對三個典型位置物體重力的辨析

摘 要：用非慣性參考系、慣性力等概念去理解重力有其優越性，但這些知識并不適合高中教學的實際情況。針對用萬有引力定律理解重力的困惑，以重力是萬有引力的一個分力為基礎，辨析了地球上空、地球表面和地球內部三個位置物體所受的重力。

關鍵詞：重力；萬有引力；自轉；分力

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）12-0063-3

人教版高中物理必修一中對重力的定義是：由于地球的吸引而使物體受到的力叫做重力［１］，這個定義僅指出了物體重力產生的原因。人教版必修二中提出“若不考慮地球自轉的影響，地面上質量為ｍ的物體所受的重力ｍｇ等于地球對物體的引力”［２］，這個定義雖明確指出了物體重力與萬有引力的關系，卻是有條件的。那么，在地球自轉時物體的重力等于多少？在空中和地面以下的重力又如何？如果利用非慣性參考系和慣性力作出解釋，顯然不適合中學課堂，因此教師需要結合教學實際，厘清物體重力與萬有引力的關系。

１ 地球表面物體的重力

１．１ 不考慮地球自轉

若不考慮地球自轉的影響，地球表面質量為ｍ的物體所受的重力等于地球對物體的萬有引力，即

mg=（1）

如果沒有區分赤道和兩極的重力加速度，或直接交代地表的重力加速度為ｇ，這就表明重力與萬有引力相等。將（1）式ｍ消去得到，GM=R2g，這就是俗稱的“黃金代換式”［３］，它不僅對其他天體適用，而且涉及到具體計算時誤差較小，所以也叫“萬能代換式”。

１．２ 考慮地球自轉

若考慮地球的自轉，并將地球視為慣性系，物體隨地球一起做圓周運動，除兩極外，萬有引力的一個分力需要提供垂直指向地軸的向心力，另一個分力就是物體的重力［４］，如圖１所示。這時，重力不再等于萬有引力（兩極除外）。

圖１ 萬有引力的一個分力提供向心力

也可以這樣理解，物體在地球表面受到兩個力，萬有引力和支持力，如圖２所示，物體的萬有引力Ｆ與支持力ＦＮ的合力提供圓周運動的向心力F向，軌道半徑ｒ＝Ｒｃｏｓθ。重力等于支持力，它們是一對平衡力。由于物體隨地球做圓周運動，所以重力不指向地心（赤道和兩極除外）。如圖３所示，將mg和Ｆ沿著Ｆ方向分解，滿足關系

圖２ 合力提供向心力

圖3 三力近似關系

mgcosσ=F-Fcosθ=-mRω2cos2θ（2）

因為σ很小，故ｃｏｓσ≈１，將（2）式變形得

mg=-mRω2cos2θ（3）

（3）式表明，θ越大，即物體的緯度越高，那么物體所受的重力就越大。討論特殊情況：

當θ＝０時，物體處在赤道，mg1=-mRω2；

當θ＝９０°時，物體處在兩極，mg2=。

在這里學生會質疑：支持力方向是球體切線的垂線方向，重力的方向就應該指向地心才對，但圖１中重力卻不是指向地心，這是為何？其實，地球并不是嚴格的球體，地球表面主要由海水組成，赤道附近的海水比重小，地球自轉使得兩極距地心近、赤道距地心遠形成橢球體，形似“哈密瓜”。如圖４所示，支持力垂直于海平面，萬有引力指向橢圓中心，萬有引力Ｆ與支持力ＦＮ的合力提供物體圓周運動的向心力F。

圖４ 哈密瓜形

以上是在慣性系下解釋了物體所受重力與萬有引力的差異，特別是用橢球體解釋重力的方向，學生容易理解，如果不糾結重力方向的問題，完全可以將地球簡化為球體。不過，高中階段主要考查赤道和兩極處物體的重力，這兩處重力的方向與萬有引力的方向相同。

２ 地球上空物體的重力

２０２２年１１月３０日，神舟十五號成功將三位航天員費俊龍、鄧清明、張陸送入中國空間站，與神舟十四號航天員乘組首次實現“太空會師”，他們將在軌生活半年，完成２０２２年的第六次飛行任務。航天員們在空間站里面處于完全失重狀態，按照失重的概念，當物體對懸掛物的拉力或對支持物的壓力等于零時，物體處于完全失重狀態，所以完全失重只能說明航天員的視重為０，并不代表航天員就沒有重力。那么，在地球上空，物體所受的重力等于什么？

假設ｈ高處有一顆衛星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供衛星做圓周運動的向心力，有=F向。此時衛星已脫離地球，重力不再受自轉的影響，（3）式中的ω＝０，但（3）式還是可以用來計算重力，即mg=，所以

mg==F向（4）

（4）式表明，當物體繞地球做勻速圓周運動時，重力等于萬有引力，重力就是萬有引力的一個代名詞而已，此時也可以說重力提供了衛星圓周運動的向心力。（4）式還表明，物體所受重力隨高度ｈ的增加而減小，對于衛星而言，高度ｈ少則也有幾十千米。如果只是幾層樓的高度，那就只能當作地面上的物體來處理，參考系也會隨之改變，因為當ｈ遠小于地球半徑Ｒ時，完全沒有必要考慮海拔高度對重力的影響，即使是在最高峰珠穆朗瑪峰的頂端，重力加速度也僅比海平面的小不到３‰［５］。

以上分析了在高空不受地球自轉影響時物體的重力，下面再來分析一下在高空且受地球自轉影響時物體的重力。假想從赤道鋪設一條豎直的電梯至同步衛星，設地球自轉角速度為ω，當物體上升至某一高度ｈ（ｈ≤ｈ０）時，物體受到萬有引力和電梯的支持力，支持力等于重力，有

mg'=-m（R+h）ω2（5）

當物體上升至同步衛星的高度ｈ０時，滿足等式

=m（R+h0）ω2（6）

聯立（5）（6）式，解得

mg'==

（7）

由（7）式得，當ｈ＜ｈ０時，物體的重力隨高度的增加而減小；當ｈ＝ｈ０時，物體的重力等于０。這說明空中物體的重力還與地球自轉的角速度有關。

３ 地球內部物體的重力

如果物體到了地表以下，那重力又如何呢？教學中，我們會碰到結論“質量分布均勻的球殼在其內部產生的引力場場強處處為零”。這個結論可以用微元法證明（證明略），也可以采用類比法理解，因為點電荷間的靜電力公式與物體間的萬有引力公式形式相同，電場強度與引力場場強的表達形式也相同，既然均勻帶電的球殼內部電場強度處處為零，那么“質量均勻的球殼在內部產生的引力場場強處處為零”也成立。

受上面結論的啟發，如圖５所示，可以將地球分為厚度ｈ的球殼與半徑（Ｒ－ｈ）的球體兩個部分，認為地球是質量分布均勻的球體，那么物體在ｈ處的重力就等于半徑為（Ｒ－ｈ）的球體對它的萬有引力，有

mg1=

M=ρ·πR3

M1=ρ·π（R-h）3

得到mg1=，當ｈ增大（深度變大）時，重力減小。令R-h=x，得到

mg1=∝x（8）

圖５ 地球分為兩部分

由（8）式可知，距離地心ｘ處的物體重力與ｘ成正比，當ｘ＝０，即ｈ＝Ｒ時，得到地心處的重力為０。

如果以地球某一直徑挖出一條貫穿地球的隧道，并規定正方向，容易證明

F=-πGρmx=-kx∝x（9）

（9）式可以說明物體在這個隧道里面做以地心為平衡位置的簡諧運動。

４ 啟 示

綜上所述，高中階段只要不考慮地球的自轉或區分赤道與兩極的重力，那么重力與萬有引力就是相等的，但是不能等同［６］；如果考慮地球的自轉，限于高中不講非慣性系與離心慣性力的概念，所以只能認為重力是萬有引力的一個分力，盡管這一觀點與“重力是萬有引力與慣性離心力的合力”存在一定的分歧［７］。總之，任何知識的學習都不是一蹴而就的，隨著學習的不斷深入，我們對知識的認識會更全面、更深刻。

參考文獻：

［１］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心．普通高中教科書物理必修第一冊［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：５５．

［２］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心．普通高中教科書物理必修第二冊［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：５１．

［３］段石峰．高中階段如何理解重力和地球引力的關系［Ｊ］．湖南中學物理，２０２２（９）：７８－８０．

［４］金清鎮．重力與萬有引力誰是“合力”［Ｊ］．物理教師，２０１５，３６（３）：５９．

［５］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心．普通高中教科書物理必修第二冊教師用書［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：５１．

［６］王太軍，唐忠敏．關于重力定義的再探討——重力與萬有引力應該“分家”［Ｊ］．物理教師，２０１０，３１（１０）：３６－３８．

［７］馬亞鵬．重力與萬有引力的關系及其對中學物理教學的啟示［Ｊ］．中學物理教學參考，２０１３，４２（６）：５０－５２．

（欄目編輯 蔣小平）

收稿日期：2024-05-17

作者簡介：張育森（1981-），男，中學一級教師，主要從事高中物理教學工作。