數列“－1n·f(n）”模型求和策略

【摘要】“微專題”是日常教學的重要手段，數列求和問題是高考重點考查的內容.數列常見模型有“－1n·f（n）”，本文立足“通性通法”尋求“模型化”，探索其本質，讓學生深刻體會到不同解題的方法的計算量.通過對數列通項公式的剖析和變形，不難發現最終可以轉化成數列常用的數列求和方式進行求取.本文通過具體實例，談談數列通項公式中含“－1n”形式的解決策略．

【關鍵詞】數列求和；高中數學；解題技巧

高中階段，數列求和是高考常考的題型，既是重點也是難點，數列求和變化多樣，技巧性強，總歸萬變不離其宗．數列常用的求和基本方法：直接用公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、并項求和法等.在高考題中數列求和經常會遇到通項公式有“－1n·f（n）”的形式，往往通過對通項公式分析再進行變形，才能轉化成常見的求和模型，這類題目綜合性很強，難度也較大，所以在日常更加注重培養學生邏輯思維和數學中轉化思想的核心素養．本文通過微專題模式，總結出幾種處理數列“－1n.f（n）”模型求和解題策略．

1探究1“－1n×等差通項”型

例1設cn=（-1）n·（4n-3），求數列{Cn}前n項和An.

解決策略1由于“－1n”的產生造成通項公式正負相間出現，可以采用奇偶分類的思想解決，這樣分類就把正負數據區分開，可得cn=3－4n（n為奇）4n-3（n為偶），由于求前n項和，求和時尾項到底是誰？此時再次需要分奇偶討論求和，通常先討論n為偶數情況，當n為偶數時，An=（c1+c3+c5+…+cn-1）+（c2+c4+c6+…+cn）=[-1+（-9）+（-17）+…+（7-4n）]+（5+13+21+…+4n-3），由于前后兩部分和均為等差數列，可以直接用公式法進行求和，An=n2（－1+7－4n）2+n2（5+4n－3）2=2n；

當n為奇數時，可借助偶數情況求取，避免重復運算，即An=An+1-cn+1=2（n+1）-4n-1=-2n+1．

解決策略2通過觀察發現相鄰兩組數據相加，會構成一個新的等差數列，此時可以采用并項求和法解決，此時再次需要分奇偶討論求和，先討論偶數，這樣恰好兩兩結組，無剩余項．當n為偶數時，An=（c1+c2）+（c3+c4）+（c5+c6）+…+（cn-1+cn）=（4+4+4+…+4）=4.n2=2n ，當n為奇數時，可借助偶數情況求取，即An=An+1-cn+1=-2n+1；這樣就大大減少了計算量，提升解題效率．

解決策略3“－1n”是一個擺動數列，也可以看成以-1為首項，-1為公比的等比數列，此時轉化成等差數列乘等比數列模型，可以采用錯位相減法求和．

2探究2“－1n×等差通項×等差通項”型

例2已知cn=（-1）n·（3n-2）·（3n+1），求數列{Cn}的前n項和An．

解決策略對于這個題目，大多數學生會想到奇偶分類，但是奇偶分類每段都是二次函數模型，用常規方法依然無從下手，此時，依然可以列舉出若干項，若單獨項無特點，可以通過相鄰兩項或者三項結對，觀察規律變化，也不違是一種好的分析辦法．對此，通過相鄰兩項的和構成的數值，構成一個新的等差數列，c1+ c2=24，c3+c4=60，c5+ c6=96.

分類討論，當n為偶數時，cn-1 + cn=18n-12，

可利用等差數列求和公式得：

An=n2（24+18n－12）2=n2（9n+6），

當n為奇數時利用An=An+1-cn+1求取即可．

3探究3“－1n×等比通項”型

例3已知cn=（-1）n·3n+1，求數列{Cn}前n項和An.

解決策略依然可以采用奇偶分類的基本方法，寫成分段數列，采取分組求和方法直接用等比數列求和解決；另外一種思路，可以想到把“－1n”與后面指數型進行合并，將3n+1拆分成3·3n，合并結果cn=3·（-3）n，此時可以采用等比數列求和公式求取，即An=3×－3－（－3）n+11－（－3）=－34［3+（－3）n+1］.

4探究4“－1n×等差通項×等比通項”型

例4已知cn=（-1）n·3n+1·（2n-1），求數列{Cn}的前n項和An.

解決策略可以采用奇偶分類的基本方法，寫成分段數列，由于每段都是等差比數列，這時候需要采用兩次錯位相減法進行求和，計算量較大，容易犯計算錯誤．

還可以將（-1）n與后面指數型進行合并，將3n+1拆分成3·3n，合并結果cn=（6n-3）·（-3）n.可以采用一次錯位相減法，此處計算過程不再重復．

能通過兩種辦法對比，能消除“－1n”往往會減少計算過程，在數列求和問題上更應該講究解題策略，不要盲目去求解，處理求和問題一定要先觀察通項公式，變形成常見的求和模型，簡化計算過程，才能避免出現更多錯誤．

5探究5“－1n×常見分式”型

例5已知cn=－1n-1·4n+4（2n+1）（2n+3），求數列{Cn}的前n項和An.

解決策略通常看到分式問題，常常會聯想到錯位相減法，裂項的本質就是項與項之間能出現一組相反的數才能抵消掉，所以我們可以嘗試將4n+4（2n+1）（2n+3）進行分離，分離的本質思想就是分子用分母整體表示，4n+4=（2n+1）+（2n+3），可得4n+4（2n+1）（2n+3）=1（2n+1）+1（2n+3），由于分離部分的通項公式全部是正數，無法直接裂項，那么－1n-1起到調和裂項的作用，只有引入－1n-1，才可造成通項公式出現正負變化，cn=－1n-1·4n+4（2n+1）（2n+3）=－1n-1[1（2n+1）+1（2n+3）]，所以，An=13+15－（15+17）+…+－1n-1[1（2n+1）+1（2n+3）]

=13+－1n-11（2n+3）.

利用裂項的好處就在于減少了奇偶分類討論，更加巧妙，同時減少了計算量.在解決數列求和問題時，選擇最佳求和方法，才能更準確快捷計算．

例6已知cn=－1n·（6n+5）·2n－1（2n+1）（2n+3），求數列{Cn }的前n項和An.

解決策略要想把通項公式分離開，本質就是分子用分母整體表示，而由于分母不含有指數型，通常可將分子的指數型先剔除，拆分（6n+5）（2n+1）（2n+3）=1（2n+1）+2（2n+3），然后為了出現正負變化需要引入－1n，

即－1n[1（2n+1）+2（2n+3）]·2n－1.

此時通過觀察，可知仍然不滿足裂項相消的條件，那么2n－1起到非常重要的作用，用來調和裂項，原式可得－1n[2n-1（2n+1）+2n（2n+3）]，此時求和方式很明顯，裂項相消法求和，An=－13－25+25+47+…+－1n[2n-1（2n+1）+2n（2n+3）]=－13+－1n2n（2n+3），在裂項求和時一定要檢驗所剩項數，永遠保證剩余對稱項，不可能剩余單項，這也是檢驗裂項是否正確的一種手段．

6探究6“－1n×對數型”

例7已知cn=－1n·ln［n.（n+1）］，求數列{Cn}的前n項和An.

解決策略對數問題往往非常有迷惑色彩，可以利用對數的運算法則將ln［n·（n+1）］進行再次拆分，可得ln［n·（n+1）］=ln n+ln（n+1），觀察－1n.［ln n+ln（n+1）］，可知－1n仍然用來調和裂項，An=-ln1-ln2+ln2+ln3+…+－1n.[lnn+ln（n+1）]=－1nln（n+1），所以裂項問題不僅僅存在分式中，也可能存在對數型整式中，這就要求在日常數學學習中不斷總結，不斷探索.

通過以上幾個簡單類型的分析，不難發現，無論通項公式多么復雜，最終可以轉化成簡單的通項公式，采用直接公式法，錯位相減，裂項相消等常見的方法解決數列求和問題，通過節選2022年天津卷數學高考數列題目，感受上述的幾種求和方法解決“－1n·f（n）”模型的策略．

例8（2022天津卷17題節選部分）設an是等差數列，bn是等比數列，且 a1=b1=a2-b2= a3-b3= 1．

（1）求an與bn的通項公式；

（2）求∑2nk=1ak+1－（－1）kakbk．

解（1） an=2n-1，bn=2n-1.

（2）求和剖析.

角度1通過分奇偶消除“（-1）n”

對于數列求和，通常先求通項公式，再進行求和，可以令ck=[ak+1-（-1）kak]·bk=[（2k+1）-（-1）k（2k-1）]·2k-1.

對通項公式中“（－1）k”分奇偶討論，當n為偶數時，可知ck=2k；當n為奇數時可知ck=k·2k+1；所以，通項公式可以寫成分段形式：

ck=k·2k+1（n為奇）2k（n為偶）.

由分段數列可以分析，奇數部分為等差數列乘等比數列模型，可以借助錯位相減法，偶數部分顯然是等比數列，可以采用直接公式法求解，所以可以采用分組求和，進而得出整體和式， 簡要過程：

∑2nk=1ck=（c1+c3+c5+…+c2n-1）+（c2+c4+c6+…+c2n）.令An=c1+c3+c5+…+c2n-1;Bn=c2+c4+c6+…+c2n.

An=（83n-209）·4n+209.

Bn部分可直接采用等比數列求和公式法，可得Bn=13（4n+1-4），最后通過An+Bn得出結果即可．

角度2通過合并，將“（－1）k”消除

如何將題干中“（－1）k”與相關項合并，值得我們去思考和探究．題目中含有“（－1）k”和2k-1，這部分乘積都含有k次冪，可以把2k-1拆分成12·2k的形式，此時“（－1）k”和12·2k同次冪可以進行合并為12·-2k的形式．

所以此時轉化為ck=[ak+1-（－1）kak]·bk=[（2k+1）-（－1）k（2k-1）]·2k-1=（2k+1）·2k-1-（－2）k·（k-12）.

通過觀察，（2k+1）.2k-1和-2k.（k-12）兩部分分別采用錯位相減法分別求出和式即可.

角度3含有“－1n”可考慮并項求和法

當數列中常含有“－1n”符號，項常常體現為正負相間隔出現，也可能會出現周期性變化，此時可以嘗試將其中兩項或者三項合并成一組，觀察規律，然后進行求和．

通過觀察相鄰兩項結組，構成一個新的通項公式，即因為[a2k-（-1）2k-12k-1]b2k-1+[a2k+1--12ka2k]b2k＝（4k-1+4k-3）22k-2+[4k+1-（4k-1）]×22k-1＝2k·4k，可以采用錯位相減法求其前n項和．

策略歸納通過三個角度對比，我們不難發現，針對（-1）n的模型，最基本可以采取奇偶分類討論的思想，去觀察每段通項公式特點，進行分組求和．我們在處理（-1）n還可以考慮并項求和法，這道天津卷高考題，精妙之處在于讓考生可以采取多種途徑進行求和處理，更能培養學生的邏輯思維能力，提升計算水平以及自主學習探究的能力．

“微專題”更具有模塊化特點，針對性強，更有助于提升學生的思維能力，增強課堂氛圍，培養學生獨立思考的能力，更能提升課堂效率，滿足學生的需求．數學學習的本質是學習思維方法、提高思維能力.在數學思想方法的引導下，探究拓展問題，分析對比變式拓展前后的問題對象的共同特征，思考能否將問題轉化為探究前的問題加以解決，讓學生從思維的角度找到解決問題的切人點.

7結語

《普通高中數學課程標準》明確指出：“高中數學教學以發展學生數學核心素養為導向，創設合適的情境，啟發學生思考，引導學生探索數學本質內容.”在日常教學中，教師更加注重總結，實現微專題化模式教學，不斷探索數學的本質和方法，致力于培養學生持續性發展的數學思想和理念，引導學生探索數學的方法，這也是提升學生數學核心素養的關鍵，同時也能實現立德樹人，為國育才的目的．

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.