冪的運算中的轉化和模型

數學思想是解決數學問題的重要工具。在初中數學的學習中，我們經常運用轉化、模型等數學思想方法去分析和求解問題。轉化是指將未知的、陌生的、復雜的問題轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題，這樣我們就能更容易找到解決問題的方法。模型則是指用數學符號抽象和表達問題中所蘊含的數量關系或變化規律，比如數學概念、公式、法則等，它們都可以視作一種數學模型。

當面對具體的數學問題時，我們首先要思考為什么要轉化、怎樣轉化、轉化到哪里，還要識別模型、應用模型。在“冪的運算”中，我們會遇到同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法等運算性質。在探究這些運算方法時，我們都是將其轉化到冪的概念上，借助冪的概念、乘方的意義、乘法運算律等歸納出相應的運算性質。接下來，我們通過幾個例子來看看如何在冪的運算中進行轉化和應用模型。

同底數的轉化

例1 化簡a4·（-a）3的結果是（ ）。

A.a12 B.-a12 C.a7 D.-a7

【解析】初看之下，這個問題屬于冪的運算問題，但是從形式上看，沒有相應的原理模型與之相匹配，導致我們無法運算。為什么無法計算呢？是因為兩個冪的底數不一樣，不符合同底數冪的特征。這時，我們就需要將其轉化為同底數冪相乘的形式。根據冪的概念，先把（-a）3轉化為-a3，從而將a4·（-a）3轉化為a4·（-a3），再變形為-a4·a3，最后根據同底數冪的運算模型，求得結果為-a7。在分析和求解問題的過程中，我們要注意兩個重要過程，一是非同底數相乘轉化為同底數相乘，二是運用am·an=am+n（m、n是整數）的原理模型進行計算。

同指數的轉化

例2 計算32024×（[-19]）1012。

【解析】這是一道冪的乘法計算題。從底數上看，沒有相應的冪的運算的原理模型與之相匹配，所以要進行轉化。那么怎樣轉化呢？通過觀察我們發現，它們的指數存在2倍的數量關系。這時，我們可以根據冪的概念模型和原理模型，先把32024整理為32×1012，再根據（am）n=amn的原理模型將其轉化為（32）1012，即91012，最后根據（ab）n=an·bn的原理模型，計算32024×（[-19]）1012=91012×（[-19]）1012=［9×（[-19]）］1012

=（-1）1012=1。當然，在計算的過程中，我們也可以先將（[-19]）1012化簡為（[19]）1012，即先處理好符號，再進行計算。

從指數到底數的轉化

例3 已知am=8，an=32（m、n是整數），求am-2n的值。

【解析】該題的已知條件是am=8和an=32，根據條件無法求得冪的底數或指數的值，由此可以判斷出該題有可能采用的是整體代入求值的方法，即將am=8和an=32整體代入求值。但是，從要求的冪的形式看，其指數為m-2n，而已知條件中冪的指數分別為m和n，從表面上看，它們之間沒有明顯的關系。那么，怎么探索它們之間的關系呢？根據am÷an=am-n的原理模型，我們先將am-2n轉化為am÷a2n，再根據（am）n=amn的原理模型將a2n轉化為（an）2，由此可以將am-2n轉化為am÷（an）2，這樣就可以將條件直接代入并計算求值了。

從底數到指數的轉化

例4 已知2x+5y-3=0，試求4x×32y的值。

【解析】該題已知條件為2x+5y-3=0，由此可得2x+5y=3。如何從4x×32y中構造出2x+5y的代數式是解題的關鍵。4x×32y中的兩個冪的底數是不同的，我們需要將其轉化為同底數冪的形式。先把4和32分別表示為22和25，再根據冪運算的原理模型，將4x×32y轉化為22x×25y。這樣，我們就可以運用同底數冪的乘法模型求解，即22x×25y=22x+5y=23=8。通過以上分析我們不難發現，根據所給條件的特點，將不同底數的冪的乘法轉化為同底數的冪的乘法，以指數為主線，可以實現從底數到指數的轉化，最終借助指數的值解決運算問題。

通過以上幾個例子的分析和求解，我們對冪的運算中的轉化和模型有了初步的認識，知道了轉化的重要性和模型的普適性，在解決冪的運算問題時，往往需要將其轉化為同底數或同指數的形式才能進行計算。這回答了為什么要轉化的問題。同時，我們根據具體問題中的條件特點和運算目標，依據冪的概念模型、冪的運算的原理模型、乘方的意義、乘法分配律等進行有針對性的轉化，這回答了怎樣轉化的問題。當把冪的形式轉化至可以直接使用冪的運算的原理模型時，就達到了轉化的目的。

（作者單位：江蘇省蘇州市相城區漕湖學校）