清明上河園中的銳角三角函數

河南開封的清明上河園是依照北宋畫家張擇端的傳世之作《清明上河圖》為藍本建造的，不僅重現了宋朝的市井生活、建筑風貌，還通過豐富的文化內涵和精彩的文藝表演，為游客帶來了一場穿越時空的盛宴。那么你知道嗎？清明上河園中的建筑也蘊含著很多的數學知識。下面我們來看2022年河南省中考數學中的一道以“清明上河園”為背景的銳角三角函數題。

例題 開封清明上河園是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣（如圖1）是園內最高的建筑。某數學小組測量拂云閣DC的高度，如圖2，在A處用測角儀測得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進15m到達B處，又測得拂云閣頂端D的仰角為45°。已知測角儀的高度為1.5m，測量點A、B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結果精確到1m）。（參考數據sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）

【思路分析】題目中給出了測角儀的高度為1.5m，即AE=BF=1.5m，還給出了在點E處的仰角和在點F處的仰角。結合題意，我們需要構造直角三角形，而且是雙直角三角形。解雙直角三角形問題的關鍵是以公共邊為橋梁，分別在兩個直角三角形中利用銳角三角函數的定義或勾股定理求相關線段長。雖然拂云閣DC的高度無法直接求出，但是我們發現，測角儀在平移的過程中，與地面的高度是不變的，所以我們只要求出點D到直線EF的距離即可。在圖3中，我們延長EF交DC于點H，構造了Rt△DHF和Rt△DHE，得到EF=AB=15m，CH=BF=AE=1.5m。

我們由tan∠DFH=[DHHF]=1，得到DH=HF；由tan∠DEH=[DHHF]≈0.67，得到DH≈0.67HE，也就是HF≈0.67HE。而HE=HF+15，我們進而可以設HF為xm，則HE=（x+15）m，列方程為x≈0.67（x+15），解得x≈30.5。那么DC的長度為DH+CH=30.5+1.5=32m。

銳角三角函數刻畫了直角三角形中的邊角關系。我們在解決這些問題的過程中，不難發現需要經歷以下過程：第一步，需要弄清楚要求什么；第二步，根據所給的條件能求出什么；第三步，需要弄清楚已知量與未知量之間的關系，將要求的邊和角放到合適的直角三角形中，這里常常需要添加輔助線（一般為垂線和平行線），將原圖分割成一些直角三角形和矩形；第四步，選用合適的數據來解決這個直角三角形問題，如果不能直接求，還可以設未知數建立方程來求；第五步，根據求得的結果，聯系與要求的量之間的關系，進行求解和判斷。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區段玉裁中學）