奇數和偶數的性質

我們知道，凡是2的倍數的整數都叫作“偶數”，不是2的倍數的整數叫作“奇數”，任何偶數都可以表示成2n（這里n為整數）的形式，任何奇數都可以表示成2n+1的形式。奇數和偶數里蘊含著許多十分簡單又明顯的性質，我們可以通過舉例、歸納發現這些規律，也可以通過推理來證明這些規律。

性質1：奇數±奇數=偶數，偶數±偶數=偶數，奇數±偶數=奇數。如5+3=8，5-3=2；6+4=10，6-4=2；5+2=7，5-2=3等都說明上面的規律是成立的。又因為奇數表示為2n+1的形式，偶數表示為2n的形式，奇數+奇數=（2a+1）+（2b+1）=2（a+ b+1），2（a+b+1）是2倍數，所以結果一定是偶數；偶數+偶數=2a+2b=2（a+b），2（a+b）是2的倍數，所以偶數+偶數的結果一定是偶數；奇數+偶數=（2b+1）+2a=2（a+b）+1，因為2（a+b）+1一定是奇數，所以奇數+偶數的結果一定是奇數。

性質2：奇數×奇數=奇數，奇數×偶數=偶數，偶數×偶數=偶數。如3×5=15，3×12=36，10×10=100等都說明上面的規律是成立的。因為奇數×奇數=（2a+1）×（2b+1）=4ab+2a+2b+1=2（2ab+a+b）+1，結果是奇數的形式，所以奇數×奇數的積為奇數；奇數×偶數=（2b+1）×2a=4ab+2a=2（2ab+a），結果是偶數的形式，所以奇數×偶數的積一定是偶數；偶數×偶數=2a×2b=4ab，結果也一定是偶數。

性質3：奇數個奇數之和是奇數，偶數個奇數之和是偶數，任意有限偶數個偶數之和是偶數。如：3+5+7+9+1=25，5個奇數相加的和是奇數；3+ 5+7+9+1+11=36，6個奇數相加的和是偶數；6+8+10+12+2=38，2+4+6+8= 20，5個偶數相加、4個偶數相加的和都是偶數，說明上面的規律是成立的。又如，三個奇數相加，奇數+奇數+奇數=2a+1+2b+1+2c+1=2（a+b+c+1）+1，結果是奇數形式，所以奇數個奇數相加的和是奇數。同樣偶數個奇數相加與偶數個偶數相加的和都能寫成偶數形式，所以它們的結果一定是偶數。

性質4：任意有限個奇數相乘的積是奇數，偶數與任意整數的乘積都是偶數。如1×3×5=15，3×5×9=135，2×1×5×4×8=320，說明上面的規律是成立的。

還有奇數（除了1以外）的平方除以4余數是1，偶數（除了0以外）的平方是4的倍數。如果若干個整數的乘積是奇數，則其中每一個整數都是奇數；如果若干個整數的積是偶數，則其中至少有一個乘數是偶數。你還能用別的方法試著去驗證這些規律嗎？