高中數學教學和解題中類比思維的運用

【摘要】數學作為集結構、空間、信息、數量等概念為一體的綜合性課程，有顯著的抽象性、邏輯性特點，所以對學生而言學習難度比較高．特別是進入高中階段，數學學習內容更加復雜繁瑣，影響學生的學習效率．類比思維作為一種高效的學習方式，可加深學生對數學本質的理解，強化學生的數學學習效率．本文探索高中數學教學和解題中類比思維的運用方法，希望為高中數學教師提供教學新思路．

【關鍵詞】高中數學；類比思維；解題技巧

在高中教育體系中，數學作為重要課程之一，開展數學課程，可強化學生的思維邏輯能力、創新能力，加深學生對所學知識的理解，使學生形成扎實的學習基礎．為了幫助學生深入理解所學知識點，高中數學教師在課堂教學中付出極大努力，嘗試運用不同的教學方法、解題技巧，引導學生對問題展開深入分析，提高學生的問題解決能力．類比思維就是一種有效的思維方式，通過分析事物中的內在關聯性，探索事物之間的相同之處與不同之處，此種思維方式有助于強化學生的問題解決能力，加深學生對數學內在本質的理解．

1注重新舊知識比較的聯系

在高中數學教學與解題中運用類比思維，可強化數學知識點的內在關聯性[1]，讓學生從中吸取更多的知識養分，并在運用新知識的同時，注重舊知識的合理融合，使復雜的數學問題簡單化，降低學生的學習難度，提高學生的解題能力．為此，在高中數學教學組織中，運用類比思維，基于舊知識的基礎上，讓學生對新知識展開探索與分析，增強學生對新舊知識的運用能力，提高學生的創新能力與學習效率，夯實學生的數學學習基礎．

例如在高中數學教學中，對于等差數列和等比數列的定義、公式存在相似性特點[2]，教師可指導學生對于此類問題運用類比思維，從等差數列的性質入手，理解等比數列的內涵本質，掃清學生的學習障礙，保障解題教學水平．

例1假設{ɑn}與{bn}屬于無窮數列，而二者均為等比數列，請問{ɑn+bn}是否屬于等比數列，如若是請寫出前n項和公式．

解析對于此類問題，想要學生準確寫出答案，教師要引導學生運用類比思維，假設cn=ɑn+bn，根據已知條件，學生可以列出c2n－cn+1cn－1=（a1qn－11+b1qn－12）2－（a1qn1+b1qn2）（a1qn－21+b1qn-22）．假設q1與q2的值相同，任意n∈N，n≥2，說明c2n=cn+1cn－1恒成立．所以進一步判定{ɑn+bn}屬于等比數列．由此說明，

Sn=n（a1+b1），q1=q2=1（a1+b1）（1－qn1）1－q1，q1=q2≠1，

假設q1≠q2的情況下，任意n∈N，n≥2，c2n≠cn+1cn－1，說明{ɑn+bn}不是等比數列．

2注重解題思路的簡化

在高中數學知識學習期間，不但要讓學生熟練掌握基礎理論知識，還要讓學生在教師的悉心引導下順利完成學習任務，鞏固與夯實學生的學習基礎，強化學生的學習能力．但是大多數學生在學習數學科目時，沒有將數學當成一種興趣，未能意識到數學學習的重要意義．在高中數學教學與解題中，涉及許多數學公式，這些公式內容枯燥無味[3]，學生無法靈活運用公式對問題進行準確解答．教材中的公式定理只是課堂教學的一部分，證明流程只是對定理可行性的拓展，學生難以準確把握數學知識的內在本質，容易影響學生的數學學習效率．類似思維的合理運用，可清掃學生的學習障礙，使學生的解題思路更加清晰，提高學生的解題能力，以免將數學知識點相互混淆，影響學生的解題效率．

例2觀察圖1，點P、Q、R是三角形ABC三條邊的某個點，已知APAB=BQBC=CRAC=13，請問S△PQR與S△ABC的比值是多少．

解析教師指導學生閱讀題目，進而分析出題目中的隱藏條件，學生發現AP=13AB，BQ=13BC，CR=13AC，由此得出BP=23AB，CQ=23BC，AR=23AC，

判定出S△APR=12AP·ARsinA=29S△ABC，

S△BPQ=12BQ·BPsinB=29×12BC·ABsinB=29S△ABC，

S△CQR=12CR·CQsinC=29×12AC·BCsinC=29S△ABC．

為此，學生判定出S△PQR=S△ABC-S△APR-S△BPQ-S△CQR=13S△ABC，以此推算出S△PQR與S△ABC的比值是13．

3梳理平面圖形概念

在高中數學教學與解題講授中，類比思維往往運用于平面圖形和立體圖形的類比、相似數學概念之間的類比、不同數學知識點的類比、解題方法本身的類比、數學特點的類比[4]．通過平面圖形與立體圖形的類比，使學生更好地掌握立體圖形的概念，可幫助學生形成良好的空間思維能力，得出一般性結論，這對學生解決此類問題大有益處，能夠強化學生的解題能力．

例3假設結論：正三角形內一點至三邊距離之和是一個定值，把空間和平面進行類比，在空間中什么樣的圖形可以對應三角形？在對應圖形中有與以上結論相對應的結論嗎？

解析教師指導學生運用類比思維，正三角形對應正四面體，學生發現三角形的邊可以對應四面體的面，學生大膽提出自身猜想：正四面體中的一點到四個面距離之和是一個定值.學生對自己的猜想展開大膽思考，觀察圖1，在正三角形中，假設正三角形的邊長為ɑ．由于S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，學生得出34a2=12a·PD+12a·PE+12a·PFPD+PE+PF=32a．同時，學生繼續觀察圖2，在正四面體中，假設正四面體A-BCD棱長為ɑ，發現VA-BCD=VP-BCD+VP-ABC+VP-ABD+VP-ACD，學生得出212a3=13S△ABC（PE+PF+PG+PH）PE+PF+PG+PH=63a．在正三角形中，學生通過利用面積分割方法進行證明，且與正三角相類似的正四面體，也可運用分割法進行證明．

4結語

綜上所述，在高中數學教學與解題中，教師要發揮引導促進作用，指導學生深入分析數學知識點中的內在關聯性，為學生構建完善的知識體系；支持與引導學生舉一反三，將類比思維運用到解題當中，強化學生的解題效率，保障學生的學習質量，讓學生在類比思維運用中，掌握類比思維的內在精髓，啟迪學生的解題思維，不斷開闊學生的學習視野，使學生的學習效率不斷提升，夯實學生的數學學習基礎．為此，高中數學教師要把類比思維運用于實處，讓學生真正意識到類比思維在解題中運用的便捷性、快捷性，從而熟練掌握類比思維內涵，強化學生的數學思維能力，促進高中數學教學創新發展．

參考文獻：

[1]于鶯彬.基于類比思維的高中數學教學設計——以“空間幾何體的外接球和內切球”為例[J].中學數學教學參考，2023（13）：27-30.

[2]譚娜.“類比教學”在高中數學中的運用——以“函數的零點與方程的解”為例[J].中學數學（高中版），2022（10）：19-21.

[3]高云峰.如何在教學中培養學生的思維和能力（4）：類比與聯想[J].力學與實踐，2023，45（01）：163-168.

[4]葉長春.借助類比思維 破解數學解題困境[J].數理化解題研究，2023（30）：8-10.