一種多種群二進制算術優化算法及其應用

摘 要：

針對算術優化算法（AOA）無法對離散二進制型問題進行優化的局限，提出一種使用sigmoid函數變體實現的離散二進制算術優化算法（BAOA_S），解決了原始算法無法用于離散二進制變量優化的問題。進一步提出一種基于突變策略實現的多種群二進制算術優化算法（multi-swarm binary arithmetic optimization algorithms，MS-BAOA）。該算法將原始種群劃分為多個子種群，子種群間通過通信策略進行交流，并使用突變策略進一步增強種群多樣性，克服了BAOA_S無法跳出局部最優解的缺陷。基于CEC2013基準函數將MS-BAOA與BAOA_S、二進制粒子群算法（binary particle swarm optimization algorithm，BPSO）、二進制灰狼優化算法（binary gray wolf optimizer，BGWO）、二進制魚群遷徙算法（binary fish migration optimization algorithm，BFMO）以及二進制均衡優化器（binary equilibrium optimizer，BiEO）進行了對比，實驗結果顯示MS-BAOA總體上優于對比算法。將MS-BAOA應用于配電網故障區段定位中，實驗結果顯示該算法能夠對配電網單點故障以及多點故障實現快速精準定位，進一步驗證了該算法的實用性。

關鍵詞：算術優化算法；離散二進制；多種群；配電網；故障定位

中圖分類號：TP301.6"" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1001-3695（2024）12-019-3664-07

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2024.04.0158

Multi-swarm binary arithmetic optimization algorithm and its application

Wang Ruobin1a，1b， Geng Fangdong1a，2， Wang Jiawei1a， Xu Lin3， Duan Jianyong1a

（1.a.School of Information Science amp; Technology， b.Beijing Urban Governance Research Center， North China University of Technology， Beijing 100144， China; 2.State Key Laboratory of Traction Power， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China; 3.STEM， University of South Australia， Adelaide 5095， Australia）

Abstract：

To address the issue that AOA is not applicable to discrete binary type optimization problems， this paper proposed a novel algorithm： the discrete binary arithmetic optimization algorithm employing a variant of the sigmoid function （BAOA_S）. This algorithm was capable of overcoming the challenge of the original AOA’s inability to optimize discrete binary variables. In addition， this paper proposed a multi-swarm binary arithmetic optimization algorithm （MS-BAOA） employing a mutation stra-tegy to divide the original population into multiple sub-swarms that communicated with one another through the use of specific communication strategies. The mutation strategy was then employed to enhance population diversity， addressing a weakness of the BAOA_S algorithm： the challenge of escaping local optimal solutions. This paper evaluated MS-BAOA against BAOA_S， BPSO， BGWO， BFMO， and BiEO based on the CEC2013 benchmark function. And the experimental results show that MS-BAOA is generally superior to the other algorithms. Furthermore， this paper applied MS-BAOA to solve the fault localization problem of distribution networks. And the experimental results show that the algorithm can realize the fast and accurate localization of single-point faults and multi-point faults in distribution networks further verifying the effectiveness of the algorithm.

Key words：arithmetic optimization algorithm（AOA）; discrete binary; multi-swarm; distribution network; fault location

0 引言

元啟發式算法（meta-heuristic algorithm）是一種重要的優化技術方法，是基于計算機技術優化的一個重要研究方向。它能夠解決各種復雜的組合優化問題，被廣泛應用于信號處理、生產調度、工程優化、圖像處理和任務分配等眾多領域。相比傳統的優化方法（如牛頓法、單純形法等），元啟發式算法在解決復雜性高、約束性強的實際工程優化問題時往往表現得更加高效，也因此被廣泛應用于電子、通信、計算機以及經濟學等諸多學科的復雜優化問題中。然而，傳統的元啟發式算法只能解決連續優化問題，無法直接應用于二進制型優化問題，如特征選擇問題、車間調度問題以及輻射型配電網故障區段定位問題等。因此，如何設計高效的二進制版本的元啟發式算法以探索其在二進制優化問題中的應用成為研究的重點?；诖?，以新提出的算術優化算法（AOA）為例，重點關注智能優化算法的二值化方法以及改進策略，并探究其在輻射型配電網故障區段定位實際應用問題中的具體表現。

算術優化算法是一種基于種群的新型元啟發式算法，通過模擬數學中的加法、減法、乘法、除法等運算符操作進行科學優化［1］。相比粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）和差分進化算法（differential evolution，DE）等經典算法，其操作更加簡單且尋優精度高，能夠從諸多候選解中快速找出符合特定標準的最佳解。因此，以AOA解決配電網故障定位問題具有一定的適應性和先進性。

輻射型配電網中的故障區段定位問題是一種典型的二進制優化問題，其目的在于根據二進制故障信息實現對故障區段的精準定位。然而，傳統的配電網故障區段定位方法如矩陣法等容錯性較差，容易發生誤判［2］。因此，如何設計高性能的二進制版本元啟發式算法以實現快速精準地定位配電網故障區段成為新的研究熱點。

配電網故障區段定位中，在一定區域內是否含有故障信息本質上是二進制變量，但原始的算術優化算法是針對連續變量進行優化求解的。因此，如何設計二進制化方法使得算術優化算法可以用于該問題的優化成為研究的重點。元啟發式算法的離散二進制化主要包括兩種方式：a）將傳統算法的搜索空間壓縮到［0，1］，將新位置值和某一閾值（比如0.5）比較，大于該閾值設置為1，否則為0；b）使用傳遞函數（transfer function）將位置值轉換為選擇為1的概率，將此概率與隨機數比較，大于隨機數設置為1，否則為0［3］。相比較而言，利用傳遞函數進行離散二進制化的方法操作更加簡單且尋優速度快，因此受到研究人員的廣泛關注。然而，基于傳遞函數實現的二進制算法仍然面臨容易陷入局部最優且求解精度低的問題。因此，如何提升基于傳遞函數實現的二進制算法的性能成為研究的重點。

基于此，提出一種使用sigmoid函數變體實現的離散二進制算術優化算法（binary arithmetic optimization algorithm， BAOA_S），與傳統S型傳遞函數相比收斂速度更快，并提出一種基于突變策略實現的多種群二進制算術優化算法（multi-swarm binary arithmetic optimization algorithm， MS-BAOA），該算法將原始種群劃分為兩個子種群，增加了種群多樣性，提高了算法的求解精度，同時引入的突變策略進一步解決了BAOA_S種群單一的問題，克服了BAOA_S容易陷入局部最優解的缺陷。將MS-BAOA應用于配電網故障區段定位中，實現了對配電網單點故障和多點故障區段的快速精準定位。

1 相關工作

元啟發式算法又稱智能優化算法（intelligent optimization algorithm），是一種基于計算智能解決復雜優化問題的方法。智能優化通過模擬生物群體行為、物理現象、化學現象以及人類智能等揭示算法設計的原理，并根據特定問題提煉出相應迭代搜索模型，從而構建智能化的優化算法。

經典的元啟發式算法包括模擬鳥群和魚群的粒子群算法、模擬生物進化機制的遺傳算法以及模擬群體內個體間的合作競爭的差分進化算法等。目前，相關研究除了對原始算法進行改進和完善以外，提出性能更好且操作簡單的新算法也成為重要的研究方向之一，比如模擬亨利定律行為的亨利氣體溶解度優化算法［4］、模擬群體免疫策略和社交距離的冠狀病毒群體免疫優化算法［5］、模擬塘鵝覓食行為的塘鵝優化算法［6］以及模擬數學運算符操作的算術優化算法［1］等，這些研究不同程度地促進了元啟發式算法的多元化發展。算術優化算法是一種新型的元啟發式算法，其靈感來源于算術運算中的四則運算符操作（即乘法、除法、加法和減法），由于其操作簡單且尋優速度快，所以在多個領域得到了廣泛的應用和發展。Khatir等人［7］提出基于算法優化算法的改進人工神經網絡，用于解決功能分級材料的損傷量化問題。Agushaka等人［8］ 利用自然對數和指數算子所能產生的高密度值來增強 AOA 的探索能力，在工程設計問題中表現出了優異的性能。Premkumar等人［9］提出一種多目標算術優化算法，解決了真實世界中的受限多目標優化問題。鄭婷婷等人［10］在2021年通過引入自適應t分布變異策略和余弦控制因子的動態邊界策略提出了一種改進算術優化算法，與鯨魚優化算法、灰狼優化算法等算法的對比實驗驗證了所改進算法在解決大規模優化問題時的優異性能。蘭周新等人［11］2022年提出的多策略融合算術優化算法提高了原算法的求解精度和收斂速度，為工程設計優化問題提供了新的解決方案。

雖然各種元啟發式算法已經應用于較多復雜優化問題，比如旅行商問題［12］、路徑規劃［13，14］、工程優化［15］、資源分配［16］等。然而，許多實際應用優化屬于離散型優化問題，如特征選擇、生產調度、選址問題、裝箱問題以及模型優化問題等。為了使元啟發式算法能夠解決這些離散型問題，將連續值轉換為二進制值提供了一種可行的研究思路，因此有必要對原始算法進行改進，實現相應的二進制版本。元啟發式算法的離散二進制算法早期可追溯到Kennedy和Eberhart在1997年提出的離散二進制粒子群算法（binary particle swarm optimization， BPSO），該算法使用sigmoid作為傳遞函數將連續運動空間映射到了離散問題空間，解決了離散變量的優化問題。之后國內外學者在原算法上進行了改進和完善，并提出了新的離散二進制算法。Mirjalili等人［17］提出二進制蝙蝠算法（binary bat algorithm， BBA），并通過實驗驗證了該算法在大多數基準數據集上的性能優于經典遺傳算法和粒子群算法。Emary等人［18］基于sigmoid傳遞函數提出兩種二進制灰狼優化算法（binary gray wolf optimization， BGWO），并將其應用于特征選擇領域，在最小化選取特征數量的同時最大限度地提高了分類精度。Arora等人［19］使用S型和V型傳遞函數提出了兩種二進制蝴蝶優化算法（binary butterfly optimization algorithm， BBOA），并證明了該算法在搜索特征空間和選擇分類任務中的優勢。Pan等人［20］引入新的傳遞函數，提出二進制版本的魚群遷徙算法（binary fish migration algorithm， BFMO），并引入了ABFMO算法解決了算法停滯和容易陷入局部最優的問題。Faramarzi等人［21］提出二進制版本的均衡優化器（binary equilibrium optimizer，BiEO），對比實驗證明了與同類算法的顯著差異，同時驗證了在解決高維優化問題時BiEO表現出的優異性能。孫林等人［22］基于S型和V型傳遞函數提出二進制哈里斯鷹優化算法，并結合KNN（k-nearest neighbor classification）分類器實現兩種元啟發式特征選擇方法，在15個數據集上的實驗結果證明了所提出的基于V型傳遞函數改進的特征選擇算法具備良好的尋優能力與分類性能。李忠兵等人［23］提出一種粗精選策略二進制灰狼優化算法，實現了在紅外光譜特征提取方面的優秀能力，促進了光譜檢測技術在生物制藥等領域的應用。

盡管以上研究都提出了相應的二進制版本的優化算法用于探索其在二進制型優化方面的應用，然而它們沒有充分考慮到種群單一性所導致的收斂速度慢等問題。面對優化問題的復雜性，根據無免費午餐原理，需提出性能更加優越的改進算法或新算法來適應更具挑戰性的實際應用需求。

基于此，本文提出一種基于二進制方法改進的算術優化算法，并引入新的sigmoid函數變體作為傳遞函數，與經典sigmoid傳遞函數相比，收斂速度更快且尋優精度高。其次，引入多種群策略和突變策略增強算法多樣性，子種群間執行通信策略以防止子種群陷入局部最優，進一步提升算法性能。將其應用于配電網故障定位中，有利于實現離散型配電網的單點故障以及多點故障的快速精準定位。

2 算術優化算法及其改進

2.1 算術優化算法

算術優化算法是一種模擬數學中的算術運算符操作的新型元啟發式算法。與其他元啟發式算法類似， AOA也包括了探索（exploration）階段和開發（exploitation）階段，在探索階段，搜索代理根據乘除運算符操作進行位置更新，保障算法全局搜索的能力；在開發階段，搜索代理根據加減運算符操作進行位置更新，保障算法局部開發的能力。

1）數學加速器加速函數

AOA通過數學優化器加速函數（math optimizer accelerated， MOA）選擇執行全局搜索階段還是局部開發階段，當r1gt;MOA時，AOA進入全局探索階段，當r1lt;MOA時，AOA進入局部開發階段。MOA的計算如式（1）所示。

MOA（t）=Min+t×Max-Min T（1）

其中：r1表示0～1的隨機數；Min 與 Max分別是加速函數的最小值和最大值，為 0.2和1；T表示最大迭代次數；t表示當前迭代。

2）探索階段

AOA利用除法運算和乘法運算操作實現全局搜索。當r2gt;0.5時，AOA執行乘法搜索策略，當r2lt;0.5時，算法執行除法搜索策略。探索階段的位置更新如式（2）所示。

X（t+1）=Xb（t）MOP+ξ×（（（UB－LB）×μ+LB））" r2lt;0.5

Xb（t）×MOP×（（UB－LB）×μ+LB） else （2）

其中：r2為0～1的隨機數；UB（upper bond）表示搜索空間的最大值；LB（lower bond）表示搜索空間的最小值；μ表示搜索過程中的控制參數，值為0.499；ξ為一個極小值；Xb（t）表示第t次迭代的最優值。MOP表示數學優化器概率（math optimizer probability），計算公式為

MOP（t+1）=1－t1/α/T1/α（3）

其中：α是一個敏感系數，表示迭代過程中的局部開發精度，取值為5。

3）開發階段

AOA利用加法運算和減法運算進行局部開發，當r3gt;0.5時算法執行加法運算，當r3lt;0.5時算法執行減法運算，位置更新公式為

X（t+1）=Xb（t）－MOP×（（UB－LB）×μ+LB" r3lt;0.5

Xb（t）+MOP×（（UB－LB）×μ+LBelse （4）

其中：r3表示0～1的隨機數。

AOA的具體流程如圖1所示。

2.2 多種群二進制算術優化算法

2.2.1 傳遞函數

在AOA中，算術運算得到的是連續值，而在二進制算術優化算法中，算術運算符操作只能在搜索空間中獲取{0，1}的值。在空間中利用這兩個值可以解決許多的優化問題，比如特征選擇、機組組合、生產調度等。雖然AOA在連續型空間中表現良好，但該算法仍然缺乏二進制版本。

為了將連續空間轉換為二進制空間，二進制元啟發式算法通常采用傳遞函數將位置映射到［0，1］，然后將映射后的概率值與［0，1］的隨機數進行比較，以此確定位置取值是0或1。傳遞函數的取值決定著0和1的切換速率，因此傳遞函數對于二進制元啟發式算法的性能有著重要影響，常用的四種S型傳遞函數如圖2（a）所示。此時當x取值較大時仍有較大概率取值不為1，與原目標相矛盾，因此有必要對該函數進行拉伸，二進制算術優化算法采用修正后的sigmoid函數變體作為傳遞函數，其圖像如圖2（b）的S曲線。

在AOA中，算術運算隨機改變在連續空間中的位置，而在BAOA中，空間僅限制于由0和1組成的超立方體，不能在空間內任意選擇位置。此時為了使AOA適應二進制搜索空間，有必要對AOA的模型進行修改。同時，為了充分利用AOA逃避局部最優的能力，不應對算法進行過度調整。AOA中的位置更新如式（2）（4）所示，此時當取得二進制的0值時，BAOA在探索階段無法跳出局部解，因此需要對探索階段的式（2）進行改進，改進計算方式如式（5）所示 。

X（t+1）=Xb（t）+（-1）randi（［0，1］）MOP+ξ×（（（UB-LB）×μ+LB）） ""r2lt;0.5

（Xb（t）+（-1）randi （［0，1］））×MOP×（（UB-LB）×μ+LB）" else（5）

此時探索階段通過式（5）進行位置更新，開發階段通過式（4）進行更新，為完成從連續算法到二進制算法的過渡，仍需要利用傳遞函數執行另一次位置更新。此時需要將式（4）（5）獲得的位置值通過式（6）（7）再次執行更新，這時已經成功地將連續值限制到{0，1}。

trans_val=1/（1+exp（－5×（Xb－0.5）））（6）

Xb=1" trans_val≥rand0" else（7）

從式（6）可以看出，與常用S型傳遞函數相比，所提出的修正傳遞函數斜率更高，這增大了二進制算法的0與1的切換速率，保障了算法的快速收斂能力。同時，由于搜索代理的位置被限制在了{0，1}，所以修正傳遞函數向右平移0.5個單位，以保證0和1取值的公平性。假設當x取值為0.8時，對比修正傳遞函數和常用S型傳遞函數的值可得，修正S型傳遞函數的y值為0.817 6，其他S型傳遞函數的y值分別為0.832 0、0.690 0、0.598 7以及0.566 3，這些值表示了連續位置值轉換為1的概率。當搜索代理位置發生移動時，例如向左移動0.1個單位，此時修正S型傳遞函數的y值變化為0.731 1，變化差值為0.086 5，其他傳遞函數的y值分別變化為0.802 2、0.668 2、0.586 6和0.558 1，差值分別為0.029 8、0.021 8、0.012 1以及0.008 2，均小于修正S型傳遞函數的值，這表明所提修正傳遞函數擁有更高的0和1切換概率，有利于避免算法陷入局部最優。

2.2.2 多種群策略和突變策略

為進一步提升二進制算術優化算法的性能，引入多種群策略和突變策略實現一種多種群二進制算術優化算法（multi-swarm binary arithmetic optimization algorithms，MS-BAOA）。其中，多種群策略表示為將整個種群劃分為2個規模相同的子種群，每個子種群獨立進行迭代并通過通信策略進行交流，通信過程交換部分個體。通信策略對子種群的性能有著重要的影響，MS-BAOA采用兩種適合于算術優化算法的子種群通信策略。如圖3所示，通信策略1表示算法每執行K次迭代，子種群1和2的最優個體被全局最優個體替換；通信策略2表示算法每執行M次迭代，子種群1和2交換最優個體。

盡管多種群策略增加了算法的種群多樣性，然而由于算術優化算法僅通過種群最優值進行位置更新的獨特機制，使算法容易陷入局部最優。所以通過引入突變策略進一步增加種群多樣性，防止算法過早收斂。如圖4所示，突變策略表示為每次迭代后都對種群最優個體隨機選取dim/2個維度值進行突變，突變后的新個體重新計算適應度，如果新個體的適應度值優于原始個體，則替換突變前的個體進入下次迭代，否則，仍保留原始個體。

基于以上策略，實現多種群二進制算術優化算法（multi-swarm binary arithmetic optimization algorithms，MS-BAOA）的主要流程如圖5所示。

3 性能對比實驗

3.1 不同傳遞函數對比

為評估MS-BAOA的性能以及所提策略對算法性能的影響，選取了CEC2013基準測試函數中的11個函數對MS-BAOA以及BAOA_S、BAOA_S1、BAOA_S2、BAOA_S3、BAOA_S4進行測試。其中，MS-BAOA表示所提基于突變策略的多種群二進制算術優化算法， BAOA_S表示使用修正傳遞函數并不使用多種群策略和突變策略的二進制算術優化算法，BAOA_S1、BAOA_S2、BAOA_S3、BAOA_S4分別表示使用S1、S2、S3、S4傳遞函數但不使用所提出策略的二進制算術優化算法，S1、S2、S3、S4表達式在圖2中列出。

由于CEC2013測試函數是針對連續型算法進行測試的函數集，所以考慮由0和1組成的矩陣空間在CEC2013上的最佳解為二進制算法的最優解，當二進制算法越貼近該最佳解時，證明算法的性能越優。由于每一維度的搜索空間被限制在了{0，1}，所以對于30維的CEC2013測試函數來說，二進制算法的搜索空間為230。

為保證實驗的公平性，每種算法的總體規模設置為30，最大迭代次數為200次，實驗運行 30次。BAOA族算法對比實驗結果如表1所示，AVG表示30次獨立實驗的平均值，STD表示標準差，RANK表示Friedman檢驗平均排名。可以看出，BAOA_S相比于BAOA_S1、BAOA_S2、BAOA_S3、BAOA_S4表現更加出色，僅在f7、 f8、 f13上未達到最優，整體排名第一，這表明了所提出的修正傳遞函數相比于傳統S型傳遞函數性能更優，驗證了所提出的傳遞函數的有效性。進一步，將使用多種群策略和突變策略的MS-BAOA與未使用多種群策略和突變策略的BAOA_S相比，由于MS-BAOA和BAOA_S都是使用修正后的傳遞函數，所以兩者在測試函數上的表現差異證明了所提出的多種群策略和突變策略的有效性。 同時，MS-BAOA和BAOA_S1、BAOA_S2、BAOA_S3、BAOA_S4相比，MS-BAOA在11個函數中的9個函數上排名第一，僅在f8和f13上沒有達到最佳，表明所提出的修正傳遞函數和多種群策略以及突變策略對提升算法性能是有效的。

3.2 與其他二進制算法對比

為進一步驗證MS-BAOA的性能，將MS-BAOA與經典二進制算法BPSO、BGWO、BFMO以及BiEO進行對比，每種算法的種群規模設置為30，最大迭代次數為200次，實驗結果取30次獨立實驗的平均值。

實驗結果如表2所示，從表中數據可以看出，MS-BAOA在11個函數中的9個函數上排名第一，僅在f1函數上差于BiEO，在f8函數上差于BFMO，整體排名第一，優于其他四種算法，這證明了所提MS-BAOA在解決二進制優化問題上具有一定的優越性。

4 配電網故障區段定位

配電網的運行狀況復雜多變，相比輸電網而言更容易受到天氣因素和人為因素的影響，因此所遭受故障的概率也遠大于輸電網。根據數據統計，超過80%的停電事故起源于配電網故障。因此，快速、準確地實現配電網故障區段定位有利于保障供電的可靠性和連續型，對提高配電網運行效率具有重要的意義。本章應用MS-BAOA解決配電網故障區段定位問題，以探究MS-BAOA在實際應用的有效性。

4.1 配電網故障區段定位原理

1）區段狀態編碼

配電網中的重要設備包括斷路器、分段開關、聯絡開關等，這些設備在區段定位中被稱為節點。它們將配電線路分成了多個小段，這些小段稱之為區段。當配電網發生故障時，采集節點的故障信息就能夠判定出故障的發生區段。配電網線路的區段狀態用si表示，其編碼規則如下：

si=1" 區段存在故障0" 區段不存在故障 （8）

2）節點狀態編碼

配電網的開關即節點的狀態用Ij表示，對于傳統的輻射型配電網，其編碼規則如下：

Ij=1" 有故障電流通過0" 無故障電流通過 （9）

3）期望函數

當輻射型配電網某區段發生故障時，只有靠近電源上游的節點才能產生故障電流，遠離電源的下游節點不能產生故障電流。因此輻射型配電網中同一條主線路的各分段開關的期望函數構建規則如下：

I*i=s1∪s2∪…∪si（10）

其中：I*i表示節點i狀態的期望值；si表示處于相關節點 i下游的區段狀態的假設值。

如圖6所示，圖中S表示電源，K1～K14表示斷路器節點，每個斷路器上均有一個饋線終端單元（feeder terminal unit，

FTU），可以反饋斷路器開關是否過流，用于表示上傳的故障信息，S1～S14表示區段。

當S10發生故障，其他區段正常時，此時區段狀態假設為

［S1－S14］=［00000000010000］（11）

此時根據式（10）可計算出非故障支路上所有節點狀態的期望值。

I*1=s1∪s2∪s3∪s4∪s5∪s6=0I*2=s2∪s3∪s4∪s5∪s6=0I*3=s3∪s4∪s5∪s6=0I*4=s4∪s5∪s6=0I*5=s5∪s6=0I*6=s6=0I*7=s7∪s8∪s9∪s10∪s11∪s12∪s13∪s14=1I*8=s8∪s9∪s10∪s11∪s12∪s13∪s14=1I*9=s9∪s10∪s11∪s12∪s13∪s14=1I*10=s10∪s11∪s12∪s13∪s14=1

I*11=s11∪s12∪s13∪s14=0

I*12=s12∪s13∪s14=0

I*13=s13∪s14=0

I*14=s14=0 （12）

因此可得所有節點的期望值為

［I*1－I*14］=［00000011110000］（13）

如果真實故障發生在區段S10，則節點狀態的真實值為

［I*1－I*14］=［00000011110000］（14）

對比兩種結果可以發現，期望值和真實值相同，因此期望函數式（8）真實刻畫了輻射型配電網的電流走向。

4.2 構建適應度函數

基于各饋線區段狀態的真實信息與實際上傳的故障信息偏差最小的原則，構造適應度函數如式（15）所示。

fitness=∑Dimj=1|Ij－I*j（Sj）|+ω∑Dimj=1|Sj|（15）

其中：Ij表示第j個開關節點FTU上傳的故障信息；I*j（Sj）表示第j個開關節點的期望狀態；Dim表示配電網中的饋線區段的總數；Sj表示第j個區段的故障狀態；ω∑Dimj=1|Sj|表示權系數與故障設備數的乘積；ω是根據故障診斷理論中的“最小集”概念設置的權重系數，其值在0～1，用于表明故障區間數越少解越優，避免出現誤診斷，設置ω=0.5；fitness表示每個潛在解所對應的適應度值，值越小表示越貼近真實信息，因此適應度函數應取極小值。

4.3 實驗及結果分析

利用MS-BAOA設計配電網故障定位實驗，通過構建兩種輻射型電網模型搭建多種不同實驗場景，兩種電網模型如圖7所示，其中S表示電源，Ki表示斷路器節點，Si表示配電網區段。

在輻射型電網模型1中，共有14個斷路器節點，分別設置單點故障區段為S10和多點故障區段為S2、S10兩種實驗場景；在輻射型電網模型2中，共有12個斷路器節點，設置多點故障區段為S5、S6和S5、S8、S11兩種實驗場景，分別進行獨立實驗。種群大小規模設置為10，最大迭代次數為200，實驗結果取10次平均值，實驗環境如表3所示。

將MS-BAOA與BPSO、BGWO、BFMO以及BiEO進行實驗對比，多次實驗結果的平均值如表4所示，每隔5次迭代的實驗結果收斂曲線如圖8所示。可以看出，MS-BAOA和BiEO在四種實驗場景中都得到了最佳值，除了在模型2中的S5、S6故障區段場景中收斂速度低于BiEO，在其他場景中均優于其他四種算法，這表明了相比于其他算法，MS-BAOA收斂速度更快、精度更高，能夠在較短時間內找到最佳解，并準確輸出故障區段，驗證了MS-BAOA在解決輻射型配電網故障區段定位上的有效性。

在單點故障發生時，如模型1的S10區段發生短路故障，此時FTU上報故障信息為［00000011110000］，表明節點開關7～10經歷了故障電流，經過MS-BAOA算法計算，輸出結果為［00000000010000］，顯示饋線區段S10發生故障，準確實現了電網模型1中的單點故障定位。多點故障發生時，如模型2中的S5、S8、S11發生相間短路故障時，此時FTU上報故障信息為［111111110010］，表明節點開關1～8、11經歷了故障電流，經過MS-BAOA算法計算，輸出結果為［000010010010］，顯示饋線區段S5、S8、S11發生故障，準確實現了電網模型2中的多點故障定位。

5 結束語

針對算術優化算法無法解決二進制優化問題的局限性，提出了一種引入sigmoid函數變體實現的二進制算術優化算法BAOA_S，突破了AOA在處理離散二進制型優化問題上的局限性。進一步地，提出一種基于突變策略的多種群算術優化算法，即MS-BAOA，解決了BAOA_S收斂速度慢、求解精度低的問題。通過與其他算法在CEC2013基準測試函數上的對比，驗證了MS-BAOA的優勢。將MS-BAOA應用于輻射型配電網故障定位中，能夠快速準確地定位單點以及多點故障區段，較好地滿足了配電網故障定位實時準確的要求，進一步驗證了該算法在實際應用中的有效性。未來工作中，將進一步探究MS-BAOA在解決大規模二進制優化問題中的具體表現和改進策略，并嘗試將代理模型與MS-BAOA相結合，用于解決昂貴優化問題。

參考文獻：

［1］Abualigah L， Diabat A， Mirjalili S， et al. The arithmetic optimization algorithm［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2021， 376： 113609.

［2］鄭濤， 馬龍， 李博文. 基于饋線終端裝置信息畸變校正的有源配電網故障區段定位［J］. 電網技術， 2021， 45（10）： 3926-3935. （Zheng Tao， Ma Long， Li Bowen. Fault section location of active distribution network based on feeder terminal unit information distortion correction ［J］. Power System Technology， 2021， 45（10）： 3926-3935.）

［3］Kennedy J， Eberhart R C. A discrete binary version of the particle swarm algorithm ［C］// Proc of IEEE International Conference on Systems， Man， and Cybernetics. Computational Cybernetics and Simu-lation. Piscataway， NJ： IEEE Press， 1997： 4104-4108.

［4］Hashim F A， Houssein E H， Mabrouk M S， et al. Henry gas solubility optimization： a novel physics-based algorithm ［J］. Future Gene-ration Computer Systems， 2019， 101： 646-667.

［5］Al-Betar M A， Alyasseri Z A A， Awadallah M A， et al. Coronavirus herd immunity optimizer （CHIO） ［J］. Neural Computing and App-lications， 2021， 33（10）： 5011-5042.

［6］Pan J S， Zhang Ligang， Wang Ruobin， et al. Gannet optimization algorithm： a new metaheuristic algorithm for solving engineering optimization problems ［J］. Mathematics and Computers in Simulation， 2022， 202： 343-373.

［7］Khatir S， Tiachacht S， Le Thanh C， et al. An improved artificial neural network using arithmetic optimization algorithm for damage assessment in FGM composite plates ［J］. Composite Structures， 2021， 273： 114287.

［8］Agushaka J O， Ezugwu A E. Advanced arithmetic optimization algorithm for solving mechanical engineering design problems ［J］. PLoS One， 2021， 16（8）： e0255703.

［9］Premkumar M， Jangir P， Kumar B S， et al. A new arithmetic optimization algorithm for solving real-world multiobjective CEC-2021 constrained optimization problems： diversity analysis and validations ［J］. IEEE Access， 2021， 9： 84263-84295.

［10］鄭婷婷， 劉升， 葉旭. 自適應t分布與動態邊界策略改進的算術優化算法 ［J］. 計算機應用研究， 2022， 39（5）： 1410-1414. （Zheng Tingting， Liu Sheng， Ye Xu. Arithmetic optimization algorithm based on adaptive t-distribution and improved dynamic boundary strategy ［J］. Application Research of Computers， 2022， 39（5）： 1410-1414.）

［11］蘭周新， 何慶. 多策略融合算術優化算法及其工程優化［J］. 計算機應用研究， 2022， 39（3）： 758-763. （Lan Zhouxin， He Qing. Multi-strategy fusion arithmetic optimization algorithm and its application of project optimization［J］. Application Research of Compu-ters， 2022， 39（3）： 758-763.）

［12］申曉寧， 潘紅麗， 陳慶洲， 等. 引入啟發信息的粒子群算法在低碳TSP中的應用 ［J］. 計算機工程與科學， 2022， 44（6）： 1114-1125. （Shen Xiaoning， Pan Hongli， Chen Qingzhou， et al. Application of particle swarm optimization with heuristic information in low-carbon TSP ［J］. Computer Engineering and Science， 2022， 44（6）： 1114-1125.）

［13］張亞林， 李曉松. 改進AOA結合貝塞爾曲線平滑的機器人路徑規劃 ［J］. 計算機工程與設計， 2023， 44（10）： 3170-3178. （Zhang Yalin， Li Xiaosong. Robot path planning based on improved archimedes optimization algorithm and Bezier curve smoothing ［J］. Computer Engineering and Design， 2023， 44（10）： 3170-3178.）

［14］黃志鋒， 劉媛華， 任志豪， 等. 融合改進哈里斯鷹和改進動態窗口的機器人動態路徑規劃 ［J］. 計算機應用研究， 2024， 41（2）： 450-458. （Huang Zhifeng， Liu Yuanhua， Ren Zhihao， et al. Research on mobile robot dynamic path planning based on improved Harris hawk algorithm and improved dynamic window algorithm ［J］. Application Research of Computers， 2024， 41（2）： 450-458.）

［15］Salgotra R， Singh U， Singh S， et al. Self-adaptive salp swarm algorithm for engineering optimization problems［J］. Applied Mathema-tical Modelling， 2021， 89： 188-207.

［16］Pham Q V， Mirjalili S， Kumar N， et al. Whale optimization algorithm with applications to resource allocation in wireless networks ［J］. IEEE Trans on Vehicular Technology， 2020， 69（4）： 4285-4297.

［17］Mirjalili S， Mirjalili S M， Yang Xinshe. Binary bat algorithm ［J］. Neural Computing and Applications， 2014， 25（3）： 663-681.

［18］Emary E， Zawbaa H M， Hassanien A E. Binary grey wolf optimization approaches for feature selection［J］. Neurocomputing， 2016， 172： 371-381.

［19］Arora S， Anand P. Binary butterfly optimization approaches for feature selection［J］. Expert Systems with Applications， 2019， 116： 147-160.

［20］Pan J S， Hu Pei， Chu Shuchuan. Binary fish migration optimization for solving unit commitment ［J］. Energy， 2021， 226： 120329.

［21］Faramarzi A， Mirjalili S， Heidarinejad M. Binary equilibrium optimizer： theory and application in building optimal control problems ［J］. Energy and Buildings， 2022， 277： 112503.

［22］孫林， 李夢夢， 徐久成. 二進制哈里斯鷹優化及其特征選擇算法 ［J］. 計算機科學， 2023， 50（5）： 277-291. （Sun Lin， Li Mengmeng， Xu Jiucheng. Binary Harris hawk optimization and its feature selection algorithm ［J］. Computer Science， 2023， 50（5）： 277-291.）

［23］李忠兵， 蔣川東， 梁海波， 等. 粗精選策略二進制灰狼優化算法用于紅外光譜特征選擇［J］. 光譜學與光譜分析， 2023， 43（10）： 3067-3074. （Li Zhongbin， Jiang Chuandong， Liang Haibo， et al. Rough and fine selection strategy binary gray wolf optimization algorithm for infrared spectral feature selection ［J］. Spectroscopy and Spectral Analysis， 2023， 43（10）： 3067-3074.）