奇妙的幻方

日期：2月18日" 星期二

天氣：晴朗無云

從圖書館回到陸小豆家中，已經快晚上六點了。陸小豆爸媽忙著準備晚餐，而我則和陸小豆在書房研究起奇妙的“幻方”！

“幻方”在英文中叫做“Magic Square”，直接由字面翻譯就成了“魔術方陣”或“魔方陣”。它還有很多講法，比方“縱橫圖”“奇方”，日本人則把它叫做“方陣”。而三階（3×3）的幻方，在我們中國還有個特別的名字，叫作“九宮”。

“幻方”的由來可以回溯到四千年前的古老年代。相傳大禹治水時，曾經在洛水之中看見一只大龜，龜甲上有一幅由許多圓點組成的奇妙圖案。這個圖案一共有45個圓點，而它的數字就是九宮圖。后人把這個圖叫作“洛書”，由于它每一行、每一列及對角在線的三個數字和都等于15，古人認為這是個吉祥的象征，還常把它畫在紙上隨身攜帶，當作護身符。

呵呵，有點迷信耶！而且烏龜背上怎么會有這樣的圖？

迷不迷信不是重點！古老的年代總會和神話扯上點關系！來，既然學校老師介紹過這個“幻方”，那你知道它是怎么造出來的嗎？

耶……就是那樣啊……

呵呵，又來了！明明就不知道！還是我告訴你吧！從1到9這九個數字中選出三個湊成15，有幾種方法？

陸小豆開始在紙上寫出一列列式子。

9＋1＋5＝15" " "9＋2＋4＝15

8＋1＋6＝15" " "8＋2＋5＝15

8＋3＋4＝15" " "7＋2＋6＝15

7＋3＋5＝15" " "6＋5＋4＝15

嗯……一共八個對不對？

沒錯！那我問你，這八個式子中，誰出現最多次？

15啊！

哎喲！我是說1到9誰出現最多次啦？來來來，你干脆統計一下每個數字出現的次數吧！

很好！現在你看看這個九宮格，正中心這一格（圖一）有一行、一列和兩條對角線通過，所以這個數字出現了四次，你說應該放誰？

當然是5嘍！

正確！那角落的四個格子（圖二），有一行、一列和一條對角線通過……

所以放出現三次的數字對不對？

沒錯！所以2、4、6、8這四個數字應該擺在四個角落，而最后剩下的1、3、7、9四個數字，就放在出現兩次的邊上的四格（圖三）。

因為正中央是5，而對角線加起來要等于15，所以只要湊出兩對10就行了。就像這樣：2、8一對，4、6一對（圖四）！

是是是！大數學家！

幻方的每一行、每一列及對角在線的數字和都相等，我們把這個和數叫作“魔數”。為什么三階幻方的魔數是15呢？

因為1到9的總和是45，而三階幻方有三列，所以一列的和就等于45÷3，也就是15。

我們剛剛談的都是最簡單的三階幻方，事實上人們已經發展出各式各樣高階或更復雜的幻方。吃過晚飯我們繼續研究了更高級的幻方。

在介紹其他幻方之前，我突然想起三階幻方還有一個有趣的現象沒告訴你！

是什么呀？

從之前的討論，我們已經知道這兩個式子對不對？

2＋9＋4＝6＋1＋8

2＋7＋6＝4＋3＋8

對呀！都等于15啊！這有什么特別的？

當然有玄機！你瞧，如果我把每個數都平方，結果還是相等喔！

22＋92＋42＝62＋12＋82

22＋72＋62＝42＋32＋82

陸小豆似乎充滿興趣，拿出計算器驗算，發現果然無誤。

后來，我用五階幻方做例子教了陸小豆一種適用于任何奇數階幻方的制作方法。

中間藍色粗框圍住的區域是5×5的方格，我們把1到25的數字以這樣的方式填上去之后，不是有些會落在外面嗎？接下來只要把外面的數字放進里頭相同顏色的格子里，就完成了五階幻方了。

五階幻方的魔數是65，剛好是正中央數字13的五倍。

陸小豆問我是否有制作偶數階幻方的方法，只可惜并沒有一個通用的方法來構建偶數階的幻方。事實上，二階的幻方是不存在的，最小的偶數階幻方是四階。

古今中外都有人研究，更發現了許多的解法。這其中有兩個人值得提一提：一位是中國南宋的數學家楊輝，他可算是歷史上第一位把幻方當成數學問題來深入研究的人！他在一本著作中記錄了三到十階的幻方還有其他變體共十三種；另外一位是文藝復興時期的德國藝術家兼數學家杜勒，他在公元1514年制作了一幅版畫，名叫“憂郁”，在圖的右上角就刻上了一個四階的幻方，更有趣的是，制作年份1514就出現在幻方的最下頭。

這個幻方不但符合一般幻方的要求，如果你把它從中央劃十字切成四份，每一份的和也都等于魔數34。

16＋3＋5＋10

＝2＋13＋11＋8

＝9＋6＋4＋15

＝7＋12＋14＋1

＝34

我在回家之前，最后給陸小豆介紹了一個神奇的“六角幻方”。

這個“六角幻方”被譽為數學寶庫中的“稀世珍寶”，是一位叫作亞當斯的英國人，花了50年的光陰才找出來的。這個幻方由1到19的數字排列而成，你可以計算一下，它每條直線上的數字和都等于38。

小學霸們，你要是有興趣，也創造一個屬于自己的幻方吧，說不定也會名留青史哦！