2024年高考全國甲卷理數第12題的解析與思考

【摘要】2024年高考全國甲卷理科第12題考查的是動直線與圓相交所得弦的最值問題.本文通過分析動直線的方程特點、圓的方程及幾何性質，從幾何角度和代數角度推導出弦長的最值.文中結合實例詳細闡述求解問題的步驟：審題、思路指引、精細化解題，并總結規律，給出教學思考，旨在幫助學生深入理解相關概念，提升解題能力，為數學教學提供有價值的參考.

【關鍵詞】動直線；圓；弦長；最值問題

在高中數學中，圓與直線的位置關系是重要的知識點.其中，動直線與圓相交所得弦的最值問題常令學生感到困惑.準確求解此類問題，不僅需要扎實的數學基礎，更需要清晰的解題思路.本文從一道高考題出發，旨在對此類問題進行系統研究，為教學和學習提供幫助.

1高考試題

（2024年高考全國甲卷理科第12題）已知b是a，c的等差中項，直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y－1=0交于A，B兩點，則AB的最小值為（）

（A）2.（B）3.（C）4.（D）25.

2審題

本題考查直線與圓的位置關系，屬于動直線與圓相交弦的最值問題，我們一般有兩種思路解決問題.

從形的角度：觀察到直線方程為一般式形式，且含有三個參數，根據等差中項的性質可消參，進而確定其過定點；最后根據定點到動直線的距離確定圓心到直線距離最值，利用弦長公式求最值即可.

從數的角度：根據弦長公式得到弦長的含參表示，再根據等差中項的性質結合比值換元消參，將問題轉化為求代數式的最值即可.

3精細化解題

3.1解法1：從形的角度

思路指引（1）觀察到直線方程含有三個參數，而b是a，c的等差中項，可利用等差中項的性質消元；

（2）整理直線方程得到ax－1+by+2=0，由式子結構得到直線過定點1，－2；

（3）將圓的方程化為標準方程，作出直線與圓的圖形，由數形結合得到圓心與定點連線垂直于直線時弦長可取得最小值；

（4）利用弦長公式計算最值得出結果即可.

解因為a，b，c成等差數列，

所以2b=a+c，c=2b－a，

代入直線方程ax+by+c=0，

得ax+by+2b－a=0，

即ax－1+by+2=0.

令x－1=0y+2=0，得x=1y=－2，故直線恒過點1，－2，設P1，－2.

將圓的方程化為標準方程得x2+y+22=5，設圓心為C，則C0，－2，半徑r=5，

畫出直線與圓的圖形，如圖1所示，

易知PC=1，AC=r=5.

當PC⊥AB時，AB最小，

此時AB=2AP=2AC2－PC2=25－1=4.

故選（C）.

點評利用等差中項性質消參，這里化三元為兩元，消哪個參數都可以，如消a可得直線方程為b2x+y－cx－1=0，消b得a2x+y+cy+2=0.根據直線方程的特征確定直線過定點，化圓的方程為標準方程，作出直線與圓的圖形.解答本題的關鍵是過圓心作直線的垂線，垂足為D，如圖2，可知CD≤CP=1，而AB=2r2－CD2，利用數形結合可判定D，P重合時，AB最小.

3.2解法2：從數的角度

思路指引（1）先將圓方程化為標準方程，確定圓心及半徑；

（2）利用點到直線的距離公式得圓心到直線的距離d，根據弦長公式得：

AB=25－c－2b2a2+b2；

（3）弦長表達式中含有三個參數，由條件b是a，c的等差中項，可利用等差中項的性質消c得AB=25－a2a2+b2；

（4）通過比值換元得：

AB=25－11+ba2，

利用1+ba2≥1計算最值即可.

解將圓的方程化為標準方程得x2+y+22=5，設圓心為C，則C0，－2，r=5.由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離

d=c－2ba2+b2.

由弦長公式得：

AB=2r2－d2=25－｜c－2b｜2a2+b2.

b是a，c的等差中項，

所以2b=a+c，c=2b－a，

AB=25－a2a2+b2=25－11+ba2.

易知1+ba2≥1，所以AB≥25－1=4，當且僅當b=0時取得等號.故選（C）.

點評將圓的一般式方程化為標準方程從而確定圓心及半徑，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，利用弦長公式含參表示AB.解答本題的關鍵是根據等差中項的性質消參得AB=25－a2a2+b2，但表達式仍含有兩元，注意到式子為二元分式，上下齊次，故可利用比值換元消參得AB=25－11+ba2，利用1+ba2≥1從而確定代數式的最值.

4教學思考

在動直線與圓相交所得弦的最值問題的教學中，首先要強化學生對圓的基本性質和直線方程的理解，這是解決此類問題的基礎.應注重培養學生的想象能力，通過多媒體等工具直觀展示圖形變化，幫助學生更好地理解弦長的變化規律.同時，要引導學生善于運用數形結合的思想，將代數方程與幾何圖形緊密結合，從而更快捷地找到解題思路.此外，多設計不同類型和難度層次的練習題，讓學生在實踐中積累經驗，提高解題的靈活性和準確性.

5結語

上文通過對動直線與圓相交所得弦的最值問題的研究，為教學提供了新的思路和方法.在今后的教學中，教師要不斷引導學生深入思考，培養學生的創新思維和解決實際問題的能力.同時，教師也要不斷更新教學理念，提高自身的專業素養，為學生的數學學習創造更有利的條件，促進學生數學水平的全面提升.

參考文獻：

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