追根溯源探本質(zhì) 融會貫通構(gòu)體系

【摘要】本論文基于一道高考模擬試題引發(fā)的教學(xué)思考，通過追根溯源揭示了知識的發(fā)展和演變過程，探討了知識脈絡(luò)構(gòu)建的重要性和方法.文章從三個方面展開探討：首先，通過分析高考模擬試題的設(shè)計和答案，引導(dǎo)學(xué)生觀察反比例函數(shù)和雙曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系；其次，探討教師在教學(xué)過程中如何引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，掌握知識的來龍去脈，形成自己的解題體系；最后，提出了一些有效的教學(xué)策略，包括案例分析和實(shí)踐應(yīng)用，以促進(jìn)知識脈絡(luò)的構(gòu)建和學(xué)生的綜合能力發(fā)展.通過本論文的研究，希望能夠?yàn)榻處焸兲峁┮恍┯幸娴乃伎己椭笇?dǎo)，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；雙曲線；漸近線

追根溯源是一種教學(xué)手段，是指通過追溯知識形成的歷史進(jìn)程和發(fā)展軌跡，來進(jìn)行教學(xué)的一種方法.追根溯源，是為了讓學(xué)生能夠深入了解知識的來龍去脈，真正理解知識的本質(zhì)和內(nèi)涵，追根溯源要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的思考和探索.激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心，讓他們能夠主動參與到學(xué)習(xí)過程中去.做學(xué)習(xí)的“主人”.

1試題呈現(xiàn)

（重慶市南開中學(xué)2023屆高三上第四次質(zhì)檢12）（多選）如圖，過雙曲線a1右支上一點(diǎn)P作雙曲線的切線l分別交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)D，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

（A） ABmin=2b2+1.

（B） S△OAP=S△OBP.

（C） S△AOB=b.

（D）若存在點(diǎn)P，使cos∠F1PF2=14，且F1D=2DF2，則雙曲線C的離心率e=2.

2試題解讀

本題以反比例函數(shù)為載體，深入地考查直線與反比例函數(shù)的位置關(guān)系，是圓錐曲線中考察的重點(diǎn)與難點(diǎn)，本題考查的最核心點(diǎn)是直線與反比例函數(shù)漸近線的交點(diǎn)問題，其中選項(xiàng)（A）考查了交點(diǎn)連線的最值問題，選項(xiàng)（B）考查了切點(diǎn)P的特殊位置這一隱藏條件，選項(xiàng)（C）考查了漸近線三角形的面積定值問題，選項(xiàng)（D）考查了雙曲線離心率問題，四個選項(xiàng)三個維度，涉及到了定比、定值、最值等系列問題，每個選項(xiàng)都值得我們細(xì)細(xì)品味，反復(fù)揣摩.我們只有對這個命題的環(huán)境追根溯源方能理清問題的來龍去脈，才能掌握反比例函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)，體會命題人的“良苦用心”.

3解法分析

本題我們通常的做法是直接設(shè)出點(diǎn)P（x0，y0）的坐標(biāo)，求出切線方程xx0－yy0b2=1（b>0），再把切線方程和漸近線方程y=±bx聯(lián)立得到：

xx0－yy0b2=1y=±bx，

所以x2－2x0x+1=0xA+xB=2x0xA·xB=1

點(diǎn)P（x0，y0）為線段AB的中點(diǎn)，所以選項(xiàng)B正確；

而S△OAB=12·OD·yA－yB=12·1x0·bxA+xB=b，所以選項(xiàng)（C）正確；對于選項(xiàng)（A）我們可以依托選項(xiàng)（C）利用等面積法進(jìn)行處理，由圖可知當(dāng)線段AB取最小值時，OD⊥AB，所以ABmin=2b1=2b，所以選項(xiàng)（A）錯誤；對于選項(xiàng)（D），根據(jù)F1D=2DF2 ，可得D（c3，0），代入切線方程可得x0=3c，根據(jù)焦半徑公式我們可以計算出：

PF1=ex0+1=4，PF2=ex0－1=2，又cos∠F1PF2=42+22－4c22×4×2=14，

解得c=2，所以e=2，所以選項(xiàng)（D）正確.

4追根溯源，探究本質(zhì)

在上述問題處理過程中我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P（x0，y0）是線段AB的中點(diǎn)，三角形OAB的面積為定值，這是因?yàn)楸绢}中雙曲線的系數(shù)a=1嗎？還是必然存在與雙曲線的系數(shù)沒有任何關(guān)系呢？如果能夠突破這一點(diǎn)，我們就可以追根溯源，直達(dá)問題本質(zhì).下面我們就來探究本題在一般情況下的（B）S△OAP=S△OBP 與（C）S△AOB=b選項(xiàng)是否仍然成立.假設(shè)雙曲線的方程為x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x0，y0），則切線AB的方程為xx0a2－yy0b2=1，所以聯(lián)立方程得：

xx0a2－yy0b2=1y=±baxx2－2x0x+a2=0

xA+xB=2x0，xA·xB=a2

所以點(diǎn)P（x0，y0）為線段AB的中點(diǎn)，

又S△OAB=12·OD·yA－yB=12·1x0·bxA+xB=ab，所以選項(xiàng)（B）.S△OAP=S△OBP 與（C）S△AOB=b在一般情況下仍然成立.對于選項(xiàng)（B）我們還可以嘗試以下探究，當(dāng)直線AB與雙曲線相交時，假設(shè)交點(diǎn)為M，N，則線段MN的中點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)嗎？為此我們假設(shè)線AB的方程為x=my+n，所以聯(lián)立直線AB與雙曲線方程可得：

x2a2－y2b2=1x=my+nb2（my+n）2－a2y2=a2b2

（b2m2－a2）y2+2b2mny+b2n2－a2b2=0

所以yM+yN=－2b2mnb2m2－a2，

聯(lián)立直線AB與漸近線方程可得：

y=±baxx=my+n

b2（my+n）2－a2y2=0

（b2m2－a2）y2+2b2mny+b2n2=0，

所以yA+yB=－2b2mnb2m2－a2，

所以yM+yN=yA+yB=－2b2mnb2m2－a2，

代入直線方程可得

xM+xN=xA+xB，所以線段MN的中點(diǎn)即為線段AB的中點(diǎn).

5教學(xué)反思

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，追根溯源探究問題本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問題能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是學(xué)生掌握知識脈絡(luò)、形成解題體系的關(guān)鍵步驟，以下是一些教學(xué)方法和策略，可以幫助教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中追根溯源，探究問題本質(zhì)：

5.1培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的意識

鼓勵學(xué)生提出問題、產(chǎn)生疑問，并引導(dǎo)他們思考問題的來源、背景和意義.通過開放性問題和討論，激發(fā)學(xué)生對問題本質(zhì)的思考.

5.2引導(dǎo)學(xué)生提出關(guān)鍵問題和關(guān)鍵概念

教師可以通過提問引導(dǎo)學(xué)生深入分析和思考問題的關(guān)鍵點(diǎn)和核心概念.通過對關(guān)鍵問題的追問，幫助學(xué)生理解問題的本質(zhì)，從而找到解決問題的方法和策略.

5.3引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納和總結(jié)

在解決具體問題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧解題思路和方法，并讓他們歸納總結(jié)問題的本質(zhì)特征和規(guī)律.通過總結(jié)，學(xué)生能夠更好地把握問題的本質(zhì)，為類似問題的解決提供指導(dǎo)，形成自己的解題體系.

5.4鼓勵學(xué)生獨(dú)立解決問題

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該適度放手，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和解決問題.學(xué)生在獨(dú)立解決問題的過程中，會更深入地思考問題的本質(zhì)并尋找解決途徑.

參考文獻(xiàn)：

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