深度探究定義，牢抓“Δx”平衡

【摘要】函數在某一處的導數定義是非常抽象的，以致于學生在處理函數導數定義問題時，很容易出錯.本文就這一問題，從函數在某一處的導數定義的深度認識、難點突破和靈活應用，三個方面展開探究.

【關鍵詞】函數；導數；極限；高中數學

在高中數學中，導數是非常重要的知識點之一.在引入函數導函數時，通常是提出函數在某一處的導數概念，這一概念是在極限情境中提出.很多學生對這一概念不理解，認為就是一個公式而已，所以不會靈活應用.針對這樣的問題，本文將從函數在某一處的導數定義的深度認識、難點突破和靈活應用，三個方面展開探究.下面一一展開.

1函數在某一處的導數定義的深度認識

函數在某一處的導數的定義是基于極限，即函數圖象上的一個點無限靠近一定點，用數學語言表示為：兩點Ax0，y0和Bx1，y1是函數y=fx圖象上的點，Δx=x1－x0，則函數y=fx在x0處的導數為f′x0=limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx.這個概念是一個動態過程，它不是公式.

例1已知函數fx=x3－2x+3，利用定義求函數在x=1處的導數.

解析由函數在x0處的導數定義可得：

f′1=limΔx→0f1－f1－ΔxΔx

=limΔx→01－2+3－1－Δx3+21－Δx－3Δx

=limΔx→02－1+3Δx+3Δx2+Δx3+2－2Δx－3Δx

=limΔx→0Δx+3Δx2+Δx3Δx

=limΔx→01+3Δx+Δx2=1

所以利用定義求得函數fx=x3－2x+3在x=1處的導數為1.

評注該題明確指出“利用定義求函數在x=1處的導數”.思路非常明確，根據定義有f′1=limΔx→0f1－f1－ΔxΔx，將f1和f1－Δx代入函數解析式fx=x3－2x+3表示出來，代入f′1=limΔx→0f1－f1－ΔxΔx，化簡即可.

2函數在某一處的導數定義應用的難點突破

根據在x=x0處的導數的定義，

有f′x0=limΔx→0fx0+Δx－fx0Δx

=limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx.

要是f′x0=limΔx→0fx0+Δx－fx0ΔxlimΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx學生還能理解，但是limΔx→0fx0+Δx－fx0Δx=limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx學生就不懂，此處的依據是一點向另外一點無限靠近，即橫坐標和縱坐標以同樣的速度靠近，故

f′x0=limΔx→0fx0+Δx－fx0Δx

=limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx

=limΔx→0fx0+nΔx－fx0－mΔxn+mΔx.

例2已知函數y=fx在x=2處可導，且f′2=5，求limΔ5m0+3IqZyz1H2ikgsVNC8A==x→0f2－f2+2ΔxΔx的值.

解析從limΔx→0f2－f2+2ΔxΔx可以看到，在函數y=fx圖象上，從橫向和縱向靠近點2，f2的速度不一樣，或者說橫向和縱向角度看Δx不相等，分子是2－2+2Δx=－2Δx，而分母是Δx.所以為了能利用函數y=fx在x=2處的導數，對f2－f2+2ΔxΔx分子和分母同時乘以-2，

limΔx→0f2－f2+2ΔxΔx

=limΔx→0－2f2－f2+2Δx－2Δx

=－2limΔx→0f2－f2+2Δx－2Δx

=－2f′2=－10.

評注該題是對函數在x=x0處的導數的定義的應用，根據題目發現limΔx→0f2－f2+2ΔxΔx≠f′2.這類題型的關鍵是根據一點向另外一點無限靠近是要求橫坐標和縱坐標以同樣的速度靠近，即不管從橫向還是縱向角度看，橫向的增量Δx應該保持一致，通俗來說，就是f′x0=limΔx→0fx0+nΔx－fx0－mΔxn+mΔx不管形式怎么樣，必須保持分子和分母的增量Δx平衡.

3函數在某一處的導數定義的靈活應用

只要清楚函數在x=x0處的導數的定義，以及點的變化情況和f′x0=limΔx→0

fx0+nΔx－fx0－mΔxn+mΔx含義，

則可以輕松解決函數在x=x0的導數的定義應用問題.

例3函數y=fx在x=3處可導，已知limΔx→0f3－f3－4ΔxΔx=12，

計算limΔx→0f3－2Δx－f3+5ΔxΔx的值.

解析已知函數y=fx在x=3處可導，且已知limΔx→0f3－f3－4ΔxΔx=12，

所以limΔx→0f3－f3－4ΔxΔx

=limΔx→04f3－f3－4Δx4Δx=4f′3=12，

所以f ′3=3.

則limΔx→0f3－2Δx－f3+5ΔxΔx

=limΔx→0－7f3－2Δx－f3+5Δx－7Δx

=－7f′3=－21.

評注題目已知limΔx→0f3－f3－4ΔxΔx=12，通過函數在x=x0處的導數的定義，可以求出函數y=fx在x=3處的導數，再通過函數

y=fx在x=3處的導數計算

limΔx→0f3－2Δx－f3+5ΔxΔx的值，

這一過程是對函數在x=x0處的導數定義的靈活應用.

4結語

本文對函數y=fx在x=x0處的導數定義，函數y=fx在x=x0處的導數定義應用的難點突破，以及函數y=fx在x=x0處的導數定義的靈活應用三個方面進行了分析；具體從導數的深度認識、易錯點分析和處理策略三個方面對函數y=fx在x=x0處的導數定義的應用題型進行了探討.其實質是：在解答對函數y=fx在x=x0處的導數定義應用題型時，突破口是f′x0=limΔx→0fx0+nΔx－fx0－mΔxn+mΔx中，保持分子和分母的增量Δx平衡.

參考文獻：

[1]程亞妮.運用導數的定義解題[J].高中數理化，2010（2）：23-24.

[2]凱瑟琳·張.關于導數的定義的一點注記及其應用[J].新教育時代電子雜志（教師版），2022（1）：133-135.

[3]楊正福.直觀想象 等價轉化——由導數的定義應用引發的思考[J].中學生數理化（學習研究），2020（4）：11.

[4]李萍，成立花.巧用導數的定義式求極限[J].高等數學研究，2007，10（5）：18-19+24.

[5]單好思.奇妙的探索旅程——從導數的定義揭開極限的面紗[J].中學生數理化（學研版），2017（4）：59+79.