分數階PI魯棒預測控制解析整定法

摘" 要：基于分數階預測控制中微分算子難以求解的特點，提出一種分數階PI控制器參數求解方法，并將其應用于預測控制。該文聯立分數階PI控制器與預測控制形成的傳遞函數建立解析方程。該方法將被控系統所需的性能指標與分數階PI控制器相乘得到期望傳遞函數，利用該期望傳遞函數求解預測控制傳遞函數所需要的各項參數。增強了預測控制魯棒性的提升，降低了調整參數的計算時間。

關鍵詞：分數階；預測控制；魯棒性；解析法；圖解法

中圖分類號：TP13" " " 文獻標志碼：A" " " " " "文章編號：2095-2945（2024）35-0035-05

Abstract： Based on the difficulty in solving the differential operator in fractional order predictive control， a parameter solving method for fractional order PI controller is proposed and applied to predictive control. In this paper， analytical equations are established by combining fractional order PI controller and predictive control with transfer functions. This method multiplies the required performance index of the controlled system with a fractional-order PI controller to obtain the expected transfer function， and uses the expected transfer function to solve the parameters required for the predictive control transfer function， thus enhancing the robustness of predictive control and reduces the calculation time for adjusting parameters.

Keywords： fractional order; predictive control; robustness; analytical method; graphic method

分數階系統（FOPTD）被廣泛用于各種工業當中[1]。在過去的幾十年里，人們對FOPID控制器的參數整定進行了大量的研究。Zhao等在文獻[2]中提出了一類分數階對象的FOPID整定算法。文獻[3]給出了分數階控制器的圖解法，避免了用非線性方程組求解，為分數階控制器的設計提供新的思路。Yumuk等[4]提出基于Bode理想傳遞函數加時滯的分數階PID控制器的解析法。由于高階系統可以通過化簡模型用低階系統表示，因此Valério和Costa[5]提出了基于Ziegler-Nichols的經驗規則。Senol等[6]提出了一階加時滯系統分數階PI控制器回路成形的頻標法。

模型預測控制（MPC），是一種基于模型的控制策略，廣泛應用于許多先進的過程控制系統[7]。模型的復雜性大大增加了其計算負擔，這是阻礙實際應用的關鍵因素。然而，許多工業過程可以通過一階加死區模型充分描述[8]。對于一個典型的MPC，傳統調整參數包括預測時域和控制時域以及加權矩陣中使用的成本函數。這些參數可以顯著影響閉環性能、穩定性和魯棒性特征[9]。Bagheri等[10-15]將MPC轉化為極點配置問題，根據得到的解析方程調整MPC中的各項參數以解決閉環穩定性等問題。

本文提出了一類分數階PI魯棒預測控制解析整定法，將分數階PI控制器與預測控制所形成的傳遞函數聯立求解各項參數。該方法增強了系統的魯棒性，減少了計算成本，仿真驗證了本文所提出方法的有效性。

1" 分數階PI控制器參數求取方法

Senol等[6]提出分數階控制器回路頻標法，如圖1所示，該方法將相位交叉頻率和增益交叉頻率之間的曲線包圍在Bode圖中。控制系統的性能可以通過擴展或收縮該框架的邊緣和平坦化框架內的曲線來提高，因此可以避免導致系統任何不穩定的情況。

分數階PI控制器表示為

被控對象傳遞函數表示為

根據文獻[6]的如下步驟求解，

式中：Ｔ為慣性時間常數，Ｋ為系統增益，？漬1、？漬2為

令（3）=（4）得到兩條曲線，在兩條直線相交處得到同時滿足條件的？姿。

之后引入最優控制思想求取kp，ki，具體步驟

如下。

根據歐拉公式，將公式（1）、（2）轉換成如式（6）形式

由于｜Ｇ（j？棕）｜=|C（j？棕）||P（j？棕）|，又因為|P（j？棕）|是常數，頻域框架圖1中H已知也是常數，因此只需求取|C（j？棕）|最小即可，如式（8）所示。

由于求取|C（j？棕）|最小，為計算方便，打開根號不影響結果，因此將式（8）轉換成如式（9）形式：

為求取最優值，引入拉格朗日乘數方程，將多個變量的約束問題轉化為極值問題

" " " " " 。 （10）

式中：f（x，y，z）為自變量，k為拉格朗日常數，？漬（x，y，z）為約束條件。

本文的約束條件為

，。 （11）

因此將式（9）與（11）帶入式（10）求取kp，ki，如式（12）所示。

令以下偏導方程均等于0，得到：

2" 分數階PI魯棒預測控制解析整定法

Bagheri等[10]提出預測控制解析整定法，將預測控制重塑為基于零極點配置的傳遞函數模式去求解各項參數。該方法給出了Q、R矩陣的解析公式，本文保證了預測控制的魯棒性問題，提出分數階PI魯棒預測控制解析整定法。

考慮如式（14）系統[10]：

經采樣時間Ｔs離散化后得到

式中：a=e-Ts/？子；死區時間設為采樣時間的整數倍，即k=？茲/TS。將式（14）轉化成狀態空間模型如下

x（n+1）=Ax（n）+B？駐u（n）" ， （16）

ym（n）=Cx（n）。

最優控制問題表達如下

， （17）

式中：Ｎ１＝k+1，Ｎ2＝k+P，其中P是預測范圍，M是控制范圍，并且（·|n）是系統在n時刻輸出的預測值，并且對控制權重進行歸一化。將未來的輸出值表示為

y（n）＝Ｆx（n）+S？駐u（n） 。 （18）

在沒有約束的情況下，最優控制率為

式中：（n+k）是實際的輸出預測。

式中：

d（n）=yp（n）-ym（n）" 。" " " " " " （21）

式中：yp（·）是系統輸出。對式（19）進行化簡得到：

。（22）

根據式（19）（20），將最優控制率式（22）轉化成式（23）形式：

。（23）

設d（n）=0，即被控對象和系統模型輸出相同。利用（15）、（20）、（21）和（23），可得到預測控制傳遞函數為

式中：

引理：預測控制傳遞函數（24）穩定，需要滿足以下不等式[11]

通過適當地選擇增益Ｋ和Ｋ，可實現期望的閉環性能。

得到高階系統的預測控制傳遞函數為[10]

將期望傳遞函數（7）離散化并與預測控制傳遞函數（27）聯立得到：

對比分子分母各項系數即可得到預測控制傳遞函數各項參數。之后經文獻[10]方法求取Ｑ，Ｒ矩陣各項參數。

3" 仿真實驗與結果分析

考慮文獻[12]如下系統：

將式（1）、（28）帶入式（7）得到期望傳遞函數：

令期望傳遞函數各項指標為：相位交叉頻率選擇為？棕gc=10 rad/s，？棕pc=150 rad/s，相位裕度選擇為PM=50°，將以上指標帶入式（3）、（4）、（11）、（13）求解得到分數階PI控制器為

將式（30），帶入（29）得到期望傳遞函數為

經文獻[13]分數階微分算子近似法與文獻[14]最優降階法得到：

令控制時域為r=1，預測時域P=2，根據jurry穩定判據，系統穩定，選擇K=0.1，K=0.06，根據文獻[10]解得：

qp=2.5，r=0.03。

系統一階時域閉環階躍響應如圖2所示。

如圖2所示，系統響應曲線表明，本文所設計的預測控制方法可以有效保證系統的性能與抗干擾性。

圖3中所示的控制信號已經適于系統輸出設定值。

系統魯棒穩定可行域如圖4所示。

如圖4所示，該圖描繪了被控系統各個參數的穩定域取值范圍。由圖可知，當0lt;？琢lt;1魯棒性隨？琢的增加而增強。

4" 結束語

本文提出了分數階PI魯棒預測控制解析整定法，推導出預測控制傳遞函數解析表達式與分數階魯棒PI控制器解析表達式。本文方法將被控系統所需的性能指標與分數階PI控制器相乘得到期望傳遞函數，利用該期望傳遞函數求解預測控制傳遞函數所需要的各項參數。并且由于期望傳遞函數所滿足被控系統所需的各種性能指標，因此省略了預測控制所需要驗證的魯棒性問題，降低了調整參數的計算成本，并仿真驗證了該方法的可行性與有效性。

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