橙子、炮彈與難題：開普勒的猜想

仔細(xì)觀察超市里的蘋果、橘子，這些圓滾滾的水果是怎么在貨架上堆起來的？其實(shí)，水果的堆法里隱藏著一個(gè)非常有趣的數(shù)學(xué)問題——開普勒猜想！

什么是開普勒猜想

1590 年， 正值大航海時(shí)代，英國人開著軍艦在全世界開拓殖民地。為了掠奪他國資源，英國軍艦都會(huì)攜帶大炮和大量炮彈，當(dāng)時(shí)，炮彈的外形都是球體。在日復(fù)一日的掠奪中，一名英國海軍軍官沃爾特·雷利和他的助手托馬斯·哈里奧特就船上攜帶的炮彈數(shù)量展開了討論。

沒過多久，著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家開普勒（1572年—1630年）收到了托馬斯的來信。他對(duì)托馬斯提出的“怎樣堆放球體，才能使占用的空間最少”問題非常感興趣，并開始了對(duì)這個(gè)問題的研究。

托馬斯，船上空間狹小，我們?cè)趺床拍茉谟邢薜拇摾镅b入更多的炮彈？最節(jié)約空間的炮彈堆放方式是什么？

船長， 這問題太難了。我寫信問問數(shù)學(xué)家開普勒，他一定有解決辦法！

開普勒研究了3種球體堆積方式，分別是：簡單立方堆積、六方密堆積和面心立方堆。

簡單立方堆積：球體像正方體的頂點(diǎn)一樣排列，每層球都像棋盤上的方格一樣，層與層直接對(duì)齊，形成一個(gè)簡單的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。

六方密堆積：每層的小球都排列成類似蜂窩結(jié)構(gòu)，即每個(gè)球接觸周圍6個(gè)球，把第2層小球放在最底層球之間的空隙中，第3層放到和第1層一樣的地方，以此類推。

面心立方堆積：和六方密堆積類似，每層的小球都排列成類似蜂窩結(jié)構(gòu)，即每個(gè)球接觸周圍6個(gè)球，把第2層小球放在最底層球之間的空隙中，但第3層的位置和第1層不一樣。第4層和第1層一樣，第5層和第2層一樣，第6層和第3層一樣，以此類推。

1611年，開普勒在自己的《關(guān)于六角雪花》一書中發(fā)表了上面的研究成果，并做了一個(gè)總結(jié)：把大小一樣的球的每一層都擺成蜂窩狀，往上每一層的球都堆在下一層的空隙里，這樣球體能占用的空間最多，約為74.048%。這就是開普勒猜想，也稱“最密堆積問題”。

二維平面上的證明之路

雖然開普勒猜想看上去非常合理，但開普勒沒有給出任何證明。在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)界，任何結(jié)論都需要經(jīng)過嚴(yán)格的證明才能被稱為“定律”。

總而言之，數(shù)學(xué)家們就這樣開始了開普勒猜想的證明之路。很多著名的數(shù)學(xué)家都研究過這個(gè)問題，但都沒有下文，連牛頓都沒能解決這個(gè)問題。直到18世紀(jì)，法國著名數(shù)學(xué)家拉格朗日（1736年—1813年）在這一問題才有了一點(diǎn)進(jìn)步。這時(shí)距離開普勒猜想第一次被提出已經(jīng)過了約160年。

拉格朗日決定另辟蹊徑，從二維平面入手。所謂二維平面上的開普勒猜想，指的是在一個(gè)平面上，要如何排列相同大小的圓，使得單位面積內(nèi)能夠容納最多的圓。這也被稱為“二維圓堆積問題”。

最容易想到的方式是整整齊齊的水平、橫縱排列圓，橫向排列8個(gè)圓，縱向則排列5個(gè)圓，如此一來，我們能夠在正方形里畫40個(gè)圓。

這種方法并不是最好，換一種思路。如果讓圓都排列成如下圖所示的蜂窩形狀，最終可以畫41個(gè)圓。這種堆積方式被叫作“六角密堆積”。

拉格朗日最后證明，在二維平面上，當(dāng)圓有規(guī)則擺放時(shí)，六角密堆積對(duì)空間的利用率是最高的，能達(dá)到90.69%！有意思的是，如果你仔細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)三維空間里的最密堆積的每一層都是二維平面里的最密堆積。

到了19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（1864年—1909年）進(jìn)一步完善了拉格朗日的證明；到了1940年，匈牙利數(shù)學(xué)家拉斯洛·托特（1915年—2005年）最終證明：不論規(guī)則排列或不規(guī)則排列，六角密堆積就是圓的最密排列方式。就這樣，二維平面的開普勒猜想的問題終于有了答案！

三維空間里的證明之路

接下來，我們把視線轉(zhuǎn)向三維世界。這里的球體堆積要比平面上的圓堆積復(fù)雜得多。下面，一位數(shù)學(xué)界的巨星登場(chǎng)了，他就是被稱為“數(shù)學(xué)之王”的高斯（1777年—1855年）。1831年，高斯證明了，當(dāng)球在空間里規(guī)則排列時(shí)，開普勒猜想是正確的。但在此之后，開普勒猜想的證明工作再度停滯。在1900年的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，數(shù)學(xué)家希爾伯特（1862年—1943年）因此將其列入了著名的“23個(gè)未解數(shù)學(xué)難題”中，屬于第18個(gè)問題的一部分。

希爾伯特的23個(gè)問題影響了整個(gè)數(shù)學(xué)界，很多人開始嘗試證明開普勒猜想，但直到1953年才迎來真正的突破。

前面提到的曾經(jīng)“立功”的匈牙利數(shù)學(xué)家托特再次發(fā)力，他雖然沒能直接證明開普勒猜想，但證明了無論規(guī)則還是不規(guī)則的球體堆積，只需要有限的步驟，就能算出它們的最大密度。可是“有限”的步驟實(shí)在太多了，用人類的速度算一輩子都不夠！

直到電子計(jì)算機(jī)時(shí)代降臨，這一難題才迎來轉(zhuǎn)機(jī)，計(jì)算機(jī)不僅能快速算出復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式，還能進(jìn)行大量重復(fù)的計(jì)算。1992年，美國數(shù)學(xué)家海爾斯（1958 年— ）決定用計(jì)算機(jī)來證明開普勒猜想！

說干就干，海爾斯帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了一套復(fù)雜的程序，讓計(jì)算機(jī)幫忙驗(yàn)證所有可能的堆積方式。歷時(shí)20多年，計(jì)算機(jī)終于算完了，開普勒猜想證明完畢。2017年，開普勒猜想終于成為嚴(yán)格證明的開普勒定理，結(jié)束了長達(dá)400年的漫漫證明路。