重力地形校正研究進展及展望

摘要： 重力地形校正的目的是消除地形質(zhì)量對觀測重力的影響，包括傳統(tǒng)地形校正和中間層校正，是重力勘探外部校正中最重要的一環(huán)，也是影響重力勘探精度的關(guān)鍵因素。長期以來，研究人員對地形校正計算模型、計算方法、計算精度的影響因素等開展了大量研究，但忽視了不同測量方式（陸、海、空、井）過程中地形校正方法的統(tǒng)一，以及不同影響因素變化規(guī)律及選取原則的討論。本文詳細介紹了不同測量方式地形校正的原理、計算方法及精度影響因素的研究進展及展望，指出地形校正方法中存在不同重力測量方式地形校正方法不統(tǒng)一、重力異常意義不統(tǒng)一、精度影響因素研究程度不同的問題。針對不同重力測量方式地形校正方法的基本原理，制定統(tǒng)一的地形校正規(guī)范成為重力數(shù)據(jù)統(tǒng)籌使用的必然。通過討論分析地形網(wǎng)格間距、地形校正半徑及地層密度對地形校正精度的影響，提出需要開展地形網(wǎng)格間距、地形校正半徑與計算精度之間規(guī)律性關(guān)系的研究，實現(xiàn)地形網(wǎng)格間距和地形校正半徑在實際工作中的靈活選取，提高方法的適用性。

關(guān)鍵詞：重力地形校正；地形質(zhì)量；計算模型；計算方法；影響因素；研究進展及展望

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230169

中圖分類號：P631.1 文獻標志碼：A

收稿日期： 2023-07-12

作者簡介： 張菲菲（1983-），女，副研究員，博士研究生，主要從事海域重、磁數(shù)據(jù)處理及解釋應(yīng)用研究，E-mail：ffeizhang@126.com

通信作者： 王萬銀（1962-），男，博士，教授，博士生導師，主要從事重、磁位場理論及應(yīng)用研究和教學工作，E-mail：wwy7902@chd.edu.cn

基金項目： 國家重點研發(fā)計劃項目（2017YFC0602202）；山西省政府購買服務(wù)項目（201908）

Supported by the National Key Research and Development Program of China （2017YFC0602202） and Shanxi Province Government Purchasing Healthcare Service Item （201908）

Research Progress and Prospect of Gravity Topographic Correction

Zhang Feifei1， 2， 3， Wang Lin1， Ma Jing1， Wang Wanyin1， 3， 4， Li Jianguo5， Zhou Xinpeng5， Li Qian5

Abstract： The purpose of gravity topographic correction"" is to eliminate the influence of terrain quality" on" observed gravity， including traditional topographic correction and intermediate layer correction，which" is the most important part of" external correction of gravity exploration， and" also the key factor affecting the accuracy of gravity exploration. For a long time， researchers have carried out a lot of research on" calculation models of topographic correction， calculation methods， and" influencing factors of calculation accuracy， but neglected the unification of topographic correction methods in the process of different measurement methods such as land gravity， ship-borne gravity， air-born gravity and well gravity， as well as" the discussion on the variation law and selection principles of different influencing factors. This paper introduces in detail the research progress and prospect of the fundamental theory， the calculation methods， and the influencing factors of topographic correction. Simultaneously， there are some problems in" topographic correction methods， such as the topographic correction methods of different gravity measurement techniques are not uniform， the significance of gravity anomaly is not uniform， and the research degree of influencing factors of topographic correction accuracy is different. According to the basic principle of topographic correction methods with different gravity measurement methods， it is necessary to formulate a unified topographic correction standard for the overall use of gravity data. Through discussing and analyzing the influence of topographic grid spacing， topographic correction radius and stratum density on topographic correction accuracy， it is proposed that"" the regular relationship between topographic grid sapcing，topographic correction radius and stratum density "should be studied" to realize the flexible selection of grid spacing and correction radius in practical work and improve the applicability of" topographic correction methods.Key words： gravity topographic correction; terrain quality; calculation models; calculation methods; influencing factors; research progress and prospect

0 引言

重力地形校正是重力調(diào)查工作的一項重要環(huán)節(jié)，主要目的是消除地形質(zhì)量對重力異常的影響，滿足尋找精細地質(zhì)構(gòu)造對重力數(shù)據(jù)的精度要求。地形校正的概念最早由Hammer[1]在1939年提出，他將地形校正（topographic correction）分為兩部分：1）布格（平板）校正（Bouguer correction），將地形假設(shè)為一個無限平板，使用簡單布格公式計算近似校正值以消除地形質(zhì)量的引力；2）狹義地形校正（terrain correction），消除測點周圍地形起伏對布格校正造成的影響，并給出了地形校正的經(jīng)典扇形分區(qū)計算模型。自此，狹義地形校正成為重力外部校正中不可缺少的一部分，在重力勘探中取得了很好的應(yīng)用效果。

在長期的重力勘探實踐中，重力勘探手段逐步豐富，出現(xiàn)了船載重力測量、航空重力測量、水下（拖曳/海底）重力測量、井中重力測量等，地形校正的概念發(fā)生了一系列變化。國際上，將未經(jīng)狹義地形校正的布格校正稱為簡單布格校正，而經(jīng)過狹義地形校正的布格校正稱為完全布格校正[2]；國內(nèi)將完全布格校正又稱為廣義地形校正[3]。在我國的重力勘探規(guī)范中[4-8]，布格（平板）校正即陸地規(guī)范[4-6]中的中間層校正，海洋規(guī)范[7]中延續(xù)了歐美習慣，使用布格校正的概念；陸地規(guī)范按照蘇聯(lián)的習慣，將高度校正和中間層校正合稱為布格校正；航空規(guī)范[8]中對該項校正未做規(guī)定。狹義地形校正是對布格校正的進一步完善，在陸地和航空規(guī)范中為常規(guī)校正項，但兩者的計算方法有所不同；海洋規(guī)范中對地形校正未做要求。目前對不同重力測量方式的地形校正計算研究程度各不相同，計算方法和計算規(guī)范千差萬別?？紤]到當前對不同類型數(shù)據(jù)融合及海、陸數(shù)據(jù)連片處理解釋的實際需求，使用統(tǒng)一的重力地形校正方法和規(guī)范是未來的趨勢所在。

隨著科學技術(shù)的不斷發(fā)展，對重力測量精度的需求越來越高。由于地形起伏變化復雜，地形質(zhì)量距離測點最近，使得地形校正精度成為影響重力測量資料處理精度和應(yīng)用效果的關(guān)鍵因素。長期以來，大量學者對陸地重力地形校正技術(shù)開展了全方位研究，主要包括計算方法和精度影響因素兩方面。其中，地形校正計算方法針對地形校正模型和地形質(zhì)量影響值計算方法開展討論，地形校正精度影響因素主要討論地形數(shù)據(jù)分辨率、地形校正半徑、地形類型、密度選取等對地形校正的影響。

本文從地形校正基本原理、計算方法、精度分析等方面，回顧重力地形校正的研究進展，討論目前重力地形校正存在的問題，并給出可能的解決方案和發(fā)展趨勢。

1 重力地形校正基本原理研究進展

1.1 陸地重力測量地形校正

陸地重力測量地形校正包括了傳統(tǒng)地形校正和中間層校正。如圖1所示，傳統(tǒng)地形校正[9-10]是以通過測點A的平面（球面或橢球面）為基準，對測點周圍的地形起伏進行削平補齊處理，消除測點周圍地形起伏對觀測結(jié)果的影響（圖1a）。經(jīng)地形校正后，相當于將測點周圍的地形夷為平地，測點面與大地水準面之間多了一個密度為σ、厚度為h的物質(zhì)層（稱為中間層，圖1b）的引力作用。不同高度的測點所受中間層引力鉛垂分量影響各不相同，中間層校正的目的是去除大地水準面以上地形質(zhì)量對測點的重力影響（圖1c）。

經(jīng)過傳統(tǒng)地形校正和中間層校正以后，消除測點周圍大地水準面以上地形質(zhì)量的重力影響，得到布格重力異常，反映大地水準面以下密度不均勻體的分布情況。

1.2 海洋重力測量地形校正

海洋重力測量分為船載重力測量和水下重力測量兩種，其中水下重力測量開展較晚，其數(shù)據(jù)的各項校正及重力歸算等未進行詳細分析。吳太旗等[11]通過層間校正消除水下重力儀與大地水準面之間海水質(zhì)量的引力影響（圖2）。目前水下重力測量僅處于理論分析階段，尚未見水下實測重力數(shù)據(jù)的校正結(jié)果，因此本文主要討論船載重力測量地形校正。

21世紀以前，船載重力測量只進行簡單布格校正，即陸地規(guī)范中的中間層校正，未涉及狹義地形校正內(nèi)容。我國的海洋地質(zhì)地球物理調(diào)查規(guī)范（GB/T 12763.8—2007）[7]延續(xù)了該標準，海洋布格校正采用無限延伸平板的中間層模型進行計算（圖1c），公式為

Δgbg=0.0419（ρ－1.03）H。 （1）

式中：ρ為地層密度，一般取2.67×103 kg/m3；H為測點水深，以平均海面計算。

2005年，北美國家（美國、加拿大、墨西哥）針對重力異常處理制定了新的標準[12]，布格校正方法由原來的簡單平板校正改為完全布格校正，計算公式使用曲面閉型公式，并且將海區(qū)納入了完全布格校正的范圍[12-13]。我國學者針對海洋重力測量地形校正也進行了相應(yīng)的討論：杜潤林等[14]對近海山體對海洋重力測量的影響進行了研究，計算結(jié)果表明近海山體對船載重力數(shù)據(jù)的影響是不可忽略的；呂川川等[15]研究了海洋重力測量完全布格校正方法，對比了南海不同地區(qū)完全布格校正值和簡單布格校正值的差異，討論了海洋重力測量數(shù)據(jù)使用完全布格校正方法的應(yīng)用效果和意義。部分學者也對海洋重力測量地形校正規(guī)范提出了相應(yīng)的建議[16-17]。

目前海洋重力測量地形校正中對地形質(zhì)量校正的要求是不完備的，主要有兩方面的原因：一是相較于陸地數(shù)字高程模型（digital elevation model， DEM）數(shù)據(jù)，海底地形數(shù)據(jù)覆蓋率低，且數(shù)據(jù)精度和分辨率不高，無法得到與陸地相同精度的地形校正值；二是陸地與海洋的地形校正存在物理意義上的差異，陸地地形校正中地形質(zhì)量對測點的引力作用是客觀存在的，而海洋地形校正是對海水層進行填補，質(zhì)量引力是人為添加的，對大地水準面以下的質(zhì)量調(diào)整無法用物理學理論予以解釋，尤其是在深水區(qū)（水深大于2 000 m的海域）會造成巨大的布格正異常，對局部密度體的重力異常特征無明顯增強作用。因此，國際上進行海、陸重力異常圖編制時，通常在陸域采用布格重力異常，在海域采用空間重力異常的編圖方案[18-23]。

總之，是否將地形校正（海底地形校正）納入船載重力測量規(guī)范、完全布格重力異常在海洋重力測量中的適用性如何、海洋重力測量地形校正方法及精度要求如何，都需要進行詳細的研究和論證。

1.3 航空重力測量地形校正

航空重力測量地形校正最早出現(xiàn)在航空重力梯度測量中，Chinnery[24]通過正演模擬給出二維情況下地形對重力梯度測量的影響；Hammer[25]最先提出了二維情況下的航空重力測量地形校正，給出了計算模型及公式，并計算了沿橫切面的連續(xù)地形數(shù)據(jù)對航空重力的影響（圖3）。隨著航空重力測量的不斷發(fā)展，很多學者針對航空重力測量地形校正計算效率的提高進行了研究[9， 26-27]。

根據(jù)我國的航空重力測量技術(shù)規(guī)范（DZ/T 0381—2021）[8]，航空重力測量地形校正的基本原理是：以大地水準面為基準，將測點周圍地形剖分成許多小直立棱柱體，每個直立棱柱體的頂面是陸地地形或水底地形，底面是大地水準面；計算每個小直立棱柱體對空中測點P0的重力影響值，然后將所有小直立棱柱體的重力影響值累積求和，得到整個地形質(zhì)量對P0的影響值（圖4）。此計算過程消除了大地水準面以上所有地形質(zhì)量和大地水準面以下海水質(zhì)量對測點的重力影響，相當于進行了完全布格校正。

航空重力異常布格校正計算只包括地形校正一項，校正范圍通常分為狹義地形校正和區(qū)域地形校正。其中：狹義地形校正范圍半徑為0～20.0 km，地形網(wǎng)格間距與規(guī)范要求的測量網(wǎng)格間距相等；區(qū)域地形校正范圍半徑為20.0～166.7 km，地形網(wǎng)格間距可為規(guī)范要求的測量網(wǎng)格間距的5倍左右。

近幾十年來，航空重力測量地形校正原理基本保持一致，僅針對計算方法、計算效率[9， 26-27]和校正半徑[26]等內(nèi)容進行了相應(yīng)的研究，關(guān)于不同飛行高度、不同地形起伏變化、不同網(wǎng)格間距等因素對地形校正值的影響研究并不充分。

1.4 地下重力測量地形校正

地下重力測量因其探測位置更加接近礦體及有關(guān)構(gòu)造，相較于地面重力測量有更高的探測能力，多在礦井（煤礦、油田探井、金屬礦）監(jiān)測、工程地質(zhì)勘查等領(lǐng)域具有很好的應(yīng)用效果。20世紀初，國際上出現(xiàn)地下重力測量工作，到20世紀中葉，地下重力測量才得到實際應(yīng)用。1950年，Smith[28]和Hammer[29]分別針對地下重力測量發(fā)表相關(guān)論文，從測量方法、數(shù)據(jù)處理、解決問題的能力、影響因素等方面對井中重力測量進行了詳細闡述和探討，奠定了地下重力測量的理論基礎(chǔ)。國內(nèi)地下重力測量起步較晚，最早關(guān)于地下重力測量的論述是徐功達等[30]在1989年出版的《井中和坑道重力測量》，對地下重力測量中的測量儀器、測量方法、重力校正及應(yīng)用實例進行了系統(tǒng)論述，但對坑道內(nèi)的地形校正沒有進行深入研究。

地下重力測量地形校正多為層間校正，消除測點與地面之間地形質(zhì)量的影響；但是該方法僅適用于巷道橫截面形狀處處不變、巷道長度遠大于橫截面半徑的情況，對于延伸方向上是彎曲的巷道并不適用。岳建華等[31]等針對該情況提出以觀測面所在水平面為基準，將巷道分為上下兩部分，分別計算觀測面上下兩部分巷道空間的影響；該方法可推廣應(yīng)用至巷道重力測量的地形校正及采空區(qū)校正。武中華[32]基于圓柱體模型對坑道重力地形校正的近區(qū)圓柱校正公式進行了推導。陶偉[33]歸納總結(jié)了坑道重力地形校正的基本原理，通過模型正演方法研究了坑道重力地形質(zhì)量影響的變化規(guī)律，推導得到了適用于坑道重力地形校正的扇形公式，并對校正半徑、地形密度選取進行了討論；該方法采用簡單水平坑道，僅考慮測點平面上方地形質(zhì)量的影響，未考慮測點平面下方與大地水準面之間地形質(zhì)量的影響，以及地形網(wǎng)格間距對坑道重力地形校正的影響。

綜上，已有重力測量手段的廣義地形校正規(guī)范有所不同，計算得到的布格重力異常意義不盡相同，給多源重力數(shù)據(jù)融合，海、陸、空數(shù)據(jù)統(tǒng)籌編圖和大尺度區(qū)域重力數(shù)據(jù)綜合解釋帶來了困難。選擇一種合適的，同時適用于海、陸、空、井等不同測量方式的重力地形校正計算模型，統(tǒng)一地形校正規(guī)范成為一種必然。

2 重力地形校正計算方法研究進展

地形起伏非常復雜，重力地形校正計算方法是地形校正精度的最關(guān)鍵因素。如圖1a所示，質(zhì)量元dm（ξ， η， ζ）對測點A（x， y， z）產(chǎn)生的重力異常為[9]

目前地形校正計算方法有很多，其基本原理[9]是：以測點為中心，采用不同的方法對測點周圍一定范圍內(nèi)的地形進行剖分和擬合，然后采用高精度、高效率的計算方法對起伏地形質(zhì)量的重力影響進行計算，得到式（3）的準確解。根據(jù)測點周圍地形剖分的形狀，地形校正計算方法可分為扇形環(huán)域分區(qū)法和方形域分區(qū)法；根據(jù)計算模型[34-36]，可分為質(zhì)量線法、質(zhì)量柱法、扇形錐體法、扇形柱體法、扇形球殼塊法、斜頂面三角棱柱體法、表面積分法；根據(jù)數(shù)值計算方法，可分為空間域法和波數(shù)域法。

2.1 空間域扇形環(huán)域分區(qū)法

空間域地形校正計算方法中最經(jīng)典的為扇形環(huán)域分區(qū)法，由Hammer[1]于1939年提出。如圖5所示，以測點A為圓心，以不同半徑畫圓，過A按照一定角度間隔做射線，則任意相鄰兩個半徑Ri和Ri+1與角度分別為αj和αj+1的射線及所圍部分組成一個扇形面。如果以h表示該扇形面所表示的柱體相對于A的平均高度，令αj+1－αj=2π/n，則該扇形柱體對A的地形校正值計算公式為[4-6， 9]

式中：δgt為地形校正值；n為圓域等分的份數(shù)，通常選擇8或16。于是，測點A處的地形校正值為校正范圍內(nèi)各個扇形柱體校正值的總和，即

對于扇形環(huán)域分區(qū)法，扇形柱體和扇形錐體模型的地形校正值有準確的解析表達式，但是扇形柱體的平均高度較難求取，因此扇形環(huán)域分區(qū)法的地形校正值計算通常采用人工讀數(shù)-查表法[9]。根據(jù)式（6），Ri、Ri+1、αj和αj+1均可依照地形復雜程度事先確定，并制成量板，根據(jù)量板下地形圖的等高線判讀扇形塊頂面的平均高程，此過程為數(shù)圖。為了加快計算速度，取單位密度ρ′=1×103 kg/m3，計算出不同h的地形影響值，制成δgt-h地形校正值表格或列線圖，通過查表方法得到地形影響值，此過程為查表。最后將計算結(jié)果乘以地層密度ρ即可得到地形校正值。

后續(xù)許多學者在該扇形柱體模型上進行了修改，以期獲得更好的地形表達，其中包括用傾斜平面代替扇形柱體頂面的傾斜頂面扇形柱體模型[37]（圖6a）、用圓錐頂部代替頂面的圓錐模型[38]（圖6b），以及斜楔體模型[39]（圖6c）等。

扇形環(huán)域分區(qū)法的優(yōu)點是能夠較好地擬合地形，提供高精度的地形計算值，但是該方法需要通過手算完成，計算過程繁瑣，效率低，對人力、物力有很高的要求。隨著大面積重力測量工作的開展和計算機的快速發(fā)展，扇形環(huán)域分區(qū)法逐漸被淘汰。

2.2 空間域方形域分區(qū)法

為適應(yīng)大數(shù)據(jù)量的計算需求和電子計算機的廣泛應(yīng)用，方形網(wǎng)格[40-41]劃分方法得到了快速發(fā)展。如圖7a所示，利用方形網(wǎng)格化地形高程數(shù)據(jù)進行分區(qū)，網(wǎng)格節(jié)點O代表重力測點或網(wǎng)格化計算點，采用直立棱柱體單元[4-6]（圖7b）代替地形起伏，即以點P為中心的A’B’C’D’所代表的面元將地形劃分為多個直立棱柱體，通過直立棱柱體的集合建立地形模型。為了與實際地形有較好的近似，近區(qū)通常采用斜頂面三角棱柱體模型[4-6]進行地形校正（圖8），每個三角棱柱體內(nèi)物質(zhì)對測點的重力影響為近區(qū)1/8的重力地形校正值。該方法的特點是便于計算機編程實現(xiàn)，計算效率高，減少了人為誤差；但是對地形的擬合較差。為了更好地擬合地形起伏，先后提出了上頂面傾斜的方形柱體[42-43]、多元錐形面[44-45]、三角棱柱體或多面體[46-49]等計算模型。

對于方形域分區(qū)法，地形校正值計算主要是解決Δg沿x、y方向的二重數(shù)值積分問題?，F(xiàn)行重力調(diào)查規(guī)范[4-6]采用共用點法進行計算，按照節(jié)點高程網(wǎng)將實際地形進行分割，近區(qū)采用三角棱柱體，中遠區(qū)采用直立棱柱體。計算步驟是先計算重力測點附近4個節(jié)點的地形校正值，再內(nèi)插得到測點的地形校正值。

三角棱柱體地形校正值公式[4-6]為

為了滿足精度和效率的要求，新的計算模型和計算方法不斷出現(xiàn)。為解決奇異積分問題，提出了中央?yún)^(qū)奇異積分非奇變方法[50]；為提高直立棱柱體地形校正的計算精度，提出了使用高斯求積公式的表面積分法[51-52]（圖9）、等效質(zhì)線法[53]等；為得到剖分模型的準確高程以更好地擬合地形起伏，提出了高斯曲面擬合法[54]、基于三角網(wǎng)扣合的近區(qū)地形校正法[48]、曲網(wǎng)格克里金網(wǎng)格化法[55]等。同時，部分學者對不同計算模型和計算方法的精度和效率進行了評估[34-36]，普遍認為不同計算模型、不同計算方法的計算精度各有優(yōu)勢，計算結(jié)果差異不大；在計算點附近區(qū)域應(yīng)特別注意選擇合適的地形校正模型，在遠離計算點的區(qū)域要考慮地球曲率的影響。

2.3 空間域球/橢球坐標系法

在局部地區(qū)的重力地形校正中，將重力觀測面或大地水準面近似為平面，未考慮地球曲率的影響。在地形起伏較大或更廣闊范圍內(nèi)研究重力異常要求以參考橢球面為基準面進行地形校正，這種情況下使用平面校正技術(shù)往往會帶來誤差，給后續(xù)解釋帶來困擾，因此地形校正計算方法從基于平面直角坐標系向球/橢球坐標系方向發(fā)展?；谇?橢球坐標系的地形校正計算方法充分考慮了地球曲率的影響。在空間域，球/橢球坐標系地形校正計算方法主要有Tesseroid單元體泰勒級數(shù)展開法[56]、扇形球殼塊體積分法[3]、球冠體積分法[57]等。

在空間域，采用的最普遍的剖分方法是Tesseroid單元體泰勒級數(shù)展開法[58]。Tesseroid單元體與傳統(tǒng)平面直角坐標系中的棱柱體單元類似，是球坐標系下的一個球面棱柱體單元（圖10a）。雷受旻[3]于1984年提出了以參考橢球面為基準面的廣義地形校正計算方法，構(gòu)建了扇形球殼塊幾何模型（圖10b）并給出了計算公式，能夠比較準確地擬合參考橢球面上的地形質(zhì)量。LaFehr[59]于1991年提出了基于球面模型的中間層影響值計算公式。Li等[60]于2001年給出了一套基于橢球面的計算地形影響值的完整理論公式。李增濤[61]對基于GRS80（geodetic reference system 1980）橢球面扇形柱體地形校正計算方法的公式進行了推導并實現(xiàn)。

2005年，北美國家制定了新的重力校正標準[12]，比較顯著的改進為采用了國際上普遍接受的GRS80橢球面作為重力測點的高程基準面，布格校正和地形校正采用球冠模型進行計算。國內(nèi)學者對該標準進行了詳細研究，并對我國現(xiàn)行的重力調(diào)查規(guī)范提出了修改建議[13， 16-17]。

國內(nèi)學者開展了球坐標系下地形校正算法的研究[56-57， 61-62]：劉士毅[62]最先提出了殘球殼模型的概念，給出了兩個殘球殼的引力公式，分別用于中間層校正和地形校正；安玉林等[63]給出了純球坐標系下重力各項校正值的計算公式；杜勁松等[57]對球冠層（圖10c）面積分重力異常正演方法進行了改進，并與Tesseroid單元體泰勒級數(shù)展開法進行了對比。

由于Tesseroid單元體對應(yīng)的積分（式（4））不存在嚴格的解析解，其計算方法主要有3種[57]：1）數(shù)值積分法[56]，使用三維高斯-勒讓德體積分[64]進行數(shù)值積分計算，或者將式（4）對徑向r進行積分轉(zhuǎn)化為球面積分問題[56]，然后再使用數(shù)值積分進行計算；2）利用直立棱柱體、點元、線元等近似計算Tesseroid單元體的重力效應(yīng)，該方法精度較低；3）采用單元體幾何中心點的泰勒級數(shù)展開公式[34， 56]近似計算。Tesseroid單元體地形校正使用近似計算，精度較低。

扇形球殼塊和球冠重力影響公式存在嚴格解析解，不同學者從不同角度推導得到了相同的解析式。以扇形球殼塊（圖10b）為例，其重力效應(yīng)計算公式[3]為

式中：δg為重力效應(yīng)；RA為測點地心距；α1、α2為方位角；θ為地心角（θ1、θ2為不同圓錐面對應(yīng)的地心角）；R為扇形球殼塊上任一點的地心距；R1、R2分別為扇形球殼塊底面、頂面的地心距，R2=R1+h（h為扇形球殼塊的平均高程）。

相較于平面直角坐標系地形校正計算方法，球/橢球坐標系地形校正計算方法具有以下優(yōu)勢：1）計算模型充分考慮了地球曲率的影響，與地形起伏能夠準確吻合，適用于地形復雜和大區(qū)域重力地形校正；2）計算公式為嚴格的解析解，不需進行近似計算，不同測點位置（海、陸、空、地）、不同環(huán)帶可以使用統(tǒng)一的計算公式；3）計算直接使用經(jīng)緯度坐標高程數(shù)據(jù)，不需進行坐標轉(zhuǎn)換，減少了標準區(qū)帶和圖幅的限制，提高了計算精度。該方法的缺點是計算過程中涉及到了坐標轉(zhuǎn)換、模型重構(gòu)，剖分單元高程求解過程較為復雜，在一定程度上限制了計算效率，因此采取合適的計算機語言和數(shù)值數(shù)據(jù)計算方法對算法進行優(yōu)化，提高計算效率是球/橢球坐標系地形校正計算方法的研究方向。另外，需要研究基于2000國家大地坐標系（China geodetic coordinate system 2000， CGCS2000）的球/橢球坐標系地形校正計算方法，以適用于我國現(xiàn)行的測量規(guī)范和標準。

除平面直角坐標系和球/橢球坐標系外，部分學者開展了基于橢球諧坐標系[65]和極坐標系的[66]重力地形校正計算方法研究，對已有地形校正計算方法進行了改進，但是并未得到較好推廣。

2.4 波數(shù)域（頻率域）法

隨著大面積、大比例尺重力測量工作的開展，地形校正的計算量增大，改進計算方法、提高計算速度的研究也逐步開展。Parker[67-69]將地形校正積分公式進行Fourier變換，提出了可以對大量重力數(shù)據(jù)進行處理的快速地形校正計算方法，使地形校正計算速度大大提高。后續(xù)平面二維、球面近似二維、球面單帶快速Fuorier變換（FFT）與快速Hartley變換（FHT）算法相繼提出，并出現(xiàn)了大量算法改進研究，推動了波數(shù)域分析方法在地球重力場計算中的應(yīng)用。

波數(shù)域（頻率域）地形校正最大的優(yōu)勢是提高了計算效率。由于離散Fourier變化存在頻譜混疊、信號泄漏、邊界效應(yīng)等固有缺陷，當數(shù)據(jù)分辨率較低、空間尺度有限時，計算結(jié)果會產(chǎn)生較大誤差[68]，尤其在地形復雜的大面積地形校正中，F(xiàn)FT法與球面積分法的計算結(jié)果差別較大，無法保證地形校正的精度[66]。同時，受FFT算法的限制，輸入的地形數(shù)據(jù)必須為規(guī)則網(wǎng)格且無法控制積分半徑，在一定程度上限制了該方法的適用性。因此，部分學者對FFT算法進行了改進，提出確定積分核中常數(shù)的簡便實用公式，給出適用于地形復雜區(qū)的重力地形校正計算模型[70-71]；提出了基于Toeplitz矩陣的FFT快速算法[72]，實現(xiàn)積分半徑可控的波數(shù)域地形校正計算方法；給出了雙界面模型重力場正演計算中級數(shù)求和的快速收斂方法[73]，開展了確定積分半徑的相關(guān)研究[74]。

綜上所述，空間域地形校正法計算精度高，計算相對靈活，可以適用于各種復雜地形條件下的重力地形校正；波數(shù)域（頻率域）地形校正計算方法計算效率高，但在大面積復雜地形情況下適用性略差。隨著計算機設(shè)備性能的提升、數(shù)值計算技術(shù)的進步，空間域計算效率得到了大幅度提升，因此空間域重力地形校正計算方法依然是目前的主流研究方向。

3 重力地形校正精度影響因素研究進展

隨著地質(zhì)任務(wù)對重力測量精度需求的增加，提高地形校正的計算精度成為重力測量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，不少學者針對地形校正計算精度的影響因素開展了大量的分析和評估工作，并總結(jié)了影響地形校正計算精度的因素：1）數(shù)據(jù)的測量精度，包括地形校正所使用地形圖精度、重力觀測點的測量精度、地形模型單元的高程讀數(shù)精度等；2）地形校正計算方法，主要取決于所選取的計算模型及所使用的計算公式；3）地形數(shù)據(jù)，包括地形模型單元（網(wǎng)格間距）、地形校正半徑、地形類型等；4）地層密度。

根據(jù)前人的研究成果，對地形校正計算精度影響最大的是地形圖的精度與地形擬合程度的大小?，F(xiàn)階段，高精度差分GPS的廣泛應(yīng)用極大提高了地形圖及測點數(shù)據(jù)的測量精度，提供了滿足大比例尺地形校正所需的高分辨率DEM數(shù)據(jù)。同時，通過使用新型的測量設(shè)備，如便攜激光測距儀、航測無人機等，提高了0～2 km范圍內(nèi)地形數(shù)據(jù)的測量精度，因此影響地形擬合程度的地形模型單元、地形校正半徑以及地層密度成為制約地形校正計算精度的關(guān)鍵。

3.1 地形模型單元劃分

通常地形校正是把測點周圍地區(qū)分為近、中、遠區(qū)。在不同的分區(qū)內(nèi)，DEM數(shù)據(jù)采用不同的網(wǎng)格間距，即劃分的地形模型單元大小不同。一般近區(qū)的地形網(wǎng)格間距較小，中、遠區(qū)的稍大。在區(qū)域重力調(diào)查規(guī)范中[4-6]，對近、中、遠區(qū)的校正范圍及地形網(wǎng)格間距進行了統(tǒng)一規(guī)定：近區(qū)（0～20 m）為2～5 m，中區(qū)（20～2 000 m）一般為50～100 m，遠Ⅰ區(qū)（2～20 km）為1 km，遠Ⅱ區(qū)（20.0～166.7 km）使用5′×5′平均高程資料計算。為了分析地形模型單元大小對地形校正精度的影響，國內(nèi)學者針對近區(qū)[75-78]、中區(qū)[79-84]、遠區(qū)[85]及不同地形類型的校正精度進行了大量的研究工作。通常使用的分析方法是，采用不同網(wǎng)格間距的地形數(shù)據(jù)計算地形校正值，假定最小網(wǎng)格間距的計算結(jié)果為真值，計算不同網(wǎng)格間距計算結(jié)果與其之間的均方誤差，從而得到不同分區(qū)、不同地形類型適用的網(wǎng)格間距。

楊亞斌等[75]從地形校正公式推導出發(fā)，探討了0～2 000 m校正范圍內(nèi)不同比例尺、不同高程誤差、不同地形類型的地形校正精度的計算誤差，計算結(jié)果表明在相同地形類型情況下，地形圖比例尺越大，地形校正計算精度越高，地形起伏越復雜，對地形圖比例尺要求越大。張俊等[80]將中區(qū)分為10個區(qū)間環(huán)帶，分別使用10、20、30、40、50 m網(wǎng)格間距地形數(shù)據(jù)進行地形校正值計算，并對計算精度進行了評價，對不同分段的地形網(wǎng)格間距給出了選取建議。劉生榮等[83]利用航攝高精度1∶2 000 DEM數(shù)據(jù)對不同來源DEM數(shù)據(jù)的中區(qū)地形校正精度進行了評價，并研究了不同DEM數(shù)據(jù)在高山區(qū)重力中區(qū)地形校正中的適用性，得出1∶5萬DEM數(shù)據(jù)在高山區(qū)復雜地形條件下無法滿足1∶5萬或更大比例尺重力中區(qū)地形校正的精度要求，采用更高分辨率衛(wèi)星數(shù)據(jù)得到的DEM數(shù)據(jù)可以滿足高山區(qū)復雜地形條件下1∶5萬重力測量中區(qū)地形校正的精度要求；并對高山區(qū)大比例尺重力測量中區(qū)地形校正所需的地形網(wǎng)格間距給出了要求和建議。李忠平等[85]基于1∶5萬DEM數(shù)據(jù)，采用4種不同網(wǎng)格間距計算了遠Ⅰ區(qū)地形校正值，并對其均方誤差進行了對比和分析，認為50 m網(wǎng)格間距能夠較好地滿足地形校正效率及精度的要求；但是文章只考慮了一種地形類型，對不同起伏條件的情況未加考慮。

以地形起伏較大的山地地形（圖11）為例，選取5、10、20、50、100、200 m網(wǎng)格間距，計算測點0～20 km范圍內(nèi)的地形校正值（圖12），并以5 m網(wǎng)格間距的地形校正值作為理論值，對其他網(wǎng)格間距的地形校正值進行精度評價。表1給出了不同網(wǎng)格間距的地形校正值范圍及精度對比結(jié)果，圖13為不同網(wǎng)格間距地形校正值精度對比曲線。

到的地形校正值范圍相近，變化趨勢一致，局部細節(jié)有所區(qū)別。地形網(wǎng)格間距越小，地形單元劃分越細，地形校正值對地形影響的反映更加準確，局部細節(jié)更加豐富；地形網(wǎng)格間距越大，地形單元劃分越粗糙，地形校正值愈發(fā)光滑。

圖13顯示，隨著網(wǎng)格間距的增大，地形校正值誤差增大，當網(wǎng)格間距大于20 m時，地形校正值誤差超出了規(guī)范要求的最大誤差0.28×10-5 m/s2。因此在地形起伏較大的山區(qū)，盡量選取網(wǎng)格間距小的地形數(shù)據(jù)進行校正。

以上研究大多限于單一分區(qū)，未統(tǒng)籌考慮不同分區(qū)之間的變化規(guī)律及網(wǎng)格間距選取原則。筆者對不同地形類型、不同網(wǎng)格間距DEM數(shù)據(jù)的地形校正值進行了詳細研究[86]，通過計算不同校正環(huán)帶范圍內(nèi)的地形校正值并繪制誤差曲線的方式給出了不同地形類型、不同校正環(huán)帶范圍內(nèi)DEM網(wǎng)格間距的選取原則，建議不同地形類型采用不同的網(wǎng)格間距：在地形起伏變化不大的平原區(qū)，近區(qū)選擇5～10 m網(wǎng)格間距，中遠區(qū)選擇100 m網(wǎng)格間距；在丘陵地區(qū)，近區(qū)選擇5 m或更小的網(wǎng)格間距，中區(qū)選擇10 m網(wǎng)格間距，遠區(qū)選擇100 m網(wǎng)格間距；在地形起伏較大的山地區(qū)，近、中、遠區(qū)網(wǎng)格間距分別選擇5 m或更小、10 m及50 m。該文統(tǒng)籌考慮了不同校正范圍內(nèi)DEM網(wǎng)格間距的選取問題，但是不同環(huán)帶內(nèi)的選擇仍為斷階式選擇，如果能夠給出不同地形類型情況下DEM網(wǎng)格間距與校正距離之間的理論關(guān)系式，對于DEM網(wǎng)格間距的選擇將有很好的應(yīng)用價值。

3.2 地形校正半徑選取

在區(qū)域重力測量中，地形校正半徑的選擇對提高校正精度至關(guān)重要。目前對地形校正半徑的研究主要集中在最大半徑的選擇。早期從平面地形校正公式出發(fā)，得出平面坐標地形校正的最大半徑以170 km為宜[87]。孫剛[88]從扇形柱體計算公式出發(fā)，提出了不同地形條件下地形校正最大半徑的選擇方法。徐璐平等[26]在航空重力地形校正中同樣得出了相似的結(jié)論，地形起伏越劇烈，選擇的地形校正半徑則越大，若遠區(qū)存在高程大于測點高程3倍的地形剖分單元時，需要特別注意。

前人對不同分區(qū)地形校正半徑的研究較少，根據(jù)筆者[86]的研究結(jié)果，地形校正分區(qū)半徑的選擇與地形類型密切相關(guān)，地形質(zhì)量影響集中在0～5 000 m環(huán)帶范圍內(nèi)，因此需要重視中區(qū)和遠Ⅰ區(qū)的地形校正，在地形起伏變化較大的地區(qū)應(yīng)當適當增加近區(qū)、中區(qū)的分區(qū)半徑。不同類型地形校正分區(qū)半徑的確定與網(wǎng)格間距選取密切相關(guān)，因此確定不同地形起伏條件下各環(huán)帶內(nèi)的地形網(wǎng)格間距成為該問題的關(guān)鍵，實現(xiàn)地形網(wǎng)格間距的動態(tài)選擇即可確定不同分區(qū)的校正半徑。

3.3 密度選取

依據(jù)現(xiàn)有規(guī)范要求[4-8]，在地形校正和中間層校正過程中，采用統(tǒng)一的地層密度進行計算，陸區(qū)使用2.67×103 kg/m3，水域使用（1.03～2.67）×103 kg/m3。但是在黃土塬地形切割地區(qū)、地形起伏較大的山區(qū)等地區(qū)進行大比例尺重力測量時，常會得到與地形相關(guān)的布格重力異常，即山形異常[89]，給后續(xù)構(gòu)造解釋推斷造成了極大的誤差，甚至會導致錯誤的結(jié)論。引起山形異常的原因有很多[89]，目前普遍認為引起該異常的主要原因是地形校正時選用的中間層密度不準確，導致地形質(zhì)量的影響校正不足或過校正。

最佳校正密度的選取一直是重力測量資料處理的難題，傳統(tǒng)方法[4-6]有相關(guān)分析法和標本統(tǒng)計法。相關(guān)分析法是最常用且最簡單實用的方法，一般在重力剖面上選用一系列中間層密度進行校正，選擇與地形無關(guān)或最小相關(guān)的布格重力異常對應(yīng)的密度作為最佳中間層密度。該方法在表層密度均勻的地區(qū)有很好的適用性，但是在密度橫向變化大、研究區(qū)面積較大情況下應(yīng)用效果不好。為了得到適用于全區(qū)的最佳校正密度，鐘華等[90]提出了面積相關(guān)法，通過對全區(qū)地形校正后布格重力異常與地形高程進行相關(guān)分析，選取相關(guān)性最小的地層密度作為最佳校正密度，當?shù)乇砻芏葯M向變化較大時，可分區(qū)進行計算。標本統(tǒng)計法是指對實測密度標本進行統(tǒng)計，得到調(diào)查區(qū)內(nèi)所使用的地形校正密度，該方法費時費力，不利于推廣，當研究區(qū)面積較大時，不論是分區(qū)計算還是標本統(tǒng)計，都有工作量大的缺點，且無法得到最真實的密度。

為了進一步滿足大面積重力測量的校正需求，先后出現(xiàn)了變密度校正法[91]、滑動窗口回歸分析法[92]、逐點滑動式黃土密度補償校正法[93]、逐次迭代回歸地形校正密度法[94]。變密度校正法將巖樣測試密度和地質(zhì)圖相結(jié)合，應(yīng)用趨勢面分析方法構(gòu)建調(diào)查區(qū)內(nèi)地表橫向密度分布模型，進而開展變密度校正?；貧w分析法的基本思想都是根據(jù)自由空間重力異常與地形的相關(guān)關(guān)系，使用回歸分析的方法，分區(qū)或分次確定地形校正的最佳密度。逐點滑動式黃土密度補償校正法適用于地質(zhì)條件復雜的黃土塬切割地區(qū)?；瑒哟翱诘闹鸫蔚軌蚝芎玫亟鉀Q大面積重力地形校正問題。

目前，針對地形質(zhì)量密度的選取問題主要考慮地表密度的橫向變化，較少考慮地形質(zhì)量的縱向變化，如何實現(xiàn)地層密度的三維立體構(gòu)建，是高精度重力校正過程中需要考慮的問題。

4 未來展望

綜上可以看出，重力地形校正理論相對成熟，近年來國內(nèi)外對地形校正的研究主要集中在如何更好地擬合地形起伏和提高地形校正計算精度，并在實際應(yīng)用中取得了很好的效果。針對影響地形校正計算精度的主要因素，主要從計算模型、計算方法、參數(shù)選取三方面進行改進和討論。隨著勘探目標由淺部到深部、由區(qū)域到局部的發(fā)展，對重力數(shù)據(jù)的精度要求日趨提高，對提高地形校正計算精度和計算效率也有了新的要求和目標。

1）目前重力測量方式包括了陸地重力測量、海洋重力測量（船載、水下深拖、海底等）、航空重力測量及地下（井中、坑道、隧道等）重力測量。依據(jù)對地形校正基本原理的分析可知，不同重力測量方式對地形校正的術(shù)語名稱、計算方法及規(guī)范各不相同，計算得到的布格重力異常意義亦不同。例如，陸地重力地形校正分為地形校正和中間層校正，海洋重力地形校正僅進行簡單布格校正，航空重力地形校正規(guī)范中僅包含地形校正一項。這使得重力數(shù)據(jù)在使用過程中會存在數(shù)據(jù)規(guī)范不統(tǒng)一的問題。因此，制定統(tǒng)一的陸、海、空、地重力地形校正規(guī)范成為必然。針對現(xiàn)行的重力地形校正規(guī)范要求，改進可以從兩方面出發(fā)：一是統(tǒng)一地形校正相關(guān)術(shù)語，需要對陸地規(guī)范、海洋規(guī)范、航空規(guī)范中關(guān)于地形校正的術(shù)語進行統(tǒng)一，方便數(shù)據(jù)統(tǒng)一及共享；二是統(tǒng)一地形校正基本原理，用廣義地形校正替代簡單布格校正，在不同的重力測量中，系統(tǒng)考慮大地水準面以上地形、海底地形、飛行高度等因素對測點的重力影響，并進行消除，得到相同意義的布格重力異常。

2）從計算模型的角度考慮，地形校正模型的整體趨勢是從簡單到復雜、從平面直角坐標剖分到球/橢球坐標剖分、從常密度模型到變密度模型，在模型剖分過程中考慮地球曲率變化，使模型更好地擬合地形的實際起伏。地形校正模型的發(fā)展傾向于考慮地球曲率的變密度模型，但是在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)調(diào)查區(qū)范圍、調(diào)查目的、計算效率等因素進行靈活選擇。對于計算模型的選擇，需要基于不同比例尺地形數(shù)據(jù)、不同地形類型、不同探測目標體，開展不同計算模型計算精度和計算效率的對比分析，并給出計算模型選擇的建議。

3）對地形校正精度影響因素的研究將成為提高地形校正精度的重要研究方向。如上文所述，地形網(wǎng)格間距和地形校正半徑的選取是影響校正精度的關(guān)鍵要素，目前對影響因素的研究多以現(xiàn)行規(guī)范進行分區(qū)討論，僅討論固定分區(qū)范圍內(nèi)（0～20 m、20～2 000 m、2～20 km等）不同地形網(wǎng)格間距對地形校正的精度影響，得出的結(jié)論具有一定的局限性。對于地形校正精度的討論多為陸地重力測量，鮮有針對航空重力測量、海洋重力測量地形校正精度的研究，因此已有地形校正精度分析結(jié)果無法適用于所有測量手段和地形類型。實際工作中，要根據(jù)測量手段、地形類型、地質(zhì)目標等具體情況選取合適的網(wǎng)格間距和地形校正半徑。因此，需要對地形網(wǎng)格間距、地形校正半徑與計算精度之間的關(guān)系開展理論研究，給出地形網(wǎng)格間距、地形校正半徑的選取原則，實現(xiàn)地形網(wǎng)格間距和地形校正半徑的靈活選取，提高地形校正方法的適用性。

4）在保證計算精度的前提下研究提高計算效率的方法，是大面積區(qū)域性調(diào)查中重力地形校正方法需要考慮的重要方面。一方面，需要優(yōu)化地形校正算法，采用并行計算、波數(shù)域（頻率域）計算等方式提高地形校正的計算效率；另一方面，目前近區(qū)（0～20 m）仍采用人工計算方法進行，存在計算效率低、人為誤差大的問題。隨著高精度DEM數(shù)據(jù)的發(fā)布，利用DEM數(shù)據(jù)實現(xiàn)不同分區(qū)地形校正統(tǒng)一計算，減少人為誤差并提高工作效率也成為必然。

參考文獻（References）：

[1] Hammer S. Terrain Corrections for Gravimeter Stations[J]. Geophysics， 1939， 4（3）： 184-194.

[2] Chapin D A. The Theory of the Bouguer Gravity Anomaly： A Tutorial[J]. The Leading Edge， 1996， 15（5）： 361-363.

[3] 雷受旻. 重力廣義地形改正值和均衡改正值的一種計算方法[J]. 海洋地質(zhì)與第四紀，1984，4（1）： 101-111.

Lei Shoumin. Calculation of Generalized Topographic and Isostatic Gravity Corrections[J]. Marine Geology amp; Quaternary Geology， 1984， 4（1）： 101-111.

[4] 中華人民共和國國土資源部. 重力調(diào)查技術(shù)規(guī)范（1∶50 000）：DZ/T 0004—2015[S]. 北京：地質(zhì)出版社，2015.

Ministry of Land and Resources of the People’s Republic of China. The Technical Specification for Gravity Survey （1：50 000）： DZ/T 0004—2015[S]. Beijing： Geological Publishing House， 2015.

[5] 中華人民共和國國土資源部. 大比例尺重力勘探規(guī)范：DZ/T 0171—2017[S]. 北京：地質(zhì)出版社，2017.

Ministry of Land and Resources of the People’s Republic of China. Specification for Large-Scale Gravity Survey： DZ/T 0171—2017[S]. Beijing： Geological Publishing House， 2017.

[6] 中華人民共和國自然資源部. 區(qū)域重力調(diào)查規(guī)范：DZ/T 0082—2021[S]. 北京：地質(zhì)出版社，2021.

Ministry of Natural Resources of the People’s Republic of China. The Standard for Regional Gravity Survey： DZ/T 0082—2021[S]. Beijing： Geological Publishing House， 2021.

[7] 中國國家標準化管理委員會. 海洋調(diào)查規(guī)范：第8部分：海洋地質(zhì)地球物理調(diào)查：GB/T 12763.8—2007[S]. 北京：中國標準出版社， 2007.

National Standardization Management Committee of China. Specifications for Oceanographic Survey： Part 8： Marine Geology and Geophysics Survey： GB/T 12763.8—2007[S]. Beijing： China Standards Press， 2007.

[8] 中華人民共和國自然資源部. 航空重力測量技術(shù)規(guī)范：DZ/T 0381—2021[S]. 北京：地質(zhì)出版社，2021.

Ministry of Natural Resources of the People’s Republic of China. Specification for Airborne Gravity Survey： DZ/T 0381—2021[S]. Beijing： Geological Publishing House， 2021.

[9] 徐璐平. 航空重力地形改正研究及其算法改進[D]. 北京：中國地質(zhì)大學（北京），2011.

Xu Luping. The Terrain Correction Calculation of Airborne Gravity and the Improvement[D]. Beijing： China University of Geosciences （Beijing）， 2011.

[10] 曾華霖. 重力場與重力勘探[M]. 北京：地質(zhì)出版社，2005.

Zeng Hualin. Gravity Field and Gravity Exploration[M]. Beijing： Geological Publishing House， 2005.

[11] 吳太旗，王克平，金際航，等. 水下實測重力數(shù)據(jù)歸算[J].中國慣性技術(shù)學報，2009，17（3）： 324-327.

Wu Taiqi， Wang Keping， Jin Jihang， et al. Data Reduction of Underwater Gravity Measurement[J]. Journal of Chinese Inertial Technology， 2009， 17（3）： 324-327.

[12] William J H， Carlos A， John B， et al. NewStandards for Reducing Gravity Data： The North American Gravity Database[J]. Geophysics， 2005， 70（4）： J25-J32.

[13] 曾華霖. 北美國家高程基準面及重力異常計算方法的重大修改[J]. 物探與化探，2008，32（1）： 8-12.

Zeng Hualin. Striking Revisions of Vertical Datum and Procedures for Calculating Gravity Anomalies in North America[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2008， 32（1）： 8-12.

[14] 杜潤林，張旺，孫建偉，等. 近海山體對船測重力數(shù)據(jù)的影響[J]．海洋地質(zhì)前沿，2019，35（9）： 25-28.

Du Runlin， Zhang Wang， Sun Jianwei， et al. The Influence of Coastal Mountains on Marine Gravity Data[J]. Marine Geology Frontiers， 2019， 35（9）： 25-28.

[15] 呂川川，郝天珧，徐亞. 海洋重力勘探中的完全布格校正[J]. 地球物理學進展，2009，24（2）： 513-521.

Lü Chuanchuan， Hao Tianyao， Xu Ya. Complete Bouguer Correction in the Oceanic Gravity Exploration[J]. Progress in Geophysics， 2009， 24（2）： 513-521.

[16] 戴勤奮，楊金玉，魏合龍. 海洋重力校正標準修訂建議[J]. 地球物理學進展，2015，30（6）： 2633-2639.

Dai Qinfen， Yang Jinyu， Wei Helong. Suggestions for Revising Marine Gravity Correction Standards[J]. Progress in Geophysics， 2015， 30（6）： 2633-2639.

[17] 楊金玉，田振興，韓波，等. 國內(nèi)外重力異常編圖進展及重力異常計算方法改進[J].地球物理學進展，2015，30（3）： 1070-1077.

Yang Jinyu， Tian Zhenxing， Han Bo， et al. Progress of Gravity Anomaly Calculation， Correction and Map Compilation[J]. Progress in Geophysics， 2015， 30（3）： 1070-1077.

[18] Bacchin M， Milligan P R， Wynne P， et al. Gravity Anomaly Map of the Australian Region[M]. 3rd ed. Geoscience Australia， Canberra， 2008.

[19] British Geological Survey and Dublin Institute for Advanced Studies. 1∶1 000 000 UTM Series： Gravity Anomaly Map， Ireland， 48°N-54°N， 12°W-6°W[M]. Nottingham： British Geological Survey， 2001.

[20] British Geological Survey. Gravity Anomaly Index Map for 1∶1 000 000 UTM Series[M]. Nottingham： British Geological Survey， 2006.

[21] Committee for the Gravity Anomaly Map of North America. Gravity Anomaly Map of North America[M]. Boulder： Geological Society of America， 1987.

[22] Geological Survey of Canada. Gravity Anomaly Map of the Continental Margin of Eastern Canada[M]. Ottawa： Geological Survey of Canada， 1988.

[23] U S Geological Survey. Geophysical Data Grids for the Conterminous United States[EB/OL]. [2023-03-01]. http：//pubs.usgs.gov/fs/fs-0078-95/FS078-95.html.

[24] Chinnery M A. Terrain Corrections for Airborne Gravity Gradient Measurements[J]. Geophysics， 1961， 26（4）： 480-489.

[25] Hammer S. Topographic and Terrain Correction for Airborne Gravity[J]. Geophysics， 1974， 39（4）： 537-542.

[26] 徐璐平，張貴賓，李皎皎，等. 航空重力地改最大半徑的研究及地改快速計算方法比較[J]. 物探與化探，2015， 39（增刊1）： 113-118.

Xu Luping， Zhang Guibin， Li Jiaojiao， et al. A Study of the Maximum Radius in the Terrain Correction Calculation of Airborne Gravity and a Comparison of Various Calculation Methods[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2015， 39（Sup. 1）： 113-118.

[27] 王佳. 航空重力地形改正的快速計算方法研究[D]. 北京：中國地質(zhì)大學（北京），2019.

Wang Jia. Study on Fast Calculation Method of Airborne Gravity Terrain Correction[D].Beijing： China University of Geosciences （Beijing）， 2019.

[28] Smith N J. The Case for Gravity Data from Boreholes[J]. Geophysics， 1950， 15： 605-636.

[29] Hammer S. Density Determinations by Underground Gravity Measurements[J]. Geophysics， 1950， 15： 637-652.

[30] 徐公達，周國藩. 井中和坑道重力測量[M]. 北京：地質(zhì)出版社，1989.

Xu Gongda， Zhou Guofan. Gravity Measurement in Well and Tunnel[M]. Beijing： Geological Publishing House， 1989.

[31] 岳建華，劉樹才，于景村. 煤礦井下微重力測量方法與應(yīng)用[J].中國煤田地質(zhì)，1995，7（4）： 93-96.

Yue Jianhua， Liu Shucai， Yu Jingcun. Method and Application of Micro Gravity Measurement in Underground Coal Mine[J]. Coal Geology of China， 1995， 7（4）： 93-96.

[32] 武中華. 坑道重力研究及其在鉛鋅礦找探礦中的應(yīng)用[D]. 昆明：昆明理工大學，2011.

Wu Zhonghua. Study on Tunnel Gravity and Application in Lead-Zinc Ore Exploration[D]. Kunming： Kunming University of Science and Technology， 2011.

[33] 陶偉. 坑道高精度重力地形改正研究[D].昆明：昆明理工大學，2017.

Tao Wei. Study on Tunnel High Precision Gravity Terrain Correction[D]. Kunming： Kunming University of Science and Technology， 2017.

[34] Heck B， Seitz K. A Comparison of the Tesseroid， Prism and Point-Mass Approaches for Ass Reductions in Gravity Field Modelling[J]. Journal of Geodesy， 2007， 81（2）： 121-136.

[35] 李振海，李瓊，林旭. 重力地形改正的計算模型研究[J]. 測繪工程，2011， 20（2）： 24-26.

Li Zhenhai， Li Qiong， Lin Xu. Research on the Terrain Correction Models in Gravity Survey[J]. Engineering of Surveying and Mapping， 2011， 20（2）： 24-26.

[36] 黎哲君，周冬瑞，張毅，等. 基于DEM重力地形改正方法比較研究[J]. 海洋測繪，2019，39（1）： 1-6.

Li Zhejun， Zhou Dongrui， Zhang Yi， et al. Comparative Study on Several DEM-Base Strategies for Terrain Reduction of Gravity[J]. Hydrographic Surveying and Charting， 2019， 39（1）： 1-6.

[37] Sandberg C H. Terrain Corrections for an Inclined Plane in Gravity Computations[J]. Geophysics， 1958， 4（6）： 701-711.

[38] Oliver J R， Simard G R. Improvement of the Conic Prism Model for Terrain Correction in Rugged Topography[J]. Geophysics， 1981， 46（7）： 1054-1056.

[39] Barrows L J， Fett J D. A Sloping Wedge Technique for Calculating Gravity Terrain Corrections[J]. Geophysics， 1991， 56（7）： 1061-1063.

[40] Bott M H P. The Use of Electronic Digital Computers for the Evaluation of Gravimetric Terrain Corrections[J]. Geophysical Prospecting， 1959， 7（1）： 45-54.

[41] 馬國慶，孟令順，杜曉娟. 重力地形改正的計算機實現(xiàn)[J].吉林大學學報（地球科學版），2008，38（增刊1.）： 36-38.

Ma Guoqing， Meng Lingshun， Du Xiaojuan.Gravity of the Terrain Accomplish by Computer[J]. Journal of Jilin University （Earth Science Edition）， 2008， 38（Sup. 1）： 36-38.

[42] Granar L. On Topographic Gravity Correction[J]. Geoexploration， 1976， 5： 65-70.

[43] Ketelaar A C R. ASystem for Computer Calculation of the Terrain Correction in Gravity Surveying[J]. Geoexploration， 1976， 14： 57-65.

[44] Hardy R C. Multiquadric Equations of Topography and other Irregular Surfaces[J]. Journal of Geophysical Research， 1971， 76： 1905-1915.

[45] Krohn D H. Gravity Terrain Correction Using Multiquadric Equations[J]. Geophysics， 1976， 41： 266-275.

[46] Zhou X， Zhong B， Li X. Gravimetric Terrain Corrections by Triangular-Element Method[J]. Geophysics， 1990， 55（2）： 232-238.

[47] 鐘本善，何昌禮，江玉樂. 方域近區(qū)地改的多面體解析法[J]. 物探與化探，1989，13（2）： 127-135.

Zhong Benshan， He Changli， Jiang Yule. Polyhedral Analytic Method for Square Domain Vicinity-Area Terrain Correction[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 1989， 13（2）： 127-135.

[48] 張偉，廖國忠，張秋冬，等. 基于三角網(wǎng)扣合的山區(qū)重力測量高精度近區(qū)地改算法[J]．地球物理學進展，2015， 30（5）： 2330-2336.

Zhang Wei， Liao Guozhong， Zhang Qiudong， et al. High Accuracy Algorithm of Calculating Vicinity Zone’s Terrain Correction Based on Triangulation Fitting[J]. Progress in Geophysics， 2015， 30（5）： 2330-2336.

[49] 賈卓，劉四新，趙雪然，等. 起伏地表下的復雜三維地質(zhì)模型建立與重力異常計算[J]. 吉林大學學報（地球科學版），2021，51（1）： 277-285.

Jia Zuo， Liu Sixin， Zhao Xueran， et al. Complex 3D Model Establishment Under Undulating Surface and Gravity Anomaly Calculation[J]. Journal of Jilin University （Earth Science Edition）， 2021， 51（1）： 277-285.

[50] 邊少鋒，柴洪洲. 重力地形校正中央?yún)^(qū)求積公式[J]. 物探化探計算技術(shù)，1995，17（1）： 58-70.

Bian Shaofeng， Chai Hongzhou. On the Contribution of an Innermost Area in Terrain Correction[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration， 1995， 17（1）： 58-70.

[51] 周熙襄，李雄. 重力地形改正的表面積分法[J]. 物探化探計算技術(shù)，1987，9（4）： 273-279.

Zhou Xixiang， Li Xiong. Gravity Terrain Corrections by Surface Integration Method[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration， 1987， 9（4）： 273-279.

[52] 胡明科，江玉樂，李超，等. 基于面積分的重力地形改正方法研究及應(yīng)用[J]. 物探化探計算技術(shù)，2015，37（2）： 182-186.

Hu Mingke， Jiang Yule， Li Chao， et al. Research and Application on Gravity Terrain Correction Method Based on Surface Integral[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration， 2015， 37（2）： 182-186.

[53] 王寶仁，陳耀. 重力地形改正的等效質(zhì)線法[J]. 石油地球物理勘探，1991，26（5）： 617-624.

Wang Baoren， Chen Yao. Equivalent Mass Line Method for Gravity Terrain Correction[J]. Oil Geophysical Prospecting， 1991， 26（5）： 617-624.

[54] Barrientos J H， Fernandez R. Gravity Terrain Corrections Using Gaussian Surfaces[J]. Geophysics， 1991， 56（5）： 724-730.

[55] 唐小平，劉寬厚，耿濤，等. 曲網(wǎng)格克里金網(wǎng)格化方法及其在重力測量近區(qū)地形改正中的應(yīng)用[J]. 物探與化探，2015，39（4）： 848-854.

Tang Xiaoping， Liu Kuanhou， Geng Tao， et al. Curved-Grid Kriging Gridding Method and Its Application to Near-Station Terrain Correction in Gravity Measurement[J]. Geophysical amp; Geochemical Exploration， 2015， 39（4）： 848-854.

[56] Wild P F. A Comparison of Different Mass Elements for Use in Gravity Gradiometry[J]. Journal of Geodesy， 2008， 82： 637-653.

[57] 杜勁松，陳超，梁青，等. 球冠體積分的重力異常正演方法及其與Tesseriod單元體泰勒級數(shù)展開方法的比較[J]. 測繪學報，2012，41（3）： 339-346.

Du Jinsong， Chen Chao， Liang Qing， et al. Gravity Anomaly Calculation Based on Volume Integral in Spherical Cap and Comparison with the Tesserio-Taylor Series Expansion Approach[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinca， 2012， 41（3）： 339-346.

[58] Anderson E G. The Effect of Topography on Solutions of Stokes’ Problem[R]. Kensington： University of New South Wales， 1976.

[59] LaFehr T R. AnExact Solution for the Gravity Curvature （Bullard B） Correction[J]. Geophysics， 1991， 56（8）： 1179-1184.

[60] Li X， Gtze H J. Ellipsoid， Geoid， Gravity， Geodesy， and Geophysics[J]. Geophysics， 2001， 66（6）： 1660-1668.

[61] 李增濤. 基于GRS80橢球面扇形柱體地形校正的實現(xiàn)[D]. 西安：長安大學，2008.

Li Zengtao. The Implement of Ellipsoidal Terrain Correction Based on the GRS80 Ellipsoid Using the Tesseroid Modelling[D]. Xi’an： Chang’an University， 2008.

[62] 劉士毅. 利用殘球殼模型研究重力測量外部改正方法[J]. 物探與化探，1985，9（1）： 25-32.

Liu Shiyi. The Utilization of Remnant Spherical Shell Model in the Study of Outer Correction for Gravity Survey[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 1985， 9（1）： 25-32.

[63] 安玉林，張明華，黃金明，等. 純球坐標系內(nèi)各項重力校正值計算方案和計算過程[J].物探與化探，2010，34（6）： 697-705.

An Yulin， Zhang Minghua， Huang Jinming， et al. The Computation Scheme and Computation Process for Gravity Correction Values Within the Pure Spherical Coordinate System[J]. Geophysical amp; Geochemical Exploration， 2010， 34（6）： 697-705.

[64] Ardalan A A， Safari A. Ellipsoidal Terrain Correction Based on Multi-Cylindrical Equal-Area Map Projection of the Reference Ellipsoid[J]. Journal of Geodesy， 2004， 78（1/2）： 114-123.

[65] 駱迪. 高精度重力測量外部校正新方法及其應(yīng)用研究[D].青島：中國石油大學（華東），2013.

Luo Di. Study on the External Correction Method of High-Precision Gravity Measurements and Its Application[D]. Qingdao： China University of Petroleum （East China）， 2013.

[66] 張誠，高飛，葉周潤，等. 基于極坐標的球面地形改正算法研究應(yīng)用[J]. 地球物理學進展，2017，32（6）： 2405-2408.

Zhang Cheng， Gao Fei， Ye Zhourun， et al. Research and Application of a Spherical Topography Correction Method in Terms of Polar Coordinate[J]. Progress in Geophysics， 2017， 32（6）： 2405-2408.

[67] Parker R L. The Rapid Calculation of Potential Anomalies[J]. Geophysics， 1973， 31（4）： 447-455.

[68] Parker R L. Improved Fourier Terrain Correction： Part Ⅰ[J]. Geophysics， 1995， 60（4）： 1007-1017.

[69] Parker R L. Improved Fourier Terrain Correction： Part Ⅱ[J]. Geophysics， 1996， 61（2）： 365-372.

[70] 黃謨濤，翟國君，管錚，等. 利用FFT技術(shù)計算地形改正和間接效應(yīng)[J]. 測繪學院學報，2000，17（4）： 242-246.

Huang Motao， Zhai Guojun， Guan Zheng， et al. On Computations of Terrain Correction and Indirect Effect Using FFT[J]. Journal of Institute of Survering and Mapping， 2000， 17（4）： 242-246.

[71] 吳黎明. 關(guān)于地形復雜地區(qū)地形改正的FFT算法[J].武漢測繪科技大學學報，1992，17（4）： 34-40.

Wu Liming. On the FFT Method of Terrain Correction Computation in Rough Mountain Areas[J]. Journal of Wuhan Technical University of Surveying and Mapping， 1992， 17（4）： 34-40.

[72] 龐振興，張傳定. 積分半徑可控地形改正FFT算法的研究[J].測繪科學，2009，34（4）： 188-190， 196.

Pang Zhenxing， Zhang Chuanding. Terrain Correction Computation by Controlling the Integral Radius Using the FFT Method[J]. Science of Surveying and Mapping， 2009， 34（4）：188-190， 196.

[73] 王萬銀， 潘作樞. 雙界面模型重力場快速正反演問題[J]. 石油物探，1993，32（2）： 81-87， 123.

Wang Wanyin， Pan Zuoshu. Fast Solution of Forward and Inverse Problems for Gravity Field in a Dual Interface Model[J]. Geophysical Prospecting for Petroleum， 1993， 32（2）： 81-87， 123.

[74] 孫雪潔，金紹華. 局部重力地形改正積分半徑的確定[J]. 測繪科學技術(shù)學報，2010，27（3）： 173-175.

Sun Xuejie， Jin Shaohua. Determination of Integral Radius in Gravitational Terrain Corrections[J]. Journal of Geomatics Science and Technology， 2010， 27（3）： 173-175.

[75] 楊亞斌，韓革命，梁萌. 重力近區(qū)地形改正精度探討[J]. 物探化探計算技術(shù)，2011，33（1）： 92-97.

Yang Yabin， Han Geming， Liang Meng. Gravity Near Zone Terrain Correction Precision Discussion[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration， 2011， 33（1）： 92-97.

[76] 高智超，王晨陽，李玉濤. 使用1：1萬數(shù)據(jù)地形圖進行重力近區(qū)地形改正方法試驗研究[J]. 物探化探計算技術(shù)，2015，37（1）： 61-64.

Gao Zhichao， Wang Chenyang， Li Yutao. Research of Gravity Near Zone Terrain Correction Methods Using 1∶10 000 Digital Topographic Map[J]. Computing Tehniques for Geophysical and Geochemical Exploration， 2015， 27（1）： 61-64.

[77] 高云軍，劉召芹，萬文輝，等. DEM網(wǎng)格間距對重力近區(qū)地形改正精度影響及驗證[J]. 測繪工程，2016，25（8）： 14-18.

Gao Yunjun， Liu Zhaoqin， Wan Wenhui， et al. Influence and Verification of DEM Grid Spacing on the Accuracy of Gravity Near-Region Terrain Correction[J]. Engineering of Surveying and Mapping， 2016， 25（8）： 14-18.

[78] 張精明，閆建強，王福民. WorldDEM數(shù)據(jù)在重力近區(qū)地形改正中的應(yīng)用研究[J]. 物探裝備，2018，28（2）： 94-98.

Zhang Jingming， Yan Jianqiang， Wang Fumin. Application of World DEM Data in Terrain Correction of Gravity Near-Region[J]. Equipment for Geophysical Prospecting， 2018， 28（2）： 94-98.

[79] 馮治漢. 重力中區(qū)地形改正系統(tǒng)的研制[J]. 物探與化探，2002，26（6）： 467-469.

Feng Zhihan. The Development of the Gravity Intermediate Area Topographic Correction System[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2002， 26（6）： 467-469.

[80] 張俊，張寶松，邸兵葉，等. 高程數(shù)據(jù)網(wǎng)格間距對重力中區(qū)地形改正精度的影響[J]. 物探與化探，2014，38（1）： 157-161.

Zhang Jun， Zhang Baosong， Di Bingye， et al. The Effect of Grid Spacing of Elevation on the Accuracy of Median Region Terrain Correction of Gravity[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2014， 38（1）： 157-161.

[81] 張國利，趙更新，王德啟，等. 基于DEM條件下對中區(qū)地改精度的計算方法[J]. 物探與化探，2013，37（6）： 1133-1140.

Zhang Guoli， Zhao Gengxin， Wang Deqi， et al. A Tentative Discussion on the Precision Calculation Method of Median Region Terrain Correction Based on Digital Elevation Model[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2013， 37（6）： 1133-1140.

[82] 馮治漢. 區(qū)域重力調(diào)查中的中區(qū)地形改正方法及精度[J]. 物探與化探，2007，31（5）： 455-458.

Feng Zhihan. A Tentative Discussion on the Median Region Gravity Terrain Correction Method in Regional Gravity Survey[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2007， 31（5）： 455-458.

[83] 劉生榮，高鵬，耿濤，等. 不同源DEM數(shù)據(jù)在高山區(qū)重力中區(qū)地形改正中的適用性[J]. 物探與化探，2019，43（5）： 1111-1118．

Liu Shengrong， Gao Peng， Geng Tao， et al．The Applicability of Different Sources DEM Data in Median Region Terrain Correction of Gravity in High Mountain Areas[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2019， 43（5）： 1111-1118．

[84] 趙更新，張國利，蘇永軍，等. 重力勘探中近區(qū)地形改正數(shù)據(jù)測量方法的試驗[J]. 物探與化探，2012，36（6）： 952-955.

Zhao Gengxin， Zhang Guoli， Su Yongjun， et al. An Experimental Study of the Data Measurement Method for Near-Region Terrain Correction in Gravity Exploration[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2012， 36（6）： 952-955.

[85] 李忠平，戴廣凱，張茂輝. DEM網(wǎng)格間距對重力遠區(qū)地改精度的影響及效果[J]. 物探與化探，2020，44（6）： 1399-1407.

Li Zhongping， Dai Guangkai， Zhang Maohui. The Impact and Effect of DEM Grid Spacing on the Accuracy of Gravity Remote Topographic Correction[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2020， 44（6）： 1399-1407.

[86] 張菲菲，王萬銀，李倩，等. DEM網(wǎng)格間距及校正半徑對重力地形校正的影響[J].物探與化探，2023，47（3）： 597-607.

Zhang Feifei， Wang Wanyin， Li Qian， et al. Influence of DEM Grid Spacing and Correction Radius on Terrain Correction in Gravity Exploration[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2023， 47（3）： 597-607.

[87] 劉紹府. 區(qū)域重力測量中地形改正最大半徑的確定[J]. 地殼形變與地震，1988，8（1）： 55-58.

Liu Shaofu. Determination of the Maximum Radius for Terrain Correction in Regional Gravity Measurement[J]. Crustal Deformation and Earthquake， 1988， 8（1）： 55-58.

[88] 孫剛. 重力勘探地形改正最大半徑的選擇[J]. 煤田地質(zhì)與勘探， 1994， 22（1）： 43-47.

Sun Gang. How Choose the Largest Radius of Topographic Amendment of Data of Gravity Surveys[J]. Coal Geology amp; Exploration， 1994， 22（1）： 43-47.

[89] 毛小平，曲贊，吳沖龍. 山形重力異常的成因機制及消除方法[J]. 石油地球物理勘探，1999，34（1）： 65-70.

Mao Xiaoping， Qu Zan， Wu Chonglong. Cause of Mount-Shape Gravity Anomaly and the Method to Remove It[J]. Oil Geophysical Prospecting， 1999， 34（1）： 65-70.

[90] 鐘華，張海玲，劉和花，等. 估計重力地改最佳地層密度值的面積相關(guān)法[J]. 物探與化探，2013，37（3）： 512-516.

Zhong Hua， Zhang Hailing， Liu Hehua， et al. The Area Relevant Method for Estimating Optimal Stratigraphic Density in Gravity Terrain Correction[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2013， 37（3）： 512-516.

[91] 嚴良俊，萬鵬，姚長利. 布格重力異常求取中的變密度校正方法與應(yīng)用[J]. 工程地球物理學報，2005，2（3）： 177-180.

Yan Liangjun， Wan Peng， Yao Changli. The Study on the Correction Method of Variable Density for the Medial Stratum in Gravity Prospecting[J]. Chinese Journal of Engineering Geophysics， 2005， 2（3）： 177-180.

[92] 蔡尚中. 回歸分析在區(qū)域重力資料處理中的應(yīng)用[J].物化探計算技術(shù)，1986，8（3）： 231-236.

Cai Shangzhong. The Application of Regreesion Analysis to Treating Regional Gravity Data[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration， 1986， 8（3）： 231-236.

[93] 袁建國. 逐點滑動式黃土密度補償校正法及其應(yīng)用[J].石油地球物理勘探，1996，31（增刊1）： 122-124， 148.

Yuan Jianguo. Method and Application of Loess Density Compensation Correction Using Pointwise Sliding[J]. Oil Geophysical Prospecting， 1996， 31（Sup. 1）： 122-124， 148.

[94] 高維強，史朝洋，張利明，等. 山區(qū)地形改正密度逐次回歸選取方法[J]. 物探與化探，2021，45（6）： 1530-1538.

Gao Weiqiang， Shi Zhaoyang， Zhang Liming， et al. Successive Regression for Determining the Optimum Terrain Correction Density in Mountainous Areas[J]. Geophysical and Geochemical Exploration， 2021， 45（6）： 1530-1538.