基于SM2和DNA的圖像加密算法

摘 要：近年來，隨著互聯網的全面普及，公民對信息安全和隱私保護提出了新的更高的要求，為了保護公民的數據安全，并且滿足“打贏新時代網絡戰爭”的要求，對圖像加密算法的研究與實現進行深入的研究，提出了一種基于國密SM2數字信封和脫氧核糖核酸（Deoxyribonucleic acid，DNA）編碼的圖像加密技術，將圖像編碼技術、公鑰技術、口令保護技術相結合.在該算法中，通過使用Python重點實現了密鑰空間的復雜性、圖像的魯棒性、隨機性、低相關性，同時對圖像的直方圖進行了分析，研究結果表明，在實現公鑰加密算法國產化替代的同時，增強了加密的安全性.

關鍵詞：SM2數字信封； Chen 超混沌； Logistic混沌； 魯棒性； 脫氧核糖核酸（DNA）

中圖分類號：TP309

文獻標志碼： A

The image encryption algorithm based on SM2 and DNA

TANG Yi-xin， ZHANG Ying-nan*

（College of Cryptography Engineering， Key Laboratory of Cryptography and Information Security of People Army Police， University of People Army Police， Xi′an 710016， China

）

Abstract：In recent years，with the comprehensive popularization of the Internet，citizens have put forward new and higher requirements for information security and privacy protection.In order to keep the information secure，we are based on the requirements of \"winning the network war in the new era\" and carry out in-depth research on the research and realization of image encryption algorithms.We propose an image encryption technology based on the China secret SM2 digital envelopes and DNA encoding，combining image encoding technology，public key technology，and password protection technology.In this algorithm，the focus is on realizing the complexity of the key space，robustness，randomness，and low correlation of the image using Python.The histogram of the image is analyzed，and the research results have enhanced encryption security while achieving the replacement of public key by Chinese algorithm.

Key words：SM2 digital envelope; Chen hyperchaos; Logistic chaos; robustness; deoxyribonucleic Acid （DNA）

0 引言

近年來，人民群眾對網絡安全的要求愈來愈高，黨的二十大報告中提出：要“健全網絡綜合治理體系，推動形成良好網絡生態”.為了達到這一目標，就必須使用密碼學的相關理論，密碼學是一門綜合性極強的學科，涉及到計算機科學、數學、通信工程、電子技術、量子物理學等諸多學科.古典的密碼學只是對文字、數字作簡單的變換，比如單表代換密碼中非常有名的愷撒密碼.經典的密碼學分為對稱密碼體制和公鑰密碼體制，無一例外，都是針對二進制數據流的運算，而圖像的信息數據量相對傳統數據流信息來說更大，信息更加冗余.在圖像傳輸過程中，圖像信息非常容易被非法竄改、通過惡意復制和傳播等方式進行破壞，這就需要可靠實用的圖像加密技術來確保數字圖像的安全傳遞與儲存.

一些傳統的加密算法，例如RSA［1］，主要的處理對象是文本和數據的形式，并不適用于圖像加密，且密碼算法來自外國，算法在保證同等安全性的情況下，密鑰量遠遠超過國密算法SM2［2］.傳統的增強型雙隨機相位編碼技術忽略了圖像中R、G、B通道之間的相關性，當像素獨立加密三次后會降低安全性［3］.劉海峰等［4］利用多種混沌系統設計了圖像加密方案，取得了比較好的效果.

近年來，出現了一些利用生物技術進行編碼的方式，DNA編碼就是其中一種，這種方法利用堿基對互補配對的規則進行編碼，施飛等［5］提出了基于混沌映射的DNA序列加密算法.Hu等［6］提出了一種基于時空混沌系統和DNA插入刪除的圖像加密算法.DNA計算總體上具有高度并行性、海量存儲能力、極低能耗等特點［7］，在信息安全領域有以下具體優勢：（1）極高的信息密度：DNA分子具有極高的信息存儲密度，可以在微小的空間內存儲大量信息，適合用于加密和存儲大容量數據；（2）生物特性：DNA是生物體內的基本遺傳物質，具有生物特性，不易被仿制或竊取，增加了信息的安全性；（3）耐久性：DNA分子具有較長的壽命，能夠長期保存信息而不受損壞，適合用于長期數據存儲和傳輸；（4）隱蔽性：將信息編碼到DNA序列中可以實現信息的隱蔽傳輸，不易被檢測到或攔截，提高了信息安全性；（5）抗干擾能力：DNA分子具有較強的抗干擾能力，能夠在惡劣環境下保持信息完整性，適合用于特殊環境下的信息傳輸和存儲.

混沌現象是普遍存在于自然界中一種看似無序實則有自己運行規律的復雜的運動形式，如氣候變化、股市變化.每個混沌系統的數學表達式都是獨一無二的［8］.混沌系統具有對初始條件和系統參數高度敏感、偽隨機性、遍歷性等優良特性，非常適合應用于數字圖像加密，國內外許多學者都使用了混沌系統來對圖像進行加密［9］.Niyat等［10］通過高維的混沌來增強加密的安全性，取得了較為理想的效果，但是同時增大了對硬件負擔，在此基礎上，Hua等［11］通過Logistic映射與Sine映射構造了綜合性能良好的LASM映射.

在公鑰技術方面，1978年Adleman等［1］提出了RSA公鑰加密技術，成為應用廣泛的公鑰技術.1987年，Karp等［12］提出了一種改進的RSA算法，稱為Rabin算法.2010年，國家密碼管理局發布了橢圓曲線公鑰密碼算法SM2，在我國的商用密碼體系中被用來替換RSA算法.其具有密碼復雜度高、處理速度快、機器性能消耗小的特點.

1 混沌系統與DNA編碼運算

1.1 Logistic 映射

Logistic映射又被稱為單峰映象［13］，后來，數學家們對 Logistic 映射進行了深入細致的研究后發現，它完美地繼承了混沌內在無法預測性、初值敏感性的優點，是目前應用最廣泛的一類非線性動力學離散混沌映射系統［14］.Logistic 映射在數學的定義上來說，是一種一維迭代函數，方程為：

Xn+1=UXn（1-Xn）

（1）

當3.569 9lt;Ult;4時，此時的系統正于混沌狀態下，可以產生優質的偽隨機序列.

1.2 Chen 超混沌系統

Chen超混沌系統［15］是一種經典的混沌動力學系統，方程為：

x=a（y-x）

y=-xz+bx+cy

z=xy-dz

q=yz+eq

（2）

式（2）中：x、y、z和q為混沌系統的狀態變量;而a、b、c、d 和 e 是混沌系統控制參數.當a取35，b取7，c取12，d取3，e取0.086時，經過相應的計算可以得出此超混沌系統具有兩個正的 Lyapunov 指數.在這種條件下，滿足超混沌運動的定義，說明此時的系統處于超混沌狀態.

1.3 DNA編碼運算

通過生物學知識可以知道，DNA是一種高分子化合物，其結構是雙鏈型，基本組成單位為4種不同的脫氧核苷酸：腺嘌呤、胞嘧啶、鳥嘌呤和胸腺嘧啶，分別用A、C、G、T進行表示.其中，腺嘌呤和胸腺嘧啶、胞嘧啶和鳥嘌呤之間存在堿基互補配對原則，即A—T配對，C—G配對.對于一幅真彩色圖像，可以分解為B、R、G三個通道，每一個通道就是一個灰度圖像，灰度圖像的每一個像素可以用8位二進制數表示，二進制數中，0和1互補配對，所以00和11、01和10之間也是互補配對的.因此，如果用四個脫氧核苷酸A、T、C和G分別表示二進制數00、11、01和10，則每一個像素值就可以用長度為4的DNA序列來表示.根據堿基互補配對規則，編碼規則分為8種，具體如表 1所示.算法中所用到的DNA運算方式包含：加法運算、減法運算、異或運算和同或運算，如表2所示.

2 SM2與數字信封

2.1 SM2公鑰加密

SM2是中國密碼學算法標準中的一種非對稱加密算法，它是由國家密碼管理局（中國密碼局）發布的一種橢圓曲線公鑰密碼算法.SM2基于橢圓曲線離散對數問題，其安全強度比RSA 2048位高，運算速度快于RSA.隨著密碼技術和計算技術的發展，目前常用的1 024位RSA算法面臨嚴重的安全威脅，我國的國家密碼管理部門經過研究，決定采用SM2橢圓曲線算法用來代替RSA算法.經過計算證明，SM2算法在安全性、性能上都具有優勢.

2.2 數字信封

數字信封是公鑰密碼的具體應用，只允許特定的人閱讀信件中的內容.加密者通常使用對稱密鑰對原文信息進行加密，在此過程中產生了一個問題：對稱密鑰的安全性如何保證？于是，加密者使用接收方的公鑰對對稱密鑰進行加密，將加密后的密文、密鑰一同發給接收方.接收方收到信件后，用自己的私鑰解密，得到明文，這個明文也就是對稱加密時所用的密鑰，而后就用這個密鑰對被加密的消息再次進行解密，這樣就實現了消息的安全傳遞.

在對稱密碼與公鑰密碼中，對稱密碼在加密時加密速度快，加密實現簡單.公鑰密碼加密可靠牢固，對于數字簽名的實現更加容易，但是加密速度慢.這兩種加密方式的結合，可以快速安全地對信息進行加密傳輸，對稱密鑰的密鑰長度通常比信息文短，利用公鑰對對稱密鑰加密實現了數字信封.

3 基于SM2和DNA的圖像加密算法

提出了一種新型的圖像加密算法，其算法流程如圖1所示.對于一幅RGB真彩色圖像，圖像由紅、綠、藍三通道組成，每一個通道有8位的深度，十進制表示是0～255，所以一幅真彩色圖像可以在計算機中表示為三個二維矩陣，通過DNA編碼運算系統對圖像進行加密后，而后進行抗裁剪等處理，增強圖像的魯棒性，最后將三個矩陣重新合成，得到加密后的真彩色圖像.

具體加密步驟如下：

步驟1

通過opencv中的函數將圖像讀入.對于一幅圖像，它的圖像大小并不固定，但是為了方便編碼運算，算法需要對圖像進行分塊，在這個過程中，會導致在圖像的邊緣出現分塊的不完整，這時可以創建一個初值全為0的二維數組，這個數組的大小取決圖像分塊后，塊數每塊的像素完整值相乘，相當于將圖像分塊內的邊緣像素（包括原始圖像不存在的部分）全部設置為0，而后，把這個二維初始數組賦上讀入的原始圖像的像素灰度值.這樣，數組不僅有原始圖像的信息，圖像的邊緣部分也有了值.另外，在實現一些置亂算法，例如阿諾德變換時，需要圖像的尺寸是相等的長寬，這時從兼容性的角度來看，需要填充滿足變換算法的要求.

步驟2

口令輸入.口令是最常用的安全工具之一，很多時候，日常生活中所說的“密碼”其實就是指的口令.口令方便快捷，但是容易遭受到社會工程學攻擊和爆破攻擊.口令作為加密程序的一部分，是安全性的第一道防線.輸入口令kl1后，對其進行處理.

kl2=kl1mod3 999

（3）

kl3=kl2÷10 000

（4）

通過模運算提高輸入長度的自由度，同時保證kl3的值在0.000 0到0.399 8之間.

步驟3

產生Logistic混沌序列.將參數代入遞歸運算表達式，進行混沌序列的產生，參數和初值的公式如式（5）～（7）所示.

u=3.6+kl3

（5）

x0=sum（p1）+sum（p2）SUM*255*2

（6）

pi+1=upi（1-pi）

（7）

式（5）～（7）中：P1、P2和SUM分別是圖像第一分塊、第二分塊的像素值之和以及總的像素數量.

為了保證良好的隨機性，去除序列的前1 000項，這一過程稱為對序列引擎的預熱，最后將序列p變換到0～255范圍內整數，轉換成M*N的二維矩陣

步驟4

求解Chen超混沌系統.Chen超混沌系統的實現略顯復雜，因為系統的初值多，需要進行的計算比Logistic混沌系統的多，時空開銷更大.Chen超混沌系統的計算本質是求微分方程的解，去除前3 000項，得到隨機性更好的Chen超混沌序列.系統初值如式（8）所示.

X0=sum（sum（P1amp;17））/（17SUM）

Y0=sum（sum（P2amp;34））/（34SUM）

Z0=sum（sum（P1amp;68））/（68SUM）

H0=sum（sum（P2amp;136））/（136SUM）

（8）

通過對微分方程的求解可以得到X，Y，Z，H四個混沌序列.

步驟5

DNA編碼運算.利用前面產生的混沌序列控制DNA的編碼運算方式.以藍色通道以例，Z［0］隨機序列決定了運算方式，0表示加、1表示減、2表示異或、3表示同或，運算的主體是編碼后的矩陣與第一大塊的矩陣，這么做的目的是通過與自己的動態運算對算法的安全性和敏感性進一步提升.運算完成后，得到三個新的矩陣Q_last_B、Q_last_G、Q_last_R.對編碼運算好的新矩陣進行解碼操作，通過判斷堿基對的組成來還原成十進制數，解碼所用到的混沌序列同編碼時所用的混沌序列不一樣，提高了加密算法的安全性.

步驟6

抗裁剪處理.通過上述的編碼解碼運算處理，雖然加密圖像的相關性和魯棒性有了很大的提高，但是在面對一些信道中出現的能量損失和干擾的時候，還是會在解密的圖像中出現很大的噪點，為了把圖像的加密性能進一步提升，還需要利用Logistic混沌的方法降低像素之間的相關性.計算出原始圖像綠、藍色通道的灰度平均值記為xx0和xx1，作為混沌的初值迭代計算得到ppx和ppy序列，利用其對圖像進行置亂.

步驟7

生成對稱密鑰.數字信封的定義里，對稱密鑰負責對明信息文進行加密，由于通過了多種方式提高了加密過程的隨機性，這些方式通過初值的迭代產生，初值又通過原始圖像的像素信息產生，這些具有初值敏感性的迭代算法保護著加密過程，對于很小的變換，圖像都無法完成正確的加解密的過程，算法將這些初值和口令系統的口令作為對稱密鑰存入數組：

TheKey=［kl1，xx0，xx1，x0，X0，Y0，Z0，H0］

（9）

步驟8

數字信封的生成與拆封.算法利用了SM2的公鑰，對步驟7中生成的對稱密鑰數組TheKey進行加密，這樣就得到了一封數字信封.在解密時利用私鑰對信封解密，提取出對稱密鑰，再對圖像進行解密，這樣就完成了整個加解密過程.

4 加密算法實現與安全分析

4.1 算法實現結果

實驗所用到的環境配置為：Intel（R） Core i7-9750H 2.60GHz CPU，GTX 1650 GPU，16GB DDR4 RAM，專業版Pycharm搭配python3.11的筆記本計算機，使用Gmssl和opencv作為主要算法庫.

4.2 算法安全性分析

4.2.1 密鑰空間分析

64位計算機的運算精度為10-15［16］，從而可以得出本算法中的各種參數構成的密鑰空間.經過計算，密鑰空間至少有1080≈2266，能抵抗窮舉攻擊的破譯.

4.2.2 加解密結果

在驗證過程中，選用大小為500×651的彩色圖像“girl”，如圖2（a）～（c）所示，經過算法加解密后的圖像能夠進行可逆運算.

4.2.3 初值敏感性測試與分析

為了測試密鑰的初值敏感性，在代碼運行時，通過Debug強制改變初值，使得初值存在Δ=10-15的誤差，測試過程中，使用口令為“10180205”.正確的解密圖像如圖3（a）所示，與原圖一致，提取信息完整.當改變編碼初值X0、Y0，運算初值Z0和解碼初值H0后，得到的圖像如圖3（b）～（e）所示.當改變初值μ時，如圖3（f）所示，無法解析出原始信息.因此，算法具有很強的初值敏感性.

為了得到圖像對混沌序列的初值敏感性，通過DeBug對Logistic混沌序列的初值μ加上Δ=10-15，通過像素數變化率（Number of Pixels Change Rate，NPCR）和統一平均變化強度（The UnifiedAverage Changing Intensity，UACI）這兩個指標對兩張圖像的差異進行對比.NPCR的百分率表示了兩張加密圖像之間的變化像素數，而UACI的百分率的值表示的是兩張加密圖像之間的平均變化強度數.NPCR和UACI的計算公式如式（10）和式（12）所示：

NPCR=∑i，jD（i，j）M*N*100%

（10）

D（i，j）=f（x）=1，C1（i，j）≠C2（i，j）

0，others

（11）

UACI=1M*N∑（C1（i，j）-C2（i，j））255*100%

（12）

式（12）中：C1（i，j）為原加密圖像的像素值，C2（i，j）為新加密圖像的像素值.得出數據如表3和表4所示.

下面再選取三張圖像對混沌序列的初值敏感性測試，同上，通過DeBug對Logistic混沌序列的初值μ加上Δ=10-15，明文圖像、原加密圖像和變換后加密圖像如圖4所示.

4.2.4 直方圖分析

直方圖是對圖像的一種統計學分析依據，測試得出的圖像信息直觀地反應了統計學特征，如果加密時使用的變換方法過于簡單，則根據明文圖像和密文圖像之間的變換規律得到密鑰.為了抵御統計攻擊，加密后的直方圖必須沒有統計規律.

以圖5（a）和圖5（b）為例，圖5（a）所示的明文直方圖的紅色像素值集中在225，綠色像素值在20、95、115、145和200處出現峰值，而藍色通道集中在100附近，圖像整體的像素值分布在100附近.對比圖5（b）加密后的圖像， R、G、B三通道的像素值在0～255間均勻分布，因此，該算法具有極好的抗統計分析能力，同時表現出密文圖像的直方圖方差小，像素分布均勻，這樣的加密算法在統計意義上安全.

4.2.5 像素相關性分析

通常，一幅帶有一定信息的圖像像素之間存在很強的相關性，可以通過相鄰像素的一些特性推斷出該像素的信息，從而實現對加密信息的破譯，復原出明文圖像，為了降低這種攻擊方法的成功性，需要降低像素之間的相關性，可以用式（13）～（16）計算出圖像像素的相關性.

Rxy=cov（x，y）D（x）D（y）

（13）

E（x）=1N∑Ni=1xi

（14）

D（x）=1N∑Ni=1（xi-E（x））2

（15）

cov（x，y）=1N∑Ni=1（xi-E（x））（yi-E（y））

（16）

式（13）～（16）中：y、yi分別是x、xi的相鄰像素， Rxy是這兩個像素的相關系數，E（x）表示均值、cov（x，y）表示x與y的協方差，D（x）為方差，N為像素的總數.明文圖像像素相關性強，其相關系數也就趨于1，而加密效果好的圖像其相關性也就趨于0.測試結果如圖6所示.實驗結果表明，經過該算法加密后的圖像，像素之間的相關性低，各個通道的離散程度大.明文圖像在各個通道的所有方向上相關性水平都非常接近于1，密文圖像的相關性接近于0.兩種數據的呈現方式都表明，該算法破壞了圖像的相關性，打亂了圖像的規律，對統計攻擊具有防護效果.

4.2.6 阻塞攻擊

圖像在信道中傳輸的時候，信道中會存在能量損失，在遇到干擾時也會損失部分像素，好的算法在面對阻塞攻擊時，能夠最大化地擴散這種能量的損失.為了模擬這種情況，在仿真實驗時，將加密后圖像的紅色通道挖去一塊80×80的像素塊，綠色通道挖去一塊50×80的像素塊，再將所有通道挖去一塊60×50的像素塊，而后對挖去像素塊的密文圖像進行解密，觀察解密后圖像效果如圖7所示.

經過阻塞攻擊后的密文圖像在解密后，損失的像素均勻分在在圖像上，對圖像整體的信息提取沒有造成影響，圖像依然能夠讀出原始信息.所以，本加密算法可以抵抗阻塞攻擊.

5 結論

本文提出了一種基于國密SM2和DNA編碼運算的新型圖像加密算法.在整個算法里，對于偽隨機序列的生成使用了Logistic混沌序列和Chen氏超混沌系統，產生的混沌序列用于控制DNA的編碼規則以及運算規則，融合了口令加密，對稱密鑰通過圖像生成，經過SM2公鑰加密產生數字信封，在保證密鑰安全的前提下，加大了加密效率.在測試時，對密鑰空間、初值敏感性、像素相關性、NPCR，UAIC、直方圖和魯棒性進行了分析.

結果表明，算法具有較大的密鑰空間，對初值的高度敏感性可以防止敵手的惡意攻擊.良好的直方圖特性和像素之間的線性無關性表明算法對于圖像的置亂效果好，能抵抗統計學攻擊.接

近理想值的NPCR值和UAIC值表明算法可抵抗差分攻擊，綜上結果說明算法可以適用于彩色圖像的加密.在實際應用場景中，還可以配以AES加密，并適當增長密鑰長度［21］.算法在實現時也存在一些還有待提高的方面.一是對硬件的要求還不夠低，算法的計算量較大，如果將系統部署在性能較低的辦公設備上，算法就不太適合.二是算法隨機性還可以改進，混沌序列終究只是偽隨機序列，期望能找到真隨機序列對算法進行控制.在未來的研究學習中，會將圖像加密技術與密文域可逆信息隱藏技術結合起來，增強加密技術與隱蔽通信技術的融合發展，為我國的信息戰、網絡戰作出貢獻.

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【責任編輯：蔣亞儒】