絕對值函數的探究與應用

【摘要】本文主要對函數fx=|ax+b|±|cx+d|的解析式、圖象、性質等進行探究，將函數fx=ax+b±cx+d分為四類，總結每一類的函數性質，借助幾何畫板繪制每一類函數的圖象，接著運用性質及圖象解決問題．運用本文的內容，不需要分類討論去絕對值就可解決問題，這樣有效的避免了去絕對值帶來的麻煩.通過本文探究，對函數fx=ax+b±cx+d有一個宏觀的把握，這些函數性質能夠快速準確的解決雙絕對值不等式相關題型．

【關鍵詞】隔點；函數；雙絕對值；高中數學

1隔點的定義

對于ax+b，其中a≠0，我們把ax+b=0的實數x叫做隔點.

如函數fx=ax+b±cx+d（a≠0，c≠0）中有2個隔點，分別為x1=－ba，x2=－dc.

2將函數fx=ax+b±cx+d分為四類進行探究

2.1同系數雙絕對值的和fx=ax+b+ax+d，其中a≠0，b≠d

證明函數fx=ax+b+ax+d中有2個隔點，分別為x1=－ba，x2=－da.

不妨設a>0，x1<x2，則

fx=－2ax－b－d， x<x1b－d， x1≤x≤x22ax+b+d， x>x2

由分段函數畫出fx=ax+b+|ax+d|的圖象形狀為圖1.

（1）函數fx=ax+b+ax+d有對稱軸x=x1+x22=－b+d2a.

（2）當x0∈x1，x2時，fxmin=fx0=fx1=fx2.

例1（2008年山東高考題） fx=x+1+x－a關于x=1對稱，求a的值.

解由上述結論可知fx=x+1+x－a的對稱軸為x=a－12，即a－12=1；解得a=3.

例2（2013年重慶卷第16題）若關于實數x的不等式x－5+x+3<a無解，則實數a的取值范圍是．

解在了解fx=x－5+x+3圖象的基礎上，易知：fxmin=f5=8，即a≤8.

2.2同系數雙絕對值的差fx=|ax+b|－|ax+d|，其中a≠0，b≠d.

證明函數fx=ax+b－ax+d中有2個隔點，分別為x1=－ba，x2=－da.

情形1不妨設a>0，x1<x2，即b>d，則

fx=－（b－d）， x<x12ax+b+d， x1≤x≤x2b－d， x>x2 .

由分段函數畫出fx=ax+b－ax+d的圖象為圖2.

此時，函數fx=ax+b－ax+d的圖象關于點x1+x22，0對稱，

函數fx=ax+b－ax+d的最小值為fx1=f－ba=－b－d，

函數fx=ax+b－ax+d的最大值為fx2=f－da=b－d.

情形2不妨設a>0，x1>x2，即b<d，則

fx=－（b－d）， x<x2－2ax－b－d，x2≤x≤x1.b－d，x>x1

由分段函數畫出fx=ax+b－|ax+d|的圖象形狀為圖3.

此時，函數fx=ax+b－ax+d的圖象關于點x1+x22，0對稱，

函數fx=ax+b－ax+d的最小值為fx1=f－ba=b－d，

函數fx=ax+b－ax+d的最大值為fx2=f－da=－b－d.

綜上可知：fx=ax+b－ax+d中依次求隔點x1，x2

（1）當x1<x2時，fx=ax+b－ax+d的圖象形狀為圖2.

（2）當x1>x2時，fx=ax+b－ax+d的圖象形狀為圖3.

2.3不同系數雙絕對值的和fx=ax+b+cx+d有最小值，且最小值在系數大的隔點處取到.

證明函數fx=ax+b+cx+d中有2個隔點，分別為x1=－ba，x2=－dc.

情形1不妨設a>c>0，x1<x2，則

fx=－（a+c）x－b－d，x<x1（a－c）x+b－d，x1≤x≤x2.（a+c）x+b+d，x>x2

由分段函數畫出fx=ax+b+|cx+d|的圖象為圖4.

可知函數fx=ax+b+cx+d在－∞，x1上為減函數；在x1，+∞上為增函數.

所以函數fx=ax+b+cx+d有最小值fx1=f－ba=－bca+d.

情形2不妨設a>c>0，x1>x2，則

fx=－（a+c）x－b－d，x<x2（c－a）x－b+d，x2≤x≤x1.（a+c）x+b+d，x>x1

由分段函數畫出fx=|ax+b|+|cx+d|的圖象為圖5.

可知函數fx=ax+b+cx+d在－∞，x1上為減函數；在x1，+∞上為增函數.

所以函數fx=ax+b+cx+d有最小值fx1=f－ba=－bca+d.

例3（2014年重慶卷第16題）若不等式2x－1+x+2≥a2+12a+2對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是.

解由上述結論可知fx=2x－1+x+2的最小值為fxmin=f12=52.

即a2+12a+2≤52，解得：－1≤a≤12.

例4（2015年重慶卷第16題）若函數fx=x+1+2x－a的最小值為5，則實數a=.

解由上述結論可知fx=x+1+2x－a的最小值為fxmin=f（a）=|a+1|=5.

解得a=4或－6.

2.4不同系數雙絕對值的差fx=|ax+b|－|cx+d|有最大值或最小值

2.4.1fx=ax+b－cx+d若系數大的絕對值前為正，則有最小值，且在系數大的隔點處取到.

證明函數fx=ax+b－cx+d中有2個隔點，分別為x1=－ba，x2=－dc.

不妨設a>c>0，x1<x2，

則fx=－（a－c）x－b+d，x<x1（a+c）x+b+d，x1≤x≤x2.（a－c）x+b－d，x>x2

由分段函數畫出fx=ax+b－|cx+d|的圖象為圖6.

可知函數fx=ax+b－cx+d在－∞，x1上為減函數；在x1，+∞上為增函數.

所以函數fx=ax+b－cx+d有最小值fx1=f－ba=－－bca+d.

同理可證，當a>c>0，x1>x2時，函數fx=ax+b－cx+d有最小值fx1=f－ba=－－bca+d.

2.4.2fx=ax+b－cx+d若系數大的絕對值前為負，則有最大值，且在系數大的隔點處取到.

證明函數fx=ax+b－cx+d中有2個隔點，分別為x1=－ba，x2=－dc.

不妨設c>a>0，x1<x2，則

fx=（c－a）x－b+d，x<x1（a+c）x+b+d，x1≤x≤x2.（a－c）x+b－d，x>x2

由分段函數畫出fx=ax+b－cx+d的圖象為圖7.

可知函數fx=ax+b－cx+d在－∞，x2上為增函數；在x2，+∞上為減函數.

所以函7498bcd02f265c827dce0bc7f1e3ba9c數fx=ax+b－cx+d有最大值fx2=f－dc=－adc+b.

同理可證，當c>a>0，x1>x2時，函數fx=ax+b－cx+d有最大值fx2=f－dc=－adc+b.

例5（2022年浙江卷第9題）已知a，b∈R，若對任意x∈R，a|x－b|+|x－4|－|2x－5|≥0，則（）

（A）a≤1，b≥3.（B）a≤1，b≤3．

（C）a≥1，b≥3．（D）a≥1，b≤3．

解特殊值法處理此題.

①取a=0，fx=x－4－2x－5有最大值fxmax=f52=32，值域為－∞，32，不符合題意，排除（A）（B）選項.

②取a=1，b=4，fx=2|x－4|－|2x－5|隔點依次為x1=4，x2=52.此時fxmin=f4=－3，不符合題意，排除（C）選項.故答案為（D）.

例6解不等式x－5－2x+3<1.

解令fx=x－5－2x+3，

由2.4.2可快速畫出函數大致圖象，如圖8.

隔點依次為x1=5，x2=－32，fxmax=f－32=132>1，f5=－13<1，所以fx=1有兩個根，分別為－7，13.結合圖象可知不等式的解集為－∞，－7∪13，+∞.

參考文獻：

[1]劉紹學.數學選修4-5[M].北京：人民教育出版社，2007：8-14.

[2]杜志建.金考卷特快專遞. 2022年數學理科（第一期），2022：6.