基于DMC算法的冷軋板形多變量模型預測控制

摘 要：本文基于DMC算法，建立了冷軋板形的多變量模型，并進行預測控制。比較DMC模型與其他2種模型的控制效果可知，DMC模型在板形值波動、控制速度和優化效果方面表現更好。試驗結果表明，DMC模型能夠更穩定地控制板形，具有較快的調控速度，優化后的標準差較小，說明其在模型失配情況下的優化效果更佳。

關鍵詞：DMC算法；冷軋板形；多變量模型

中圖分類號：TG 334" " " " 文獻標志碼：A

冷軋板形控制是鋼鐵生產過程中的重要環節，對保證產品質量和生產效率具有重要意義[1]。傳統的單變量控制方法已經不能滿足板形控制要求，因此需要建立多變量模型以進行預測控制[2]。DMC算法是一種常用的預測控制方法，具有較好的性能和適用性。本文旨在基于DMC算法建立冷軋板形的多變量模型，并通過試驗驗證其控制效果。

1 基于DMC算法的冷軋板形多變量模型構建

1.1 預測模型

動態矩陣控制（Dynamic Matrix Control，DMC）是一種基于系統階躍響應的預測控制算法，采用預測模型、在線滾動優化和誤差反饋校正等機制，對系統輸出進行有效控制。DMC算法主要由預測模型、滾動優化和反饋校正3個部分構成。其中，預測模型利用系統的單位階躍響應模型來預測對象在未來時刻的輸出值；滾動優化可以在每個采樣時刻，根據預測模型預測的未來輸出和設定的目標值，求解一個有限時域內的優化問題，進而將從優化問題得到的控制序列的第一個元素作用于系統，并在下一個采樣時刻重復上述過程；反饋校正利用實際輸出與預測輸出間的誤差來修正預測模型，以提高后續預測的準確性。

基于DMC算法的冷軋板形多變量模型構建是一個復雜的過程。首先，設置DMC控制器的采樣周期為T。其次，每個采樣時間點。即t=T，2T，…，NT下對應的單位階躍響應采樣值為a1，a2，…，aN-1。單位階躍響應是指當系統輸入發生單位階躍變化時，系統輸出的響應。對單位階躍響應的采樣值進行觀測和記錄，可以得到系統的動態響應特性。在DMC算法中，使用這些采樣值來構建預測模型[3]。在NT時刻以后，單位階躍響應應趨于穩定，此時aN的值約為階躍響應的穩態值。原因是在足夠長的時間內，系統的動態響應會逐漸消失，能夠達到穩態。因此，aN的值可以用來估計系統的穩態響應。

基于DMC的板形調控結構原理如圖1所示。在DMC算法中，假設單位階躍響應在NT時刻以后趨于穩定，即aN約為階躍響應的穩態值。由于實際系統存在一定的動態響應，單位階躍響應的采樣值在初始時刻（t＜NT）還未達到穩態。因此，增加模型時域長度N0，更好地捕捉系統的穩態響應，使預測模型更接近實際情況。需要構建模型向量α，利用DMC算法中的預測模型對系統的響應進行預測和優化。模型向量α中的采樣值提供了系統動態響應特性的信息，使DMC算法能夠更準確地預測系統的響應，并根據預測結果進行相應調節[4]。

在DMC算法中，需要先構建模型向量α，它由各個采樣時刻的單位階躍響應采樣值組成。再使用模型向量α來構建預測模型，預測系統在未來P個時刻的板形輸出值，分別如公式（1）、公式（2）所示。

（1）

X（k）=X0" " " " " " " " " " " " （2）

式中：為列向量；，，…，（k+1|k）為未來P個時刻的輸出預測值；N為單位階躍響應的采樣點總數，反映了系統動態特性的時間范圍；X（k）為系統第k個采樣時刻的單位階躍響應值；X0為輸出值，是控制開始時的系統輸出。

根據線性系統的疊加原理，將未來P個時刻的板形輸出值的預測表示為調控參數變化量的線性組合。在每個時刻，將調控參數變化量乘以對應的模型向量采樣值，并將它們相加，即可得到對應時刻板形輸出值的預測結果。

1.2 滾動優化

在DMC算法中，使用模型預測控制（MPC）來求解最優的控制量[5]。MPC可以建立系統的預測模型，并根據預測模型來優化控制量，以實現性能指標的最優化，如公式（3）所示。

（3）

式中：minJ（k）為控制輸入的最小值；qi為誤差權系數；Y（k+i）為時刻（k+i）的預測輸出，其中k為當前時刻，是控制算法執行的時刻，i為未來時刻；（k+i|k）為控制輸入的變化量，用于限制控制輸入的劇烈變化；M、j為權重因子；rj為控制權系數；ΔX2為當前時刻相對于前一個時間步的控制輸入的變化。

這些權系數在DMC算法中用于定義最優性能指標，為預測板形輸出與目標板形間的差異，即誤差項。將公式（3）改寫成矩陣形式，如公式（4）所示。

minJ（k）=||YP（k）-||Q2+||ΔXM（k）||R2 （4）

式中：YP（k）為時刻k的預測輸出向量；為時刻k的目標輸出向量；Q為權系數矩陣，用于加權預測輸出與目標輸出間的誤差；ΔXM（k）為k時刻的調控機構調節量；R為權系數矩陣，用于加權控制輸入變化量。

利用優化算法計算出使性能指標最優化的控制量序列，并在每個時刻按照這個序列改變調控機構。在實際應用中，DMC并不會將調控機構變化量全部實施，相反，它采取了一種滾動優化的策略。具體來說，DMC只會在當前時刻k進行一步或數步優化，并在下一時刻，即（k+1）時刻重新進行優化。

1.3 反饋優化

在每個時刻，DMC算法會根據當前時刻的預測輸出和優化計算結果來確定下一個時刻的輸出。然而，在實際的生產中，由于內在因素或環境因素的干擾，預測值和實際值間不可避免會產生誤差。這些誤差來自于系統的不確定性、傳感器的誤差、外部干擾等因素。因此，為了提高控制的準確性和穩定性，需要引入ΔxM（k）預測值進行校正，以得到k時刻的調控機構調節量，如公式（5）所示。

ΔxM（k）=D[YP（k）-] " " " " " " " " " " （5）

式中：D為增益，用于校正預測值與實際值間的誤差。

2 模型預測效果

為了驗證基于DMC算法的多變量模型對冷軋板形調控效果的有效性，需要進行一系列試驗和分析。在試驗中，本文建立了基于DMC算法的多變量模型，該模型可以根據輸入參數來預測冷軋板的形狀。進而在實際的冷軋過程中獲取輸出的板形數據，用于驗證模型的準確性和可靠性。在驗證過程中，如果輸出的板形數據與模型預測的結果存在偏差或誤差，那么需要對控制器的參數進行調節。調節控制器的參數可以優化模型的預測能力，改進冷軋板形的調控效果。調節控制器參數的過程需要結合實際的板形數據和模型預測結果進行反復試驗和調整，直到取得理想的調控效果。DMC參數見表1。

本文將ERMS作為偏差評價方法來衡量DMC模型對板形調控的準確性。比較不同算法的ERMS值可以評估不同算法在板形調控方面的性能差異。當DMC模型的ERMS值較小時，說明模型能夠更準確地預測和控制板形，具有更好的調控效果。相反，如果其他算法的ERMS值較小，那么表明這些算法在板形調控方面具有較好性能。

（6）

式中：n為板形監測位置個數；yi為監測位置板形值；為監測位置板形值均值。

2.1 模型匹配情況下的控制效果分析

輸入2條偏差曲線后，DMC模型能夠迅速分析和預測系統的行為，并根據預測結果進行控制決策。對機構進行調節后，DMC模型能夠在約100 ms內達到穩定狀態，并使板形的偏差消除量達到最大值，表明DMC模型具有快速響應和調整能力，能夠在短時間內優化板形。而最優控制算法和遺傳算法在達到穩定狀態和消除偏差方面需要更長時間。最優控制算法通常需要進行多次迭代和優化，以找到最優控制策略，因此調整時間較長。遺傳（GA）算法需要經過遺傳操作和優勝劣汰的過程逐步優化控制策略，同樣需要較長時間。而DMC模型基于預測的控制方法，能夠更快地調整控制參數，進而更快地達到穩定狀態并消除偏差。與最優控制算法和遺傳算法相比，基于DMC的預測模型在調控速度和精度方面表現更出色，能夠進行快速響應和調整，最終優化板形，因此DMC模型在實際應用中具有重要意義，能夠提高系統的調控效率和精度。

匹配情況下3種算法優化后的板形波動如圖2所示。首先，DMC模型能夠更穩定地控制板形，減少板形的波動性。對未來一段時間內的系統行為進行預測后，DMC模型能夠提前調整板形，避免出現過度波動和不穩定現象。對系統進行預測并制定控制決策后，DMC模型能夠及時對板形進行調整，使其保持在穩定狀態，從而減少了板形的波動性。其次，基于DMC的預測模型在調控速度方面具有明顯優勢。對未來一段時間內的系統行為進行預測后，DMC模型能夠預知系統的變化趨勢，并根據預測結果制定控制決策。與其他2種模型相比，DMC模型具有更準確的預測能力和更高效的控制算法，因此響應速度更快，調整系統過程中的控制效果也更精確。

2.2 模型失配時情況下的控制效果分析

失配情況下3種算法優化后的板形標準差如圖3所示。當模型失配時，分析控制效果可知，基于DMC的預測模型的調控速度比其他2種模型更快。基于DMC、最優控制算法和遺傳算法優化后所得標準差分別為2.20 I、8.63 I、2.20 I和1.81 I、52.67 I、1.81 I，反映模型失配情況下板形的波動程度。標準差越小，板形的穩定性越高，模型的預測結果與實際情況更接近。本文中，DMC優化后得到的標準差較小，表明其預測結果與實際情況的匹配度更高，板形的波動程度更小，因此其穩定性更高。

在控制系統中，模型失配會導致預測結果與實際情況出現偏差，影響控制效果。因此，對模型進行優化至關重要。比較基于DMC、最優控制算法和遺傳算法的優化結果可知，DMC優化后的模型在調控速度和穩定性方面具有顯著優勢，能夠更快地響應系統變化，并在實際應用中保證控制系統的可靠性和準確性。

3 結語

本文基于DMC算法，建立了冷軋板形的多變量模型，并進行了預測控制。比較試驗結果可知，DMC模型在板形值波動、控制速度和優化效果方面表現良好。DMC模型能夠更穩定地控制板形，具有更快的調控速度，并且優化后得到標準差較小，表明其在模型失配情況下的優化效果更佳。本文結果對冷軋板形控制的實際應用具有重要意義。選擇合適的模型和算法，能夠提高板形控制的穩定性和效率，進而提升產品質量和生產效率。未來研究將進一步探索DMC算法在其他工業領域中的應用，并結合實際情況進行優化，以滿足不同領域的控制需求。

參考文獻

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