對２０２４年高考物理湖南卷第１５題的分析與拓展

摘 要：對２０２４年高考物理湖南卷第１５題進行分析，重點討論此題的第（２）問，并將此問拓展為“若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于正多邊形的各個頂點，求小球Ａ、Ｂ的質量比”。證明了只要小球Ａ、Ｂ在某正多邊形頂點發生彈性碰撞，以后各碰撞位置必然在該正多邊形的某頂點。并利用數學歸納法，得到拓展問題的一般結論。

關鍵詞：碰撞；動量守恒；能量守恒；質量比

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）12-0044-4

《普通高中物理課程標準（２０１７年版２０２０年修訂）》中指出，學業質量水平４是高等院校招生錄取的學業水平等級考試的命題依據。在學業質量水平４中，學生需要“能理解所學的物理概念和規律及其相互作用……能將實際問題中的對象和過程轉換為所學的物理模型；能對綜合性物理問題進行分析和推理，獲得結論并作出解釋……能分析相關事實和結論，提出并準確表示可探究的物理問題……”［１］。２０２４年高考物理湖南卷第１５題便能充分考查學生是否達到了學業質量水平４。該題是兩球發生多次正碰的壓軸大題，考查運動、相互作用、能量以及動量相關知識。由于碰撞的種類和兩球質量關系不明確，需要考生根據題意對碰撞的三種情形（彈性碰撞、完全非彈性碰撞和非完全彈性碰撞）進行分情況分析、討論和推理，從而得出結果，能全面考查學生的核心素養。現對此題進行分析并拓展。

１ 原題呈現

（２０２４年高考物理湖南卷第１５題） 如圖１所示，半徑為Ｒ的圓環水平放置并固定，圓環內有質量為ｍＡ和ｍＢ的小球Ａ和Ｂ（ｍＡ>ｍＢ）。初始時小球Ａ以初速度ｖ０沿圓環切線方向運動，與靜止的小球 Ｂ發生碰撞。不計小球與圓環之間的摩擦，兩小球始終在圓環內運動。

（１）若小球Ａ與Ｂ碰撞后結合在一起，求碰撞后小球組合體的速度大小及做圓周運動所需向心力的大小；

（２）若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個頂點，求小球的質量比；

（３）若小球Ａ與Ｂ之間為非彈性碰撞，每次碰撞后的相對速度大小為碰撞前相對速度大小的ｅ倍（０＜ｅ＜１），求第１次碰撞到第２ｎ＋１次碰撞之間小球Ｂ通過的路程。

圖１ ２０２４年高考物理湖南卷第１５題示意圖

２ 試題簡評

本題是２０２４年高考物理湖南卷第１５題，作為壓軸大題考查碰撞問題。在《普通高中物理課程標準（２０１７年版２０２０年修訂）》［１］中對碰撞的內容要求為：通過實驗，了解彈性碰撞和非彈性碰撞的特點。定量分析一維碰撞問題，并能解釋生產生活中的彈性碰撞和非彈性碰撞現象。從題目設置而言，本題所考查的內容完全符合課程標準的要求。

本題涉及牛頓第二定律、能量守恒定律以及動量守恒定律，旨在考查學生對物體運動、物體之間相互作用規律以及能量的理解與應用。本題第（１）問相對容易，學生利用完全非彈性碰撞特點，結合牛頓第二定律與動量守恒便可順利解決。學生要完全解決此問題的第（２）與第（３）問，需要對碰撞有更深的理解，僅僅停留在表面是不行的。本題第（２）問需要學生利用彈性碰撞的特點，根據動量守恒與能量守恒，計算得到小球Ａ和Ｂ第一次碰后的速度vA、vB。此后，需根據題目中已知條件“所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個頂點”，分析得到從第一次碰撞到第二次碰撞之間Ａ、Ｂ通過的路程之比，進而利用二者的速度之比推導得到二者的質量之比。值得注意的是，此小題還需分情況討論，即第二次碰撞的位置有兩處。本小題容易忽略的是，學生通過上述分析得到小球Ａ、Ｂ的質量比之后沒有對以后的碰撞是否均發生在等邊三角形的三個頂點進行證明，這于此小題而言是必不可少的。本題第（３）問，學生需要靈活應用題目中的已知條件“小球Ａ與Ｂ之間為非彈性碰撞，每次碰撞后的相對速度大小為碰撞前的相對速度大小的ｅ倍（０＜ｅ＜１）”。深刻理解相對運動，利用非彈性碰撞的特點，根據動量守恒定律進行分析以解決問題。另外，此小題還需學生具有數學歸納能力，能通過計算，找到每次碰撞后到下次碰撞前小球Ｂ所經過路程的規律，此題便可迎刃而解。因此，本題需要學生有較強的模型建構能力、分析與邏輯推理能力，是對學生核心素養的綜合考查。

本文重點對第（２）問進行分析并進行拓展，得到“若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，所有的碰撞位置剛好位于正多邊形的各個頂點時，小球Ａ、Ｂ的質量比”的一般結論。

３ 試題解析

若兩球發生彈性碰撞，設碰后速度分別為ｖＡ、ｖＢ，則碰后動量和能量守恒，有

mAv0=mAvA+mBvB

mAv=mAv+mBv

聯立解得v=v，v=

所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個頂點，如圖２所示。

圖２ 碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個頂點示意圖

情況１：若第二次碰撞發生在圖２中的ｂ點，則從第一次碰撞到第二次碰撞之間，Ａ、Ｂ通過的路程之比為（其中，k1=0，1，2，3…），因此有

==（k1=0，1，2，3…）

聯立解得=，由于兩質量均為正數，故ｋ１＝０，即=2。

證明：第二次碰撞，設Ａ和Ｂ碰撞后的速度大小分別為v'A、v'B，則同樣有

mAvA+mBvB=mAv'A+mBv'B

mAv+mBv=mAv+mBv

聯立解得v'A=v0，v'B=0，故第三次碰撞發生在ｂ點，第四次碰撞發生在ｃ點，以此類推，滿足題意。

情況２：若第二次碰撞發生在圖２中的ｃ點，則從第一次碰撞到第二次碰撞之間，Ａ、Ｂ通過的路程之比為（其中，k2=0，1，2，3…）。所以

==

聯立可得=，因為兩質量均為正數，故ｋ２＝０，即=5。

證明：根據情況１的分析亦可證v'A=v0，v'B=0，滿足題意。

綜上可知，=2或=5。

４ 試題拓展

將此題進行拓展：若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于正多邊形的各個頂點，求小球的質量比。該拓展便將此題從一個特殊的問題延伸至一個一般的問題，現對此問題進行討論。

４．１ 證明：各碰撞位置一定為某正多邊形的各頂點

如圖３（ａ）所示，小球Ａ以速度v0與小球Ｂ在ａ位置發生第一次碰撞，碰后速度分別為vA和vB。第二次碰撞位置假設在圖３（ａ）中的ｂ位置，小球Ｂ以速度vB與小球Ａ發生第二次碰撞，第二次碰撞后小球Ａ、Ｂ的速度分別為v'A與v'B，考慮彈性碰撞，可得出v'A與v'B的一般解

v'A=

v'B=

代入試題解析中所得的vA與vB，可得v'A=v0，v'B=0，即小球Ａ與小球Ｂ發生第二次碰撞后，小球Ａ的速度又為初速度v0，小球Ｂ的速度變為零，這種情況與碰撞的位置無關。那么，如圖３（ｂ）所示，第三次碰撞依舊發生在位置ｂ處，且第三次碰撞情況同第一次在ａ位置的碰撞情況相同。假設第四次碰撞在ｃ位置處，不難得知，這與第二次碰撞情況相同，且必有弧ａｂ等于弧ｂｃ。以此類推，則可證明小球Ａ、Ｂ若在某正多邊形頂點發生彈性碰撞，以后各碰撞位置可能在該正多邊形的某頂點。

（a） （b）

圖３ 小球Ａ、Ｂ碰撞情況示意圖

４．２ 對正多邊形進行分情況討論

４．２．１ 所有的碰撞位置剛好位于正四邊形的各個頂點

如圖４所示，若第二次碰撞發生在ｂ點，與試題解析中的解析類似，則有==（k3=0，1，2，3…），可得=（k3=0，1，2，3…），k3取0，得=。若第二次碰撞發生在ｃ點，則有==（k4=0，1，2，3…），即=（k4=0，1，2，3…），解得=3。若第二次碰撞發生在ｄ點，則有==（k5=0，1，2，3…），即=（k5=0，1，2，3…），解得=7。

圖４ 碰撞位置剛好位于正四邊形的四個頂點示意圖

４．２．２ 所有的碰撞位置剛好位于正五邊形的各個頂點

如圖５所示，若第二次碰撞發生在ｂ點，同理有==（k6=0，1，2，3…），即=（k6=0，1，2，3…），解得=。若第二次碰撞發生在ｃ點，則有==（k7=0，1，2，3…），即=（k7=0，1，2，3…），解得=。若第二次碰撞發生在ｄ點，則有==（k8=0，1，2，3…），即=（k8=0，1，2，3…），解得=4。若第二次碰撞發生在ｅ點，則有==（k9=0，1，2，3…），即=（k9=0，1，2，3…），解得=9。

圖５ 碰撞位置剛好位于正五邊形的五個頂點示意圖

４．２．３ 數學歸納與分析

至此，利用數學歸納法，可得到若小球Ａ與Ｂ之間為彈性碰撞，所有的碰撞位置剛好位于正多邊形的各個頂點，則小球的質量比的通項公式

=（0<m<n，k=0，1，2，3…）

其中，ｎ為正多邊形的邊數，ｍ、ｋ均為正整數。由于質量比為正數，故而可將上述通項公式改寫為

=（0<m<n）

將該式進一步改寫為

===1+（0<m<n）

可知，若ｎ與ｍ相差１，便對應著最大的質量比（）max=2n-1；若m=1，則對應著最小的質量比（）max=，該質量比始終大于１，與題意ｍＡ＞ｍＢ相符。故而，還可以將此題進行拓展，若ｍＡ<ｍＢ，小球Ａ、Ｂ的質量比也可類似上述分析進行求解，此處不再贅述。

５ 小 結

通過對２０２４年高考物理湖南卷第１５題進行分析可知，此題作為壓軸大題，考查學生的核心素養，要求學生能利用所學知識，建構物理模型，并在此基礎上，通過分析、推理以及歸納和概括得到正確結論，能較好地實現對人才的選拔。本文在原題基礎上，對第（２）問進行拓展，拓展的目的并非要讓問題變得復雜，而是通過分析發現可以得到更一般、簡潔的結論。教師在教學中應注意對教學問題的拓展與延伸，通過拓展，可幫助學生避免進入機械刷題的誤區，引導學生在新的較為復雜的情境中對綜合性物理問題進行分析和推理，發展科學思維，從而培養學科核心素養。

參考文獻：

［１］中華人民共和國教育部．普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）［S］．北京：人民教育出版社，２０20．

（欄目編輯 陳 潔）

收稿日期：2024-07-01

基金項目：成都市教育局立項成都市教育科學規劃課題“‘三新’背景下提升學生物理核心素養的多學科融合教學研究”（ＣＹ２０２３Ｙ０８８）；四川省教育學會２０２３年度教育科研立項課題“中學全學科多樣態閱讀教學實踐研究”（ＹＢ２０２３１６８）。

作者簡介：羅恒（１９９６－），男，中小學二級教師，主要從事高中物理課堂教學工作。