融合FDTD與遺傳算法的高精度光學薄膜優化

摘" 要：該研究提出一種融合時域有限差分法（FDTD）和遺傳算法的優化框架，旨在提高光學薄膜的反射性能。選擇三層薄膜結構作為研究對象，通過使用FDTD方法計算薄膜結構的反射率，并將其作為遺傳算法中的適應度函數。通過兩者結合，在多維設計空間中有效搜索到了優化參數，顯著降低了薄膜的反射率。這一方法不僅降低了計算成本，還提供了一種靈活且可擴展的解決方案，對未來高性能光學系統的設計和優化具有重要的實際意義。

關鍵詞：光學薄膜；時域有限差分法；反射率；遺傳算法；設計優化

中圖分類號：TP18；TB332" 文獻標識碼：A" 文章編號：2096-4706（2024）10-0165-04

High Precision Optical Thin Film Optimization of Integrating FDTD and Genetic Algorithm

XU Yunshi1， LI Jifeng2， DAI Zhiping1，2

（1.College of Physics and Electronic Engineering， Hengyang Normal University， Hengyang" 421002， China;

2.Nanyue College of Hengyang Normal University， Hengyang" 421008， China）

Abstract： This research proposes an optimization framework that integrates the FDTD method and Genetic Algorithm， aiming to enhance the reflective performance of optical thin films. It selects a three-layer thin film structure as the research object， employs the FDTD method to calculate the reflectivity of the thin film structure and uses it as the fitness function in the Genetic Algorithm. By combining these two methods， we effectively search for optimized parameters within a multi-dimensional design space， significantly reducing the reflectivity of the thin film. This method not only reduces computational costs but also provides a flexible and scalable solution， holding significant practical implications for the design and optimization of future high-performance optical systems.

Keywords： optical thin film; Finite-Difference Time-Domain method; reflectivity; Genetic Algorithm; design and optimization

0" 引" 言

光學薄膜在各個領域中具有廣泛應用，它們在各種設備中扮演著關鍵角色，例如在激光系統中作為反射鏡和濾波器，在攝像頭和望遠鏡中作為增強元件，以及在通信系統中作為波分復用器[1]。薄膜的性能很大程度上取決于其材料、厚度、折射率和層數等參數[2]。優化這些參數以獲得期望的反射、透射和吸收特性對于滿足特定應用的要求是至關重要的[3]。

然而，隨著技術的不斷進步和應用需求的日益復雜化，傳統的薄膜設計和優化方法面臨挑戰[4]。單純的直覺和經驗方法在多層薄膜結構的設計中變得不夠準確和高效。此外，新材料的出現、微納米尺寸結構的加入以及對于極端環境下的性能穩定性的要求都使得薄膜設計面臨更高的復雜性[5]。為了實現高性能和高精度的光學薄膜，我們需要更先進、系統和智能的設計方法，以滿足現代科技和工業中日益增長的性能需求[6]。

盡管有各種數學模型和計算方法用于模擬光學薄膜的性能，但由于涉及多個參數和計算復雜性，這些方法往往需要大量的計算資源和時間[7]。此外，當面臨多目標優化問題時，找到理想的參數組合還是一個巨大的挑戰[8]。時域有限差分（FDTD）方法是一種高度準確的數值模擬方法，已被廣泛應用于電磁場的模擬和分析，包括光學薄膜。然而，由于其計算密集型的特性，單獨使用FDTD方法往往需要多次的迭代和模擬，耗費大量的計算資源和時間[9]。遺傳算法是一種全局優化算法，模仿自然界中生物的進化過程，已成功地應用于多個復雜的優化問題[10]。與傳統優化算法相比，遺傳算法能夠更高效地找到目標解，并且計算成本相對較低[11]。特別地，在本研究中，我們采用了一種精英策略來保留每一代中的優秀個體，確保它們的優秀基因能夠被傳遞到下一代[12]。精英策略通過直接將一定比例的表現最佳的個體復制到下一代，保證了算法在迭代過程中不會丟失已獲得的優秀解，從而在一定程度上加快了算法的收斂速度并提高了解的質量[13]。此外，我們還在選擇、交叉和變異等操作中引入了一些特定的策略，以期在保持種群多樣性的同時，也能夠有效地探索解空間，尋找到滿足特定光學性能要求的薄膜參數組合[14]。

本研究提出一種將FDTD和遺傳算法相結合的方法，用于優化光學薄膜的反射性能。通過這種結合，不僅大大減少了需要的模擬次數，還可以在多維參數空間中找到理想的參數組合。這種方法旨在建立一種普適性強、操作簡單且計算效率高的光學薄膜設計策略，在光電技術、通信工程和光電子學等多個領域擁有廣泛的應用前景。

1" FDTD和遺傳算法簡介

1.1" 時域有限差分（FDTD）方法

時域有限差分（FDTD）是一種數值分析技術，用于解決復雜的電磁場問題。該方法起源于20世紀60年代，并迅速成為電磁問題數值解決方案的一個主要手段。FDTD基于Maxwell方程，在時域和空間域內進行離散化，以模擬電磁波的傳播和相互作用。由于其能夠處理復雜幾何和非線性材料，FDTD在通信、醫療成像、雷達設計、光子學和量子計算等多個領域都有廣泛應用。

FDTD的一個顯著優點是其靈活性，可以適應多種邊界條件和場強分布。然而，這種方法也存在一些局限性，例如，對于非常大或者復雜的問題，計算需求可能會變得極其巨大，尤其是當需要高度精確的解時。這些計算通常需要高性能的計算機硬件和大量的運算時間，這也限制了FDTD方法在實際應用中的普及程度[8]。

1.2" 遺傳算法

遺傳算法是一種受自然界中生物進化過程啟發的搜索和優化算法，能夠處理高維、非線性和多目標的優化問題[4，5]。該算法通過模擬自然選擇、交叉和突變等生物學機制，在解空間內高效搜索最優或接近最優的解。遺傳算法主要用于解決優化和搜索問題，包括函數優化、路徑規劃、機器學習參數調整等。

遺傳算法的工作過程通常包括初始種群的生成、適應度函數的評估、選擇、交叉和突變等步驟。通過迭代，每次迭代都可能會產生更適應環境（即具有更高適應度值）的個體，直到滿足某些停止準則，算法趨于找到或接近理想的解。

2" 模型設計與模擬結果

2.1" 模型設計

本研究結合時域有限差分（FDTD）方法和遺傳算法，來設計并優化多層光學薄膜的反射特性。

2.1.1" FDTD模型

我們首先設置了一個三層光學薄膜結構，平面波垂直入射到該結構上，如圖1所示；然后通過FDTD模擬，得到平面波在通過這三層薄膜結構后的反射率，該反射率后續將被應用于遺傳算法的適應度函數中進行進一步分析和優化。模型設定完美匹配層（PML）作為邊界，以最小化邊界反射對模擬的影響；光源采用單色平面波，波長為550 nm；每一薄膜層包括折射率和厚度兩個獨立變量；我們在薄膜上方設置了監視器以記錄薄膜的反射率。在進入遺傳算法前，初始FDTD模型的個體參數為：[1.7，2.1，2.4，0.12 μm，0.15 μm，0.18 μm]，其中前3個參數為每層薄膜的折射率，后3個參數為每層薄膜的厚度；運行后，得到薄膜的反射率為0.427。

2.1.2" 遺傳算法模型

我們采用遺傳算法對薄膜參數進行優化，尋找最小反射率對應的參數組合，這個過程通過遺傳算法代碼實現。在本研究中，考慮到實際應用和材料的物理屬性，我們設定了薄膜折射率和厚度的取值范圍，分別為：1.5～2.5 μm和0.1～0.2 μm，這些約束條件確保了模型的實際可行性和物理合理性。

首先，遺傳算法初始化了一組潛在的解作為初始種群，每個解代表一組特定的薄膜參數（折射率和厚度），這些參數被編碼成染色體。接著，通過FDTD模擬得到每個解對應的反射率，遺傳算法將光學薄膜的反射率作為適應度函數，用于評估每個個體的性能。我們的目標是最小化這一反射率，因此，具有較低反射率的個體會被視為更優秀的個體。通過適應度函數，我們模擬了自然界中“適者生存”的原理，在每一代中，更具適應性的個體將會被優先選中作為下一代的父代。進行選擇后，算法執行交叉和變異操作，這些操作是在模擬自然界中的生物進化過程，通過這些操作，生成新一代的種群。每一代種群都會經過適應性評估，來尋找優秀的個體。這一流程將會持續進行，直到滿足預定的終止條件，例如達到最大迭代次數或達到一個特定的適應度閾值，如圖2所示。

2.2" 模擬結果

在遺傳算法中，通過代碼調用FDTD模擬，根據模擬結果計算適應度，然后更新模擬參數進入下一代。通過幾代的演化，我們得到了幾組不同的最佳個體和適應度，具體數據如表1所示。

從表1中可以看出，隨著遺傳算法的演化，系統的最佳適應度在不斷改善。FDTD模型最初的反射率為0.427，而通過遺傳算法優化后第一代的反射率就降低到了0.012 1，這一迅速且顯著的降低表明遺傳算法能夠快速找到參數空間中的高質量區域，并通過精確的參數調整，顯著改善光學系統的性能。隨著算法繼續演化，系統的反射率從第一代的0.012 1降至第四代的0.003 2。圖3展示了第四代的FDTD仿真效果，光源從z = 0.5 μm處往下傳播，三層薄膜從z = 0開始依次往上排列，因此z＞0.5 μm的區域可視為反射區域，z＜0的區域為透射區域。從圖3中不難發現，此時光場反射極小，而透射很大。這一持續的改進展現了遺傳算法的迭代優化能力，算法能夠在每一代中更加精確地探索參數空間，不斷靠近最優解，逐漸減小系統的反射率。這一過程表明，FDTD與遺傳算法相結合，在處理多維參數時能保持優越的搜索和優化能力，能夠實現系統光學性能的高效精確優化，有助于開發具有更高性能和更低損耗的光學系統。

分析每一代的適應度不難發現，隨著適應度的不斷提升，每一代所帶來的改進變得越來越小。這是因為當算法開始時，解通常遠離最優，因此改進的空間較大，而當算法不斷迭代，特別是當它接近某一最優解時，可行的改進空間通常會變小。當適應度值降低速度減緩時，意味著算法可能已經找到了一個理想的解，且進一步的優化可能只會帶來較小的改進。

3" 結" 論

通過本研究，我們展示了將FDTD軟件與遺傳算法相結合，可以有效地優化多層光學薄膜的參數。這種集成方法突破了傳統優化技術在處理多參數和非線性問題上的局限性，實現了對系統光學性能的高精度和高效優化。從最初的模型開始，FDTD與遺傳算法相結合顯示出顯著降低反射率的能力，并隨著每一代的演化，這一優化效果得到加強。此外，我們注意到，隨著優化過程的深入，每一代所能實現的改進逐漸變小。這一趨勢暗示著系統正逐步靠近其可能達到的某一最優解，每個迭代階段所能帶來的性能提升也因此變得越來越小。這一點不僅揭示了該優化策略的高效性，同時也反映出通過FDTD軟件與遺傳算法協同工作，能夠更為精確地探索參數空間，逐步逼近系統的最佳性能。

總之，本文驗證了FDTD與遺傳算法結合的優化方法在多層光學膜設計中的實用性和有效性。這一方法不僅提供了一種強大的工具，用于解決光學設計中遇到的復雜問題，而且還為未來發展更高效、低損耗的光學系統奠定了基礎。我們相信，這一結合優化方法的應用將在光學設計領域中擁有廣泛的應用前景。

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作者簡介：許韞詩（1998—），女，漢族，安徽淮南人，碩士研究生在讀，主要研究方向：光學薄膜的設計與優化；通訊作者：戴志平（1981—），男，漢族，湖南岳陽人，教授，博士，主要研究方向：光傳輸理論及其應用。