平面直角坐標系中的旋轉問題

在數學中，平面直角坐標系是我們描繪和理解圖形、解決幾何問題的有力工具。而點的坐標變換則是其中一個重要且有趣的概念，它為我們打開了洞察圖形變化和運動的新視角。

【問題1】在平面直角坐標系中，以原點為中心，把點A（1，4）順時針旋轉90°，得到的點A'的坐標為" " " " " " "。

看完題后，我想到可以借助幾何中的“一線三直角”模型來解決此題。解法如下：

如圖1，連接[AO]、[A'O]，過點[A]作[AB⊥y]軸于點[B]，過點[A']作[A'B'⊥y]軸于點。

[∵點A的坐標是（1，4）] ，

[∴OB=4]，[AB=1]。

[∵∠AOA'=90°]，

[∴∠AOB+∠B'OA']=[90°]。

[又∵∠B'OA']+[∠OA'B']=[90°]，

[∴∠AOB=∠OA'B']。

[在△AOB和△OA'B'中]，

[∠ABO=∠OB'A'=90°，∠AOB=∠OA'B'，AO=OA'，]

[∴△AOB≌△OA'B'AAS] 。

[∴OB'=AB=1]，[A'B']=OB=4。

[∴點A'的坐標是（4，-1）] 。

【問題2】在平面直角坐標系中，以點[M（53，2）]為中心，把點[A（-1，1）]繞點[M]逆時針旋轉[90°]，得到的點[A']的坐標為" " " " " " "。

與問題1相比，這道題旋轉中心不是原點。但我發現，作過點M且平行于x軸的直線，仍可借用“一線三直角”模型來解題。解法如下：

如圖2，連接[AM]、[A'M]，過點[M]作直線[m]∥[x]軸，過點[A]作[AB⊥]直線[m]于點[B]，過點[A']作[A'B'⊥]直線[m]于點[B']。

[∵點A和點M的坐標分別是]（-1，1）、[（53，2）] ，

[∴MB=83]，[AB=1]。

[∵∠AMA'=90°]，

[∴∠A'MB'+∠AMB=90°]。

[又∵∠AMB+∠BAM=90°]，

[∴∠A'MB'=∠BAM]。

[在△AMB和△MA'B'中]，

[∠ABM=∠MB'A'=90°，∠BAM=∠B'MA'，AM=MA'，]

[∴△AMB≌△MA'B'AAS]。

[∴MB'=AB=1，A'B'=MB=83]，

[∴點A'的坐標是83，-23] 。

通過探究以上兩個問題，我發現可以運用“一線三直角”模型解決圖形變換中的點的坐標問題。如果旋轉角度變為其他特殊角度，還能運用這種方法嗎？

【問題3】在平面直角坐標系中，連接點[M（3，-1）]和點[A（2，1）]，以點[M]為中心，將線段[AM]繞點[M]逆時針旋轉[45°]得到的線段[A'M]所在直線的表達式為" " " " " " "。

通過作輔助線，構造等腰直角三角形，依然通過“一線三直角”模型來解題。解法如下：

如圖3，連接AM、[A'M]，過點[A]作[AN⊥A'M]于點[N]，過點[N]作直線[n]∥y軸，過點[A]作[AB⊥]直線[n]于點[B]，過點[M]作[MB'⊥]直線[n]于點[B']。

設[AB=x]，[BN=y]。

[∵∠ANM=90°，∠AMN=45°]，

[∴△ANM是等腰直角三角形]。

[∴AN=NM]。

[∵∠ANM=90°]，

[∴∠ANB+∠B'NM=90°]。

[又∵∠BAN+∠ANB=90°]，

[∴∠B'NM=∠BAN]。

[在△BAN和△B'NM中]，

[∠ABN=∠NB'M=90°，∠BAN=∠B'NM，AN=NM，]

[∴△BAN≌△B'NMAAS]。

[∴NB'=AB=x，B'M=BN=y]。

可列出方程組[y-x=1，x+y=2。]

解得[x=12，y=32。]

[∴點N的坐標是][32，-12]。

設直線[A'M]的表達式為[y=kx+bk≠0]。

將點[N] [32，-12]、點[M（3，1）]的坐標代入上式，得方程組

[32k+b=-12，3k+b=-1。]

解得[k=-13b=0。]，

[∴直線A'M的表達式是y=-13x]。

通過這次探究，在一次次解決圖形變換（旋轉）的點的坐標問題中，我逐漸深入地掌握并領悟了“一線三直角”模型，期待以后能有更多新的發現。

教師點評

小作者在初步了解平面直角坐標系后，將其中的點變換問題和幾何模型“一線三直角”結合。隨著問題的深入，他逐漸熟練運用幾何模型及方程組求解線段長度，從而對平面直角坐標系中的旋轉問題形成了自己的感悟。這些思考為他打開了解析幾何的大門，也為今后理解和研究函數提供了支撐。

（指導教師：張琬婧）