從一道模擬題談拋物線的對稱美

【摘要】圓錐曲線中的綜合問題是高考的難點，由于題型比較靈活，學生往往難以突破，究其原因是沒有很好的把握圓錐曲線的性質和特點.圓錐曲線具有很好的對稱性，特別是在定點、定值等命題中有很好地體現，也是命題者在命題中喜歡深度挖掘的問題.如果我們能夠探索其中的規律，就能夠很好的突破難點.本文從一道模擬題出發，探索拋物線中的定點、定值和最值等問題，體現拋物線的對稱美，還體現由特殊到一般、數形結合、轉化與化歸的數學思想.

【關鍵詞】圓錐曲線；定點；定值；高中數學

1題目及解析

例在平面直角坐標系內，點F1，0，過點P作直線l：x=m的垂線，垂足為M，MF的中點H在y軸上，且PM+PF·FM=0.設點P的軌跡為曲線Q.

（1）求曲線Q的方程;

（2）已知點D－1，0，A為曲線Q上一點，直線AD交曲線于另一點B，且點A在線段BD上，直線AF交曲線Q于另一點C，△BCD內切圓的半徑是否存在最小值？若存在，求出最小值.若不存在，請說明理由.

分析本題第（2）問需要證明當點D與拋物線相切時，△BCD內切圓的半徑達到最小值.但是當點D與拋物線相交時，由幾何法可以證明隨著直線的傾斜角變小，△BCD內切圓的半徑越來越大.所以當相切時內切圓的半徑取不到最小值.

解（1）y2=4x.

（2）如圖1所示，過點D作拋物線y2=4x的兩條切線，設切點分別為Cx1，y1，Bx2，y2.

直線CD的方程為：y=k1（x+1）（k1>0），

設直線BD的方程為：y=k2（x+1）（k2<0）.

聯立方程組y=k1x+1，y2=4x，

得：k1y2－4y+4k1=0.

因為直線CD與拋物線相切，

所以Δ=16-16k2=0，

所以k1=1，

所以y2－4y+4=0，y1=2，

同理得k2=－1，y2=－2，

所以k1k2=－1，x1=x2=1，BD⊥CD，B，C關于x軸對稱且線段BC過焦點F，

所以△BCD為等腰直角三角形，

CD=BD=22+22=22，BC=4，

此時r=2S△BCDC△BCD=2×12×22×2222+22+4=22－1.

如圖2所示，已知點D－1，0，A為曲線Q上一點，直線AD交曲線于另一點B，且點A在線段BD上，直線AF交曲線Q于另一點C，設Ax1，y1，Cx2，y2，Bx3，y3，直線AF的方程為：x=my+1，直線AD的方程為：x=ny－1，

聯立方程組x=my+1，y2=4x，

得：y2－4my－4=0，

所以y1y2=－4，

同理聯立x=ny－1，y2=4x，

得：y2－4ny+4=0，

所以y1y3=4，

所以y2=－y3，即B，C關于x軸對稱.

設BC交x軸于點E，CE=m，△BCD內切圓的圓心為M，半徑為r，

設∠MCE=α，

則∠CDE=π2－2α，r=m·tanα.

當∠CDE越小，則α越大，tanα越大，m越大，易知r=m·tanα越大.

故當BD、CD與拋物線相交時，r>22－1，即△BCD內切圓的半徑r不存在最小值.

2一般結論的推導

筆者思考是否可以把題目中的拋物線和相關的點進行一般化，并做了嘗試，證明得到了以下的結論.

結論1在平面直角坐標系內，點Fp2，0，過點P作直線l：x=m的垂線，垂足為M，MF的中點H在y軸上，且PM+PF·FM=0.設點P的軌跡為曲線Q.

（1）求曲線Q的方程;

（2）已知點D－p2，0，A為曲線Q上一點，直線AD交曲線于另一點B，且點A在線段BD上，直線AF交曲線Q于另一點C，△BCD內切圓的半徑是否存在最小值？若存在，求出最小值.若不存在，請說明理由.

解如圖1所示，過點D作拋物線y2=2px的兩條切線，設切點分別為Cx1，y1，Bx2，y2.

設直線CD的方程為：

y=k1x+p2k1>0.

設直線BD的方程為：

y=k2x+p2k2<0.

聯立方程組y=k1x+p2，y2=2px，

得：k1y2－2py+k1p2=0.

因為直線CD與拋物線相切，

所以Δ=4p2-4k12p2=0，

所以k1=1，

所以y2－2py+p2=0，故y1=p，

同理：得k2=－1，y2=－p，

所以k1k2=－1，x1=x2=p2，BD⊥CD，B，C關于x軸對稱且線段BC過焦點F，

所以△BCD為等腰直角三角形，

CD=BD=p2+p2=2p，BC=2p，

此時r=2S△BCDC△BCD=2×12×2p×2p2p+2p+2p

=p2－1.

如圖2所示，已知點D－p2，0，A為曲線Q上一點，直線AD交曲線于另一點B，且點A在線段BD上，直線AF交曲線Q于另一點C，

設Ax1，y1，Cx2，y2，Bx3，y3，

直線AF的方程為：x=my+p2，

直線AD的方程為：x=ny－p2，

聯立方程組x=my+p2，y2=4x，

得y2－2pmy－p2=0，

所以y1y2=－p2，

同理聯立x=ny－p2，y2=4x，

得：y2－2pny+p2=0，

所以y1y3=p2，

所以y2=－y3，即B，C關于x軸對稱，

設BC交x軸于點E，CE=m，△BCD內切圓的圓心為M，半徑為r，

設∠MCE=α，則∠CDE=π2－2α，

r=m·tanα，

當∠CDE越小，則α越大，tanα越大，m越大，易知r=m·tanα越大.

故當BD、CD與拋物線相交時，r>p2－1，即△BCD內切圓的半徑r不存在最小值.

參考文獻：

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