基于模型預測控制的水浴鍋溫度控制策略

摘 要 針對水浴鍋加熱具有的復雜時間特性、控制物料溫度難度大、部分物料達到穩定溫度需要較長時間的問題，提出基于物理模型的模型預測控制策略，首先建立系統模型，考慮系統的加熱功率，通過加權操作調整輸出功率，動態控制系統；然后通過監測物料溫度與設定溫度的偏差，調整加熱管功率的增量，迅速改變加熱功率，從而縮短達到設定溫度所需的時間。仿真結果顯示：該策略能夠有效跟蹤設定溫度，提升水浴鍋加熱效率，降低能源消耗，增強加熱過程的穩定性和可控性。

關鍵詞 模型預測控制策略 水浴鍋 物理模型 約束處理 溫度控制 加權 加熱管功率

中圖分類號 TP273"" 文獻標志碼 A"" 文章編號 1000 3932（2025）01 0010 07

水浴鍋廣泛應用于化學、生物、醫藥等相關實驗和生產工藝，工作原理是通過加熱水提供恒溫環境，執行加熱、恒溫反應、樣品處理等。在化學實驗室中，水浴鍋常用于進行化學反應、溶解、加熱微量試樣等，以確保反應的可控性和穩定性，對于合成、催化、萃取等研究至關重要。在藥物研發和制藥生產過程中，水浴鍋也被廣泛應用于溶解、混合、濃縮、蒸發等工序，以保證藥物制備過程的安全性和有效性。

溫控領域學者們提出了多種控制策略，文獻［1］采用PID策略控制密煉機的加熱過程，方法簡單易實現、適用范圍廣且穩定性好，但存在對系統動態特性要求較高、需手動調整參數的缺點；文獻［2］采用變論域模糊控制方法控制西瓜溫室監測系統，能夠處理非線性系統，具有較強的魯棒性，但是存在模糊規則設計困難、控制器參數調整復雜等問題；文獻［3］采用反向傳播神經網絡PID控制策略控制高功率微波爐溫度，神經網絡控制算法能夠逼近任意非線性函數，學習能力強，但訓練時間長、數據需求量大；文獻［4］將遺傳算法進行改進，應用于鍋爐溫度控制領域，算法具有全局搜索能力強、適用于多變量非線性系統的優點，但收斂速度慢、計算量大；文獻［5］將自適應控制應用于高壓釜溫度控制中，自適應控制策略對系統參數變化具有較好的適應性且穩定性好，但對系統模型精度要求高、參數收斂速度慢。

目前，水浴鍋加熱過程的溫度控制仍然廣泛采用傳統PID控制方法，隨著操作條件和負荷的變化，PID參數需要重新整定，否則控制效率將會降低，而且傳統PID技術無法充分考慮材料溫度、加熱功率等變量約束問題。因此，設計一種能夠更多考慮變量約束的優化控制方法解決水浴鍋加熱過程的約束處理問題具有重要意義。模型預測控制（MPC）是一種有效的解決方案，能夠周期性地解決當前時間范圍內的優化問題，考慮約束條件，并以此來控制系統，從而提高控制效率和性能。MPC是一種滾動優化控制策略，通過周期性地解決當前時間范圍內的性能指標優化問題實現控制。MPC的基本思想是利用當前時刻系統的狀態和約束條件，對未來一段時間的狀態、輸入變量進行預測，并求解出一組最優控制輸入序列，隨后選取最優控制序列中的第1組結果，應用于系統，在下一個時刻，重復同樣的操作，得到最新的最優控制序列，直到系統達到期望狀態。這使得其在處理加熱功率存在約束的溫度控制問題時具有傳統PID控制技術所不具備的優勢。常用于模型預測控制的模型主要有過程機理模型和非參數化輸入輸出模型。非參數化輸入輸出模型是通過周期性測量系統對階躍輸入的響應值來獲取參數的，從而建立動態矩陣模型。在線性系統中，可以利用疊加定理來使用單個模型較好地描述整個系統。然而，在非線性系統中，疊加定理不適用。基于水浴鍋加熱特性以及模型預測控制對約束問題的優勢，筆者提出一種適用于水浴鍋加熱過程的基于物理建模的模型預測控制策略。

1 系統建模

水浴鍋的加熱模型為：

c ρv=W+cρv（T-T）+U（T-T）+U（T-T）

W=Ku（1）

式中 c——水的比熱容，J/（kg·m3）；

K——系統增益常數；

T——外鍋中的最終水溫，℃；

T——流入電熱管水的溫度，℃；

T——鋁鍋的表面溫度，℃；

T——環境溫度，℃；

u——系統的輸入功率，W；

U——鋁的熱導率，W/℃；

U——空氣的熱導率，W/℃；

v——水的體積，m3；

W——電熱管產生的熱量，W；

ρ——水的密度，kg/m3。

對式（1）進行Laplace變換：

c ρv［sT（s）-T］=Ku（s）+c ρv［T（s）-T（s）］+U·

［T（s）-T（s）］+U［T（s）-T（s）］（2）

式中 s——Laplace變換的復數頻率變量；

T——T在系統運行時間t=0時水的溫度，℃；

u（s）——控制輸入在Laplace變換域中的表示。

設T=T=T，則有：

c ρv［sT（s）-T］=Ku（s）+（c ρv+U+U）·

［T（s）-T（s）］（3）

求解T：

T=au（s）+bT（s）+cT（4）

U=U+U

a=

b=

c=

引入時間延遲，則有：

T（t）=T（t-τ）（5）

其中，τ是時間常數，表示系統響應的延遲特性。

對式（5）進行Laplace變換：

T（s）=Te（6）

其中，K為系統的熱傳遞系數；W為系統傳遞路徑的熱阻。

將式（4）代入式（6）中變換為：

"" =e（7）

設α=，β=，ε=，可得傳遞函數H（s）：

H（s）=e（8）

根據熱力學公式在Simulink中對水浴鍋模型物理建模如圖1所示，溫度輸入從Oil storage tank的A端進入，從T端進行溫度測量。

加熱管的能量守恒方程為：

V=Q++（9）

其中，V為管道流體體積；ρ為管內液體密度；u′為內部能量密度；t為時間；Q是通過管道內壁的熱流率；和是通過A端、B端進入管道的總能量流率。

管道內壁熱流率計算式為：

Q=Q+（T-T）（10）

Q=||·c（11）

其中，Q是凈熱流率；Q是在非零流速下歸因于對流的熱流率的一部分；k是管內熱液的導熱系數；S是管壁的表面積，即管道周長與管道長度的乘積；D是管道直徑；T是管壁溫度；T為管內液體的溫度；為從端口A到端口B的平均流量；c為在平均溫度下計算的比熱容。

2 MPC控制器設計

MPC是一種基于模型的控制技術，使用過程模型，通過最小化成本函數來優化控制向量，而不違反輸入或輸出約束，其基本結構如圖2所示。

優化器是一種數學函數，在約束下通過最小化成本函數來優化控制信號。在系統模型中呈現溫度方面的輸出或過去的輸入以獲得預測輸出。預測輸出和參考值間的差異以誤差形式發送到優化器，優化未來輸入，并且該過程保持連續。

MPC控制中的滾動優化如圖3所示，系統從k時刻開始，初始狀態x［k］，滾動優化控制會通過求解預測區間的最優化問題（令N=5時性能指標最小）計算出最優控制序列u［k|k］，u［k+1|k］，

u［k+2|k］，u［k+3|k］，u［k+4|k］。同時，根據系統模型預測出系統在這樣的控制序列下狀態值的變化

x［k+1|k］，x［k+2|k］，x［k+3|k］，x［k+4|k］，x［k+5|k］。在完成控制量的計算和模型預測后，只對系統施加u［k|k］，而舍去其余控制序列。

在k+1時刻，系統將重復k時刻的操作，如圖4所示。此時的系統狀態在u［k|k］的作用下達到了

x［k+1］，x［k+1］將作為k+1時刻的初始狀態。預測區間將向前移動一個離散步長，計算出最優控制序列u［k+1|k+1］，u［k+2|k+1］，u［k+3|k+1］，

u［k+4|k+1］，u［k+5|k+1］，并預測系統在這樣的控制序列下狀態值的變化x［k+2|k+1］，x［k+3|k+1］，x［k+4|k+1］，x［k+5|k+1］，x［k+6|k+1］。同樣，在k+1時刻只對系統施加u［k+1|k+1］這一項輸入。重復操作，預測控制隨著時間的前進不斷反復在線運行，在每一個新時刻都需計算與分析預測區間內發生的情況。在每一次優化開始時，系統狀態變量會作為初始條件用于系統模型預測。

3 模型預測控制算法

MPC是一種先進的控制策略，它利用系統的動態模型進行預測，并據此制定系統最優的控制，以達到所需性能指標。目前，MPC已在各領域廣泛應用，文獻［6］在混合氣動電動執行器系統中應用了MPC，通過預測和優化控制電動執行器，實現了對執行器位置和速度的精確控制；文獻［7］利用MPC優化了能量管理，從而改善了混合動力電動車的燃油效率和性能；文獻［8］提出一種非線性MPC方法，用于控制氣流，以確保充足的氧氣供應，研究結果表明MPC方法的性能優于所對比方法。

MPC算法的主要目標是獲得最優的控制變量，以最小化與系統性能指標相關的成本函數。MPC利用過程內環動態模型、歷史數據和預測區間內的最優方程來計算最優控制變量。相比于傳統PID控制，MPC能夠同時考慮輸入、輸出和狀態變量的約束。

3.1 系統模型

系統模型描述如下：

x（k+1）=Ax（k）+Bu（k）

y（k）=Cx（k）（12）

其中，x（k+1）為系統在第k+1時刻的狀態向量；A為系統的狀態轉移矩陣；x（k）為系統在第k時刻的狀態向量；B為輸入矩陣；u（k）為系統在第k時刻的輸入向量；y（k）為系統在第k時刻的輸出向量；C為輸出矩陣。

經變換可得增廣狀態空間模型：

Δx（k+1）" y（k+1）=" A" oTCA1 Δx（k）"" y（k） +"" BC BΔu（k）

y（k）=Δx（k）" y（k）（13）

其中，Δu（k）為控制輸入的變化量；o=

。

筆者將使用上述增廣狀態空間模型設計預測控制器。

3.2 狀態和輸出變量的預測

狀態和輸出變量的預測模型如下：

Y=Fx（k）+ΔU

Y=［y（k+1|k） y（k+2|k） y（k+3|k） … y（k+N|k）］

ΔU=［Δu（k） Δu（k+1） Δu（k+2） … Δu（k+Nc-1）］

F= CACACA CA

="" CB"""""" 0"""""""" 0""""""" …"""""" 0 CAB"""" CB""""""" 0""""""" …"""""" 0 CAB"" CAB""""" CB"""""" …"" """"0" """""""""""""""""""""""""""""""""""CAB" CAB" CAB" …" CAB

其中，x（k）是k（k＞0）時刻的狀態變量向量；Y為預測的輸出變量向量，其維度為Np；ΔU為未來的控制軌跡向量，其維度為Nc。

代價函數J定義為：

J=（R-Y）（R-Y）+ΔURΔU（14）

其中，R=，R為對角矩陣，R=

rI（r≥0），r為閉環性能調整參數，I為單位矩陣。

控制信號的最優解如下：

ΔU=（+R）（Rr（k）-Fx（k））（15）

其中，R=；r（k）為k時刻的設定點信號。

式（15）所示控制信號的最優解與設定點信號和狀態變量相關聯。

3.3 對約束問題進行處理

控制變量增量變化的約束：

Δu≤Δu（k）≤Δu

對控制變量幅度的約束：

u≤u（k）≤u

輸出限制：

y≤y（k）≤y

傳統上，約束施加在整個控制向量上，所有約束都用向量ΔU表示：

設C、C分別對應相應的矩陣，可將式（16）改寫為緊湊矩陣形式：

-（Cu（k-1）+CΔU）≤-U

（Cu（k-1）+CΔU）≤U（17）

其中，U與U為列向量，均有Nc個元素。

對于控制信號的增量有如下約束條件：

-ΔU≤-ΔU

ΔU≤ΔU（18）

其中，ΔU與ΔU為列向量，均有Nc個元素。

對于輸出約束用ΔU表示：

Y≤Fx（k）+ΔU≤Y

最優化的參數向量ΔU，受到的不等式約束表示為：

MMMΔU≤NNN（19）

M=-C C

N= Cu（k-1）-U-Cu（k-1）+U

M=-I I

N=-ΔU ΔU

M=-

N=-Y Y

將式（19）轉化為如下更緊湊的形式，在不違反約束條件的情況下解出最優控制：

MΔU≤γ（20）

其中，M是表示約束條件的矩陣，其行數等于約束條件的個數，列數等于ΔU的維數。

4 控制器MATLAB仿真驗證

4.1 一般信號的算法驗證

用MPC、PID控制器對信號進行控制，使其到達設定條件，如圖5所示，可以看出，在穩定時間相近的情況下，PID控制器的超調量明顯大于MPC控制器。

4.2 在不同工作溫度下使用MPC/PID進行溫度控制

在溫度控制過程中，選擇加熱棒的輸出功率作為控制變量，由MPC、PID控制器直接控制。功率的快速響應是溫度快速穩定的保證。圖6展現了MPC與PID控制下的溫度控制效果。圖6a中，設定溫度為40 ℃，在MPC控制策略下，水溫在110 s時達到設定溫度，沒有超調量，PID控制策略與MPC控制策略相比，所需穩定時間明顯更長。圖6b中，設定溫度為50 ℃時，PID控制策略與MPC控制策略相比，超調量明顯更大。圖6c中，設定溫度為60 ℃時，PID控制策略與MPC控制策略相比，控制穩定時間與超調量明顯更大，水溫隨著功率的波動，最終隨時間趨于穩定，證實MPC控制策略在控制水浴鍋溫度方面效率更高。

5 結束語

針對水浴鍋加熱過程具有復雜的時間特性，而難以直接進行溫度數學建模的現狀，提出一種適用于水浴鍋加熱過程的模型預測控制策略，并在Simulink中進行仿真驗證。實驗結果表明，MPC能夠有效控制水浴鍋的溫度和加熱管的輸出功率，相較于傳統PID控制，MPC控制器器在溫度和功率控制方面表現出較小的超調和較短的穩定時間；在不同的溫度場景下，MPC控制器在超調量和穩定時間方面均表現出更優越的性能。

參 考 文 獻

［1］"" 荊中亞，陳為.基于STM32的密煉機自整定PID溫控系統設計［J］.電子設計工程，2024，32（5）：51-55.

［2］"" 舒俊杰.基于變論域模糊控制的西瓜溫室監測系統設計［D］.武漢：武漢輕工大學，2023.

［3］"" 王威，李少甫，吳昊，等.基于反向傳播神經網絡PID的高功率微波爐溫度控制［J］.強激光與粒子束，

2024，36（1）：59-65.

［4］"" 李蕾，趙涵.基于改進遺傳算法的超臨界機組鍋爐溫度控制研究［J］.自動化應用，2023，64（21）：36-38.

［5］"" 鄭驍健.基于模型參考自適應控制的高壓釜溫度控制［D］.杭州：中國計量大學，2018.

［6］"" BONE G M，XUE M，FLETT J.Position control of hybrid pneumatic electric actuators using discrete valued model predictive control［J］.Mechatronics，2015，25：1-10.

［7］"" ZHANG S，XIONG R，SUN F C，et al.Model predictive control for power management in a plug in hybrid electric vehicle with a hybrid energy storage system［J］.Applied Energy，2017，185：1654-1662.

［8］"" OUYANG Q，CHEN J，WANG F，et al.Nonlinear MPC controller design for AIR supply of PEM fuel cell based power systems［J］.Asian Journal of Control，2017，19（3）：929-940.

（收稿日期：2024-04-07，修回日期：2024-05-22）

Water Bath Temperature Control Strategy

Based on Model Predictive Control

AI Xue zhong， LI Ze yi， XU Chun bo

（School of Information and Control Engineering， Jilin Institute of Chemical Technology）

Abstract"" Considering the fact that water bath heating has characteristics of complex time， difficulty in controlling the materials temperature and a long time needed for the materials to reach a stable temperature， a model predictive control strategy based on the physical model was proposed. In which， having the system model established， the system heating power considered and the output power adjusted by weighting operation to dynamically control the system; and then， having the deviation between the material temperature and the set temperature monitored and the increment of heating tube power adjusted to change the heating power rapidly and shorten the time required to reach the set temperature. The simulation results show that， the strategy proposed can effectively track the set temperature， improve heating efficiency of the water bath， reduce the energy consumption， enhance the stability and controllability of the heating process and provide an effective solution for optimizing the heating process of the water bath.

Key words"" model predictive control strategy， water bath， physical model， constraints handle，temperature control， weighting， heating power