排列組合問題的常見解題技巧分析

【摘要】排列組合是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，相關(guān)問題是高考數(shù)學(xué)的必考題型.排列組合知識較其他內(nèi)容而言更貼近生活，合理運用解題思路和方法就能正確解題.排列組合問題的解答方法靈活多變，明確解題方法的適用范圍與步驟能夠幫助學(xué)生更清晰地理解題意，解決問題.本文主要對排列組合問題的解題方法進行總結(jié)與分析，給予學(xué)生更多經(jīng)驗和啟發(fā).

【關(guān)鍵詞】排列組合；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

1捆綁法

捆綁法是指問題中存在相鄰排列組合要求時，把兩個或兩個以上的元素“捆綁”得到一個整體或一個元素，進一步和其他元素排列組合的方法.主要的解題思路是：（1）分析題意，確定相鄰排列要求的元素個數(shù)m和排列組合元素總個數(shù)n；（2）對捆綁后得到的元素個數(shù)進行排列組合，列式可得An－m+1n－m+1；（3）由于捆綁的位置不固定，有Amm種可能性；（4）憑分步計數(shù)原理，相乘運算求解，得到所有方案個數(shù).

例1小美一家7口人站成一排拍合照，要求小美的爸爸和媽媽必須相鄰而站，一共有多少種不同的站法？

分析問題中需要相鄰排列的元素有2個，即小美的爸爸和媽媽，捆綁后則一共有6個元素排列組合.首先對6個元素排列組合，再對“捆綁”在一起的兩人進行內(nèi)部排列組合，最終計算式為A66·A22，運算即可求出總共的站法.

解將爸爸媽媽視為一個整體，則隨機排成一排的方法數(shù)為：A66種；

再對爸爸媽媽之間的順序進行排列，則排列的方法數(shù)有：A22種，

故小美一家的家庭合照站法一共有A66·A22=1440種.

2優(yōu)先法

優(yōu)先法是指問題有特殊排列組合要求，需要優(yōu)先考慮特殊元素，再對其他不做要求的元素排列組合，繼而運算求解的方法.在對有特殊要求的元素排列組合時，優(yōu)先法較其他方法而言更具有優(yōu)勢.運用該方法求解問題的主要的思路為：①根據(jù)題意確定特殊要求的元素個數(shù)m，列式得到Amm；②對剩余不做要求的n－m個元素排列組合，得到算式An－mn－m；③根據(jù)分步計數(shù)原理，兩式相乘計算得到所求值.

例2現(xiàn)有數(shù)字0，5，6，7，8，9，這六個數(shù)字可以組合成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有種可能.

分析該問題的特殊要求為四位數(shù)是偶數(shù)，故個位數(shù)有限制，只有0，6，8可以參與特殊要求的組合.問題還包含特殊元素0，排列組合時不能出現(xiàn)在千位數(shù)上，求解時要特別注意.故分為個位數(shù)是0和不是0兩種情況討論，最后將兩類情況的組合數(shù)相加，即可得到符合題意的排列組合總個數(shù).

解首先安排特殊元素0，

①個位數(shù)為0，則剩下的所有數(shù)字都可以在剩下的三個位置上，有A35種方式；

②個位數(shù)不為0，則千位數(shù)也不能為0，

先確定最后一位數(shù)字，從6，8中選出1個，則有C12種方式；

再確定千位數(shù)，在已經(jīng)確定的末位數(shù)字和除0以外的四個數(shù)字中任選一個，則有C14種；

最后再確定中間的兩個數(shù)字，此時不需要排除0，則有A24種方式.

滿足題目要求的方式一共有A35+C12C14A24=156個不同的四位偶數(shù).

3隔板法

隔板法屬于解答排列組合問題常見的一種方法，具體是指在n個相同的元素形成的n－1個空隙中插入m塊板使其分為m+1組，常常用來解答相同元素的分組問題.一般解題思路為：①分析題意，明確參與排列組合的元素個數(shù)n以及分配的組數(shù)m；②結(jié)合具體條件，列出計算式Cm－1n－1并運算，求出對應(yīng)的分配方法.

例3現(xiàn)有10個橘子要分給幼兒園的4個小朋友，要求每個小朋友手上至少有1個橘子，則不同的分配方法有" " " " "種.

分析對問題條件分析，可得問題中參與分配的元素個數(shù)為10，即10個待分配的橘子，組數(shù)為4，即4個小朋友.故問題轉(zhuǎn)化為把3塊隔板插入10個元素形成的9個空隙中，列式并計算即可求出分配的不同方法個數(shù).

解由題意可得，10個橘子排成一排可形成9個空，

從9個空中任選3個空插入隔板，使其分為4組，則有C39種，

故不同的分配方法有84種.

變式從古至今，數(shù)字“8”一直是熱門的數(shù)字，在人們看來數(shù)字“8”擁有好運、幸運的寓意.如果一個四位數(shù)，各個位置上數(shù)字之和等于8，這樣的數(shù)稱為“幸運數(shù)”（比如1223就是一個“幸運數(shù)”），則所有的“幸運數(shù)”有" " " ""個.

分析類似已知總和和組數(shù)求排列組合方案個數(shù)的問題都能運用隔板法解答問題，該題的位置數(shù)字之和固定，位數(shù)已知，只要對數(shù)字0所處位置分類討論，就能分別運用隔板法求解問題，并綜合得到答案個數(shù).

解根據(jù)題意，原題可轉(zhuǎn)化為8個小球分成4組且第一組數(shù)量不為0的排列組合問題，8個相同小球排成一排，兩兩之間共有7個空位（不含頭尾）.

若“幸運數(shù)”中四個位置數(shù)字都不為0，則在7個空位中隨機插入3個隔板，將小球分成4組，共有C37=35組，因而可組成滿足題意條件的四位數(shù)有35個；

若“幸運數(shù)”中四個位置數(shù)字有1個0，則需要在7個空位中隨機插入2個隔板，可以將小球分成個數(shù)不為0的3組，共有C27組，由于0可以作為百位、十位、個位上的數(shù)字，此時共有3×C27=63個數(shù)字；

若“幸運數(shù)”中四個位置數(shù)字有2個0，需要在7個空位中隨機插入1個隔板，可將小球分成個數(shù)不為0的2組，共有C17組，由于0可以作為百位、十位、個位上其中兩位數(shù)字，此時共有C23×C17=21可能；

若“幸運數(shù)”中四個位置數(shù)字有3個0，只有一種情況即此四位數(shù)為8000.

綜上，一共有35+63+21+1=120（個）幸運數(shù).

4插空法

插空法與隔板法相似但不相同，插空法是把需要排列組合的元素插入已經(jīng)排列過的元素的間隔中，隔板法只是通過插入隔板將元素分組，兩種方法各有適用范圍.運用該方法解題，具體過程為：①確定不能相鄰排列的元素個數(shù)m，對剩余不做要求的元素排列組合；②將m個元素隨機插入剩余n個元素形成的n+1個空位中，可列式表示為Amn+1；③運算求解得到可能方案個數(shù).

例4某道路上共有20盞路燈排成一列，為了節(jié)約用電，街道打算關(guān)閉3盞路燈，頭尾2盞路燈不能關(guān)閉，關(guān)掉的相鄰2盞路燈之間至少有2盞亮的路燈，則不同的方案種數(shù)是（）

（A）324.（B）364.（C）560.（D）680.

分析首先按照要求關(guān)閉路燈，要在點亮的15盞路燈形成的間隔中找到空位插入3盞熄滅的路燈，首尾間隔不能插入，且需要分析關(guān)掉的相鄰2盞路燈之間至少有2盞亮的路燈可能出現(xiàn)的情況，才能列式運算求解.

解將20盞路燈分成2盞，3盞，15盞共3組，先把15盞亮的路燈排成一列，把3盞關(guān)掉的路燈插空，而頭尾2盞路燈不能關(guān)閉，

所以在除頭尾之外的14個空位中插入3盞熄滅的路燈，共有C314=364種方法，

在每2盞關(guān)閉的路燈之間各放入1盞亮著的路燈，且路燈無差異，保證關(guān)掉的相鄰2盞路燈之間至少有2盞亮的路燈，只有1種方法，

綜上，共有364×1=364種方案，正確答案為選項（B）.

5結(jié)語

通過對以上排列組合問題的不同解答方法的介紹和解題思路分析，不難發(fā)現(xiàn)每種方法的運用都對應(yīng)著一定的范圍，因此解決排列組合問題首先要理清題意，明確問題所求，其次采取對應(yīng)的解題方法，才能對問題做出正確解答.運用正確合理的方法解題，不僅能提升處理問題的效率，也能提高解答問題的準(zhǔn)確性.

參考文獻：

[1]彭耿鈴.探析排列組合常見的十六種解題方法[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)、高考數(shù)學(xué)），2023（08）：20-24.

[2]崔國虎.幾類常見排列組合問題解題策略[J]．試題與研究（教學(xué)論壇），2020（09）：114.