操作體驗 追根溯源 整體聯結

“圖形的認識”與“測量”作為重要的數學內容與思想，承載著獨特的育人價值。談起學生在該領域學習中的錯誤，不少教師會將采用大量的練習進行強化應對，造成學生學習興趣下降、學習力缺失。錯誤作為一種具有特殊意義的教學資源，教師要發揮它的反饋功能，把它變成新能源，從“對或錯的評定”到“了解水平層次”，關注學生思維水平的差異，不斷地修正教學。下面筆者結合“圖形的認識”與“測量”教學中的一些實踐，對幾例常見錯誤作分析，提出從操作體驗、追溯關鍵、整體聯結三個方面改進教學，促進學生提升認知與數學思維能力。

一、操作體驗，感悟本質

著名心理學家皮亞杰認為“活動是認識的基礎，動作是智慧的根源”。圖形測量教學中，教師要為學生提供動手操作的機會，通過直接經驗或具身體驗，實現由動手到動腦，達到由做啟思。長度是學生學習測量的第一種屬性，是對現實生活中物體長短這一屬性的刻畫。學習這一內容時，學生常出現以下錯誤：

（1）學生過度關注尺子的端點，忽略它的長度。不看物體左邊與尺子的對齊情況，只讀物體右邊與尺子對齊的刻度。

（2）數刻度線，不關注測量單位。究其原因，是學生忽略了對度量意義的感受，對“為什么要度量，度量的本質是什么”不明白；測量活動缺失，導致對量的感悟不夠。

用自選單位進行累加測量也是最本質的測量，是人類認識的一般過程。因此測量教學通常從非標準化測量單位開始，重視培養學生單位長度累加的意識。教師可以通過設計豐富的測量活動，引導學生深刻理解測量的本質是將相同的單位長度累加在一起。

活動一：量一量課桌有多長。

鼓勵學生思考、提出、分析和解決問題：哪兒是課桌的長？到底有多長？活動中教師進行觀察，參與討論，掌握學生對長度測量的理解情況。觀察學生是否知道需要把測量單位無重疊無空隙地排成一條直線，或呈現學生測量的各種錯誤，包括有空隙、有重疊、一次測量中使用大小不同的單位、沿物體擺放的尺子有滑動等情況，啟發學生解釋這些測量為什么不準確。

活動二：用兩種顏色的卡紙做一把厘米尺。

鼓勵學生探索用尺子測量長度的多種方法，用一些小紙條作為單位，通過首尾相接的方式粘貼在卡紙上。出示標準化的尺子，讓大家找到并討論與自制的尺子有什么相同與不同的地方。通過比較交流，明白單位是什么、數字表示什么、刻度線的作用是什么、測量從哪里開始等，突破“數字表示刻度線的個數”“數刻度線”這一障礙，知道重要的是尺子上的空格，理解數字表示測量單位或刻度之間的間隔個數。

二、直面困惑，追溯關鍵

學習的過程是一個不斷糾錯的過程，學生在學習中產生的難點、易錯點，是進一步學習的重要資源。三角形在小學數學“幾何圖形”領域是一個非常重要的內容，四年級學生受生活經驗、思維特點的影響，對三角形“穩定性”的理解有困難。這樣的一道練習便讓孩子犯了難：淘氣和笑笑分別用3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒擺了一個三角形，這兩個三角形形狀相同嗎？大小相等嗎？

教師基于問題“你認為什么是三角形的穩定性？”對學生進行調研，有的學生會認為三角形的穩定性就是不容易拉動、不容易變形。這些學生僅從三角形穩定性的物理屬性，即牢固性的角度去理解，并沒有從本質屬性去理解。可見讓學生從本質層面去理解三角形的穩定性是難點。教學中，如何引導學生感悟“三角形的穩定性”呢？筆者基于“三角形有什么特性”這一關鍵問題，通過提供“實驗支架”，帶領學生探尋三角形穩定性的本質屬性。

活動一：學生圍一圍、比一比、說一說。教師為每個小組提供的小棒材料相同，長度有相同，也有不同。經過操作探究，分類展示交流：

（1）小棒一樣長（圍成等邊三角形→一模一樣的→形狀、大小都一樣）

（2）小棒不一樣長（圍成的三角形有三種情況→擺的位置不一樣并不代表三種情況→通過平移、旋轉能讓它們重合在一起→它們的形狀、大小都一樣）

活動二：想一想，議一議。用3厘米、4厘米和5厘米的三條線段，能圍出幾種三角形呢？學生能夠理解拼接出的三角形形狀和大小都相同，但是對形狀一致性和穩定性之間的對等關系卻很難理解。于是，聚焦問題：三角形為什么具有穩定性？讓學生在“玩”中思辨，深入理解“穩定性”。

活動三：拉一拉平行四邊形，什么不變？什么變？得到結論：平行四邊形的邊沒變，周長也就不變；平行四邊形的角變了、高變了、面積也變了，平行四邊形變形是因為角的大小改變。

活動四：讓三角形的角變化，會出現什么情況？（1）玩一玩，觀察夾角變化與邊長度的關系（學具：兩根小棒、一根皮筋）。發現兩根小棒張開的角越大，皮筋這條邊就越長；兩根小棒張開的角越小，皮筋這條邊就越短。（2）想一想，怎樣讓兩根小棒所夾的角大小不變？讓一根小棒固定，拉一拉，有什么感覺？為什么會紋絲不動？發現三角形中角變化，與其相對的邊也會隨之變化；邊與角都不變，三角形的形狀和大小也不變，即三角形的穩定性。

通過玩一玩，學生可發現“不易變形”與“唯一性”之間的聯系，感受三角形穩定性的數學本質。學習不止于蜻蜓點水、走馬觀花，而是直面困惑、追根溯源，學生要真探究，真“悟”，自主完善認知結構。

三、整體聯結，融通生長

在小學數學中，越靠近本質的知識，總是在不同的年級、不同的學段螺旋上升安排。教師必然要用發展的眼光來推進學習。四年級的教師常花大筆墨去強化與放大角度量的基本規則：量角器的中心點對準角的頂點，量角器的0刻度線對準角的一條邊。可收效甚微，學生用量角器量角和畫角的時候，仍屢屢出錯，如混淆內外圈刻度、0度刻度線沒有與角的一邊完全重合，導致測量結果有偏差。

比規則更重要的是什么呢？學生是否真正理解角的度量的內在原理？學生是否能夠在看似模糊的度量活動中不斷積累度量的經驗，并最終總結出規則來？“角的度量”隸屬于度量的范疇，它與其他度量活動具有內在的一致性，是度量的又一次延伸，雖豐富了度量的內涵，但沒有改變度量的本質。因此，教師可以把新知的學習聯結學生原有的思維框架與認知背景，做如下嘗試：

（1）對于“長度的度量”，你想提什么問題？

學生提出并討論：長度單位有哪些？為何要用長度單位？度量長度的工具是什么？為何要用尺子？如何用直尺度量長度？是讀數，還是比較？

（2）“角的度量”需要解決哪些問題？

組織學生聚焦問題，獨立思考、匯報交流。度量角的大小需要單位嗎？度量單位是什么？能在量角器上找到角的單位嗎？有多少個？有幾種？怎樣用量角器度量角的大小？

（3）提出困惑、小組學習。

量角器為什么有“兩圈刻度”？為什么采用“半圓形”？為什么半圈是180度？在系列問題的思考與交流中，感受到度量工具與度量單位之間的內在關聯，理解度量工具。

綜上所述，錯誤是學生學習的產物，教師唯有追根溯源，反思改進教學，重視操作體驗，聚焦困惑，通過整體聯結，促進融通生長，才能讓素養落地。

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2021年課題——整體建構視角下的小學數學“圖形與幾何”領域的教學實踐研究（FJJKZX21-205）。