類比分析，感悟從特殊到一般

數學課上，老師和我們一起探究了正比例函數y=kx與一次函數y=kx+b （k、b為常數，且k≠0）圖象之間的關系：一般地，正比例函數y=kx的圖象是一條直線；一次函數y=kx+b 的圖象可以由正比例函數y=kx的圖象向上（b＞0）或向下（b＜0）平移[b]個單位長度得到。

課后，我找到了用幾何證明來說明其中道理的方法。下面，我以正比例函數y=2x的圖象平移為例。

如圖1，取函數y=2x圖象上的一點A（x，4），則2x=4，x=2，即A（2，4）。過點A作x軸的垂線，垂足為B，則OB=2，AB=4。

設該直線沿y軸向上平移4個單位后的直線分別交x軸和y軸于點D和點C，則OC=BA=4。∵OA∥CD，∴∠AOB=∠CDO。又∵∠COD=∠ABO，∴△CDO ≌△AOB（AAS）。∴DO=OB=2，即C（0，4），D（-2，0）。

設平移后的直線函數表達式為y=kx+b，則[b=4，-2k+b=0。]解得[k=2，b=4。]所以平移后的直線函數表達式為y=2x+4。

從結果中我們不難發現，自變量的系數k沒有變化，只有常數項b的值在發生變化。

于是我想到對于正比例函數y=kx的圖象，沿y軸平移是否也可以用類似的方法進行研究。

如圖2，取函數y=kx圖象上的一點A（x，b），則kx=b，x=[bk]，即A（[bk]，b）。過點A作x軸的垂線，垂足為B，則OB= [bk]，AB=b。

設該直線沿y軸向上平移b（bgt;0）個單位后的直線分別交x軸和y軸于點D和點C，同理可證△CDO≌△AOB（AAS）。∴DO=OB=[bk]，即C（0，b），D（[-bk]，0）。

設平移后的直線函數表達式為y=mx+n，

則[n=b，-bkm+n=0。]解得[m=k，n=b。]所以平移后的直線函數表達式為y=kx+b。

原來，數學結論的背后有著嚴格的推理與證明。如果將正比例函數y=kx的圖象沿x軸向左平移b（b＞0）個單位后，它的函數表達式又是什么呢？

我仍然從特例出發，以正比例函數y=2x的圖象沿x軸向左平移2個單位為例。

如圖1，取該正比例函數y=2x的圖象上的一點A（2，y），則y=4，即A（2，4）。過點A作x軸的垂線，垂足為B，則OB=2，AB=4。

設該直線沿x軸向左平移2個單位后的直線分別交x軸和y軸于點D和點C，則OD=2。∵OA∥DC，∴∠AOB=∠CDO。又∵∠COD=∠ABO，OD=BO，∴△CDO≌△AOB（ASA）。∴CO=AB=4，即C（0，4），D（-2，0）。

設該函數圖象平移后的直線表示的函數表達式為y=kx+b，

則[b=4，-2k+b=0。]解得[k=2，b=4。]所以平移后的直線函數表達式為y=2x+4，即y=2（x+2）。

同樣，類比上面的思路將其一般化，將正比例函數y=kx的圖象沿x軸向左平移b（b＞0）個單位后的函數表達式是y=k（x+b）。

教師點評

小作者在探究數學知識的過程中，能夠打破砂鍋問到底，應用類比的方法，經歷從特殊到一般的探索過程，并應用歸納、猜想、驗證的思維策略，從而實現對問題有深度的思考。

（指導教師：張小扣）