuǎn)化為定方程，從而可得到唯一的答案.

例3設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足a=2，A=60°，其中b和c都為正整數(shù).求b和c.

解析由余弦定理可得a2=b2+c2－2bccosA.因為a=2，A=60°，所以b2+c2－bc=4是關(guān)于b和c的丟番圖方程.若c≥b時，則b2+c（c－b）=4，因為b，c都為正整數(shù)，所以b≤2.

當(dāng)b=1時，c（c－1）=3，則c=1，c－1=3或c=3，c－1=1，，因此易得方程無正整數(shù)解.

當(dāng)b=2時，易得c=2.若c≤b時，同理可得b=2，c=2.

綜上所述可得，b=2，c=2.

分析在這個問題中，首先根據(jù)余弦定理得到一個關(guān)于b和c的丟番圖方程.然后，通過設(shè)定b≥c來簡化問題，進(jìn)而運(yùn)用代數(shù)方法求解.這個過程不僅可以找到△ABC中邊長b和c的值，還可以推廣到其他涉及三角形的問題.通過靈活運(yùn)用余弦定理以及丟番圖方程，可以更精確地求解涉及三角形的問題.

例4若測量對象變更為比薩斜塔模型，如圖1，此時建筑物不與地面垂直，且可測量出以60°角觀測測量目標(biāo)點B處時地面距離AC為8米.求比薩斜塔模型的高度.

解析利用余弦定理及丟番圖方程思想，可以找出較符合條件的整數(shù)解.

設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.由余弦定理得a2=64+c2－2×8×c×cos60°，經(jīng)整理得a2－（c－4）2=48，即（a+c－4）（a－c+4）=48.因48的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，

則a+c－4=1a－c+4=48或a+c－4=48a－c+4=1或

a+c－4=2a－c+4=24或a+c－4=24a－c+4=2或

a+c－4=6a－c+4=8或a+c－4=3a－c+4=16或

a+c－4=16a－c+4=3或a+c－4=4a－c+4=12或

a+c－4=12a－c+4=4或a+c－4=8a－c+4=6.

解得a=24.5，c=－19.5，或a=24.5，c=27.5，或

a=13，c=－7，或a=13，c=15，或a=7，c=3，或a=9.5，c=－2.5，或

a=9.5，c=10.5或a=8，c=4，或a=8，c=0，或a=7，c=5.

由于a，b，c是正整數(shù)，再綜合分析成立的五組解，a=13，b=8，c=15最符合實際情境，因比可得到結(jié)論：比薩斜塔模型的高度為13米.

分析此題為數(shù)學(xué)建模思維拓展題，揭示了丟番圖方程與余弦定理在解決現(xiàn)實情境中三角形問題中的關(guān)鍵作用.丟番圖方程在人們的實際生活中具有現(xiàn)實意義和應(yīng)用價值，可以將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而利用丟番圖方程解決此類問題.

3結(jié)語

通過以上分析，發(fā)現(xiàn)利用余弦定理解決與三角形相關(guān)的丟番圖方程問題是切實可行的，它是一種高效的解決策略.本文通過實例演示了如何運(yùn)用余弦定理有效處理一些典型的三角形相關(guān)的丟番圖方程問題.通過五個具體實例分析，闡述了如何利用余弦定理構(gòu)建丟番圖方程，并用不同解法分別求解三角形邊長、角度，還涉及測量比薩斜塔模型的高度等問題.丟番圖方程在解決實際問題中具有廣泛的適用性，可以將其應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域，解決更多的實際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中的重要作用.

【本文系海南省教育科學(xué)規(guī)劃一般課題《高中丟番圖方程運(yùn)算能力的實踐研究》階段性成果之一；課題編號：QJY20211041】

參考文獻(xiàn)：

[1]陳進(jìn)平.關(guān)于橢圓曲線y2=nx（x2－4）的整數(shù)點的一個注記[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2017，35（03）：290-291+346.