一道高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題的多角度解法探討

【摘要】2024年九省聯(lián)考中新的試題結(jié)構(gòu)和命題方向成為關(guān)注的焦點(diǎn).其中最引人注意的一點(diǎn)莫過于原本作為壓軸題的導(dǎo)數(shù)題前移，難度降低.因此，應(yīng)對(duì)導(dǎo)數(shù)題的方法也要相應(yīng)改變，要注重思維難度和計(jì)算量的平衡.本文從多角度探究一道難度中等的高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題的解法，以期拋磚引玉.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；解題技巧

1" 試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=ex－ax2，若f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

2" 試題解析

方法1" 因?yàn)閒（x）=ex－ax2，

則f′（x）=ex－2ax，xgt;0.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）gt;0恒成立，

所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

則f（x）gt;f（0）=1，顯然函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無零點(diǎn).

當(dāng)agt;0時(shí)，f″（x）=ex－2a，

由f″（x）=0可得x=ln2a.

若ln2a≤0，即0lt;a≤12，

則f″（x）gt;0在（0，+∞）上恒成立，

所以f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f′（x）gt;f′（0）=1gt;0，

則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）gt;f（0）=1，則f（x）在（0，+∞）上無零點(diǎn).

若ln2agt;0，即agt;12，可得f′（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減，在（ln2a，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f′（x）的最小值為f′（ln2a）=2a（1－ln2a）.

（1）當(dāng)1－ln2a≥0，即12lt;a≤e2時(shí)，

f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f（x）gt;f（0）=1，顯然f（x）在（0，+∞）上無零點(diǎn).

（2）當(dāng)1－ln2alt;0，即agt;e2時(shí)，由于f′（0）=1gt;0，且當(dāng)x趨向于正無窮時(shí)，f′（x）趨向于正無窮，所以f′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2.

不妨設(shè)0lt;x1lt;ln2alt;x2，故由f′（x）gt;0得0lt;xlt;x1或xgt;x2，由f′（x）lt;0得x1lt;xlt;x2，所以f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒（0）=1，要使f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，則只需要f′（x2）=0，f（x2）=0，

即ex2=2ax2，ex2=ax22，

所以x2=2，a=e24，

又因?yàn)閑24gt;e2，

故a=e24.

評(píng)析" 此方法的優(yōu)點(diǎn)在于思路直接，但是計(jì)算量大并且過程中還需要對(duì)參數(shù)的正負(fù)、導(dǎo)函數(shù)的最值等進(jìn)行煩瑣的

分類討論，因此這種解法所消耗的時(shí)間并不能適應(yīng)高考改革后的試卷結(jié)構(gòu).但是深挖其本質(zhì)，其遵循了解答導(dǎo)數(shù)問題的基本思路，即以研究函數(shù)f（x）的形態(tài)為目的，以剖析f′（x）的正負(fù)為關(guān)鍵，最終得到導(dǎo)函數(shù)的最值，并對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的存在條件進(jìn)行討論，值得借鑒.

方法2" 函數(shù)f（x）在上（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程ex－ax2=0在（0，+∞）上的根只有一個(gè)，所以方程a=exx2的正根只有一個(gè).

設(shè)g（x）=exx2，xgt;0，

則g′（x）=exx2－2xexx4=ex（x－2）x3.

由g′（x）=0得x=2；

由g′（x）gt;0得xgt;2；

由g′（x）lt;0得0lt;xlt;2.

所以g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，

則g（x）min=g（2）=e24.

易得ex－x2gt;1對(duì)于xgt;0恒成立，當(dāng)x趨于0時(shí)，g（x）趨于正無窮，當(dāng)x趨于正無窮時(shí)，g（x）趨于正無窮，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=g（x）min=e24時(shí)，方程a=exx2的正根只有一個(gè)，即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，故a=e24.

評(píng)析" 此方法體現(xiàn)了方程思想和數(shù)學(xué)問題的共通性.函數(shù)零點(diǎn)問題等價(jià)于方程的根的問題，因此可以在此基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形.考慮到這是一個(gè)含參函數(shù)，所以常用的變形方式就是“參變分離”.之后再由分離后的方程形式構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)的性質(zhì)，將原本的函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為直線和曲線的交點(diǎn)問題，避免了煩瑣的分類討論，思路直觀，計(jì)算量小，是此題的一個(gè)妙解.

方法3" 同理方程ex－ax2=0在（0，+∞）上的根只有一個(gè)，顯然agt;0.

由ex=ax2可得x=lna+2lnx，即方程x－2lnx－lna=0的正根只有一個(gè).

設(shè)φ（x）=x－2lnx－lna（xgt;0），則函數(shù)φ（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

φ′（x）=1－2x=x－2x，

所以φ（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增.

又當(dāng)x趨于0時(shí)，φ（x）趨于正無窮；

當(dāng)x趨于正無窮時(shí)，φ（x）趨于正無窮.

所以當(dāng)且僅當(dāng)φ（2）=0，

即lna=2－2ln2=lne24，

則a=e24.

評(píng)析" 此方法同樣利用了方程思想，先對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形，再針對(duì)新的函數(shù)的形式求導(dǎo)討論，過程中保證了轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.與方法2不同的是，此方法靈活運(yùn)用了指數(shù)和對(duì)數(shù)變形，在參數(shù)agt;0的條件下，對(duì)方程的兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，使形式大大簡(jiǎn)化.在此基礎(chǔ)上研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)一步得到零點(diǎn)就輕而易舉了.

3" 結(jié)語

總的來說，解答導(dǎo)數(shù)問題很好地體現(xiàn)了一句話“萬事開頭難”，由三種解法可以看出，如果對(duì)函數(shù)式不加變形，直接求導(dǎo)研究，計(jì)算量大，分類討論煩瑣，并不能為新高考背景下的高考數(shù)學(xué)試卷的大題部分留下充足的解答時(shí)間.但是“只要肯攀登”，掌握不同類型函數(shù)的變形技巧，如本題中含參函數(shù)要“參變分離”，指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)要“指對(duì)數(shù)變形”，使其形式簡(jiǎn)化，同時(shí)靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，解題思路就會(huì)更加清晰，問題也自然會(huì)迎刃而解.所以多思考，才能巧解題.