在高中數學解題中滲透分類與整合思想

【摘要】在高中數學解題過程中，針對復雜的題目，學生可以對題目進行分類與整合，滲透分類與整合思想.在解題過程中，學生應仔細審查題目特點，探討題目中是否適用于相關公式與數學理論，在常規解題思路無法運用的前提之下，對題目中的相關條件進行分類分析，對每一種可能的情況進行分別論述，由此簡化題目解題過程，使得題目解答一目了然，順利解題.

【關鍵詞】高中數學；分類思想；復雜問題；解題效率

高中數學題型多樣，涉及的知識點較為龐雜，對學生理論知識掌握情況與學習能力提出了更高的要求.學生面對復雜的習題，可以運用分類與整合的思想，將整體化為局部，結合該題目中的相關知識內容與概念，將復雜問題化為單一問題，對不同的情況進行逐一分析，實現順利解題.為此學生在解高中數學習題過程中，可以充分滲透分類與整合思想，克服思維定勢，正確處理“局部”與“整體”，“分”與“合”的關系.在具體語境之下，精準分析該情況之下的具體內容，對題干進行精簡，充分挖掘題目中的特殊性與簡單性，對題目中涉及的每一種情況進行詳細分析，促進題目解答[1].

例1解關于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）．

解當 a＝0時，x∈－∞，－1；a＞0時，x∈－∞，－1∪2a，+∞；當－2＜a＜0時，x∈2a，－1；當a＜－2時，x∈－1，2a；當a＝－2時，x∈xx=－1．

例2已知橢圓x25+y2m=1的離心率 e=105， 那么m的值為（）

（A）3.（B）253或3.

（C）5.（D）5153或15.

解m=253或m=3.

該題答案選（B）.

例3已知方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈－3，－2，0，1，2，3，且a，b，c互不相同，在以下方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（）

（A）60條.（B）62條.

（C）71條.（D）80條.

解把方程ay=b2x2+c變形，有x2=ab2y－cb2，

如果該方程表示拋物線，得出a≠0，b≠0，

所以分b=－3，－2，1，2，3五種情況：

（1）如果b=－3，

a=－2，c=0，或1，或2，或3a=1，c=－2，或0，或2，或3a=2，c=－2，或0，或1，或3a=3，c=－2，或0，或1，或2 ；

（2）如果b=3，

a=－2，c=0，或1，或2，或3a=1，c=－2，或0，或2，或3a=2，c=－2，或0，或1，或3a=3，c=－2，或0，或1，或2；

在上述兩種情況下一共有9條重復，因此得出一共有16+7=23條；

在b=－2，或2情況下，一共有23條；

因此當b=1時，一共有16條.

綜上，共有23+23+16=62條.

故選（B）.

解題總結分類整合思想把一個復雜的問題分解成若干個基礎性問題，在解題過程中先解答基礎性問題，再綜合起來解決原問題，此種解題思想在高中數學中非常常見，尤其在處理涉及多種可能性與多種條件的問題時較為有用.分類討論時每級分類按同一標準進行，分類應逐級進行，同級互斥、不得越級.拋物線也可以看作是一個圓錐面和平行于某條母線的平面相交的截面.在適當的坐標變換下，拋物線也可以被看作是一個二次函數的圖象[2].

在拋物線定義解題中，可以根據拋物線開口方向、頂點位置等性質進行分類討論，簡化問題，實現解題.分類整合解題中，相關條件往往帶有一定的隱蔽性，在解題過程中應當準確理解題意，結合題目中的限制條件，準確把握分類對象與標準.結合該題目中的相關內容，尋找最佳的分類方案.分類分析時做到不重復、不遺漏，將討論的對象分為若干類，進行逐一分析.分類對象是題目中的變動因素，分類的標準則是該題目中相對穩定問題的分類界值，在題目分析過程中，要求對題目條件進行逐一識別與分析，實現對題目的正確分類與解答.充分挖掘題目的已知量與未知量之間的關系，結合解題需求，簡化分類討論的步驟，減少不必要的計算量，減少解題時間[3].

例4已知一車間有10名工人，其中3人僅會鉗工，4人僅會車工，剩下的3人車工鉗工均會，現需從這10名工人中選出6人共同配合完成一件工作，該工作的完成需鉗工、車工各3人，那么在該10名工人中一共有 種選派方案.

解（1）結合題意，選出的6人中不含全能工人，則有C33C34種不同選法；

（2）選出的6人中含有一名全能工人，那么一共有C23C13C35種不同選法；

（3）選出的6人中含2名全能工人，那么一共有C13C23C36種不同選法；

（4）選出的6人中含有3名全能工人，那么一共有C33C37種不同選法；

將以上不同的情況整合之后，一共有C33C34+C23C13C35+C13C23C36+C33C37種選派方案.

結語

在大量高中習題中，相關條件的設置可能具有一定的隱晦性，給題目解答增加了一定的難度.為此學生在解題過程中可以采用分類與整合思想，對題目中的相關內容進行一一拆解與梳理，對不同的情況進行分別分析，合理運用高中數學相關理論知識進行結合，運用整合思想，加強對該題目相關內容的全面梳理與分析，實現快速解題[4].

參考文獻：

[1]時杰.高中生函數核心概念認知水平測評分析——基于結構化視角[J].當代教育理論與實踐，2022，14（01）：46-52.

[2]余業兵，張坤，張曉斌.整體單元化教學中高中數學教學目標的制定[J].教學與管理，2021（28）：63-66.

[3]付澤.數學思想在高中解析幾何中的運用[J].科技資訊，2020，18（30）：254-256.

[4]茍菊桃.探究類比推理在高中數學解題中的應用[J].科技資訊，2020，18（17）：101-102.