基于符號秩統計量的非參數階段累積和控制圖

摘"要：控制圖是現代工業生產中常用的質量控制方法，傳統控制圖通常在數據服從正態分布的情況下進行研究。然而，在實際生產過程中，數據的正態分布假設并不總是成立，且有時分布的情況未知。針對這一狀況，可以采用非參數控制圖對生產過程進行監控。本文提出了一種基于Wilcoxon符號秩統計量的非參數階段累積和控制圖，通過對非參數累積和控制圖的結構進行調整，使得所提出的控制圖在監測不同范圍的位置偏移時更加靈敏。通過模擬分析了該控制圖的受控與失控表現，并與其他非參數控制圖進行了比較.結果表明，本文提出的方法具有良好的監控效果。

關鍵詞：非參數控制圖；統計過程控制；Wilcoxon符號秩；平均運行鏈長

中圖分類號：O212""""""文獻標識碼：A

Nonparametric"Step"Cumulative"Sum"Control"

Chart"Based"on"Signedrank

XU"Xinyi，ZHU"Yongzhong，"YANG"Yiliu

（School"of"mathematics，"Hohai"University，"Nanjing，"Jiangsu"211100，"China）

Abstract：Control"charts"are"commonly"used"quality"control"methods"in"modern"industrial"production，"and"traditional"control"charts"are"typically"studied"under"the"assumption"that"data"follows"a"normal"distribution."However，"in"actual"production"processes，"the"assumption"of"normal"distributionnbsp;for"data"does"not"always"hold，"and"at"times，"the"distribution"is"unknown."In"response"to"this"situation，"nonparametric"control"charts"can"be"employed"to"monitor"the"production"process."This"paper"proposes"a"nonparametric"step"cumulative"sum"control"chart"based"on"the"Wilcoxon"signedrank"statistic."By"adjusting"the"structure"of"the"nonparametric"cumulative"sum"control"chart，"it"enhances"sensitivity"in"detecting"positional"shifts"across"different"ranges."The"incontrol"and"outofcontrol"performance"of"the"proposed"control"chart"is"analyzed"through"Monte"Carlo"simulation"methods"and"compared"with"other"nonparametric"control"charts."The"results"indicate"that"the"proposed"control"chart"exhibits"excellent"monitoring"performance.

Key"words：nonparametric"control"chart;"statistical"progress"control;"Wilcoxon"signedrank;"average"run"length

統計過程控制用于監控生產過程中的質量特性，以確保生產過程穩定，通常使用控制圖對過程進行監控。傳統的控制圖一般假設質量特性數據服從正態分布，不少學者在此基礎上進行了大量研究，構建了傳統控制圖。進一步地，為了監測較小偏移，Page等[1]提出了考慮歷史數據的CUSUM累積和控制圖，Roberts[2]提出了對歷史數據和當前觀測數據進行加權平均的EWMA控制圖。然而，在實際中，生產數據通常不能滿足特定分布的假設，進而影響這些控制圖的使用性能。而非參數控制圖則不依賴于總體的分布假設，使控制圖的性能不受數據分布類型的影響，具有良好的穩健性。

在過去的幾十年里，有關非參數控制圖的研究得到了快速發展。Janacek等[3]提出了基于中位數的控制圖。Bakir和Reynolds[4]提出了基于Wilcoxon符號秩的CUSUM控制圖以監控過程中的位置偏移，Amin和Searcy[5]提出了基于分組符號秩（GSR）的EWMA控制圖，并討論了自相關的影響。Jones等[6]提出了基于子群平均秩的休哈特無分布控制圖，該方法可以在不知道參考樣本真實分布的情況下判斷過程是否失控。Li等[7]提出了用于檢測均值偏移的非參數CUSUM和EWMA控制圖，通過使用Wilcoxon秩和統計量獲得子組中的位置信息，并與參考樣本進行比較，從而判斷位置參數是否發生偏移。Graham等[8]提出了一種基于Wilcoxon符號秩統計量的NPEWMA控制圖，用于有效監控未知分布的過程中位數。Riaz等[9]通過兩次EWMA統計量，提出了基于"Wilcoxon符號秩的DEWMASR控制圖，并與其他控制圖比較，驗證了這一方法的優越性。Alevizakos等[10]在DEWMA控制圖的基礎上，將EWMA統計量結合三次，提出了TEWMASR控制圖，并說明了這一方法的有效性。Abbas等[11]在提出的漸進均值控制圖上開發了非參數漸進均值（NPPM）控制圖來監控過程中的位置參數，并提出了基于符號秩的非參數漸進均值控制圖，評估了所提出控制圖快速檢測持續位移的能力。

在傳統參數統計過程控制中，CUSUM控制圖往往是基于一個假設固定大小的偏移進行設計的，因此控制圖的性能完全基于偏移大小[12]，然而在實際中，很難事先預知偏移的大小。對非參數控制圖也有相似的結論，當假設偏移大小已知時，非參數CUSUM控制圖在快速檢測給定偏移時具有很好的性能，而對于大范圍的偏移則表現得沒那么好。當假設偏移大小未知時，非參數控制圖的設計參數通常選取一個較小的值，以提高監測效率。因此，本文提出了基于Wilcoxon符號秩的非參數階段累積和控制圖，通過調整傳統非參數CUSUM控制圖的結構，使得該控制圖可以有效監測位置參數的系列變化，改善監控位置參數偏移時的報警時延，對過程失控情況做出更靈敏的判斷。同時，比較了不同分布下的平均運行長度（ARL），證明了所提方法的無分布性。通過蒙特卡洛模擬分析了不同大小偏移下不同設計參數對應控制圖的表現，并與基于Wilcoxon符號秩的累積和控制圖（CUSUMSR）進行比較，驗證了所提方法的靈活性。同時，與基于符號秩（SR）和符號統計量（SN）的EWMA控制圖進行對比，驗證了該方法的有效性。最后，通過一個實際應用說明所提控制圖的應用價值。

1"非參數階段累積和控制圖的構建

首先構建Wilcoxon符號秩統計量。在第i個觀測時刻，i=1，2，…，觀測到某一未知分布的連續型變量，并采集樣本容量為n的觀測樣本：Xi1，Xi2，…，Xij，…，Xin。令需要被監控的位置參數為μ0，Rij表示絕對值Xij-μ0的次序秩，則Wilcoxon符號秩統計量為：

SR"i=∑nj=1sign（Xij-μ0）Rij，i=1，2，3，…"（1）

其中

signXij-μ0=1，Xij-μ0gt;0

0，Xij-μ0=0

-1，Xij-μ0lt;0

SR"i是定義域為

-n（n+1）2，-n（n+1）2+2，…，n（n+1）2的整數.Gibbons等[13]證明了SR"i與符號秩和檢驗統計量T+n呈線性關系：SR"i=2T+n-n+1n2。其中T+n為第i個樣本中所有觀測值大于目標值的次序秩總和，由此可以計算出SR"i的均值與方差為：ESR"i=μSR=0，VarSR"i=σSR=n（n+1）（2n+1）6。

類似于Li等[7]提出的非參數CUSUM控制圖，可以構造基于Wilcoxon符號秩的CUSUM控制圖。對收集到的第i個觀測樣本計算Wilcoxon符號秩SR"i，并利用傳統CUSUM控制圖監控統計量SR"i，具體結構為：

C-i=min［0，（SR"i-μSR）+k·σSR+C-i-1］

C+i=max0，（SR"i-μSR-k·σSR+C+i-1］"""（2）

其中C-i為監測向下的位置參數偏移，C+i為監測向上的位置參數偏移，控制限為hC。該控制圖累積了大于k·σW的偏差，但在偏差小于k·σW時沒有進行累加運算，（k的取值通常與偏移大小有關），因此傳統的非參數CUSUM控制圖對特定偏移大小的監測非常靈敏，而在對大范圍偏移進行監測時效果不佳，可能會出現延遲報警的情況。為了改善這一狀況，本研究通過調整CUSUM控制圖的結構，使得所提出的控制圖在發生偏移的時刻累積偏差，減少報警延遲。

首先引入兩個變量計算發生偏移后所觀測到的樣本數，用D-i、D+i分別表示C-i、C+i上一次取值為零的時刻到當前時刻的樣本數，如式（3）所示：

D-i=1，C-i-1=0

1+D-i-1，其他

D+i=1，C+i-1=0

1+D+i-1，其他"（3）

當C-i-1=0時，認為第i-1時刻沒有發生過程偏移，因此只對第i時刻的觀測值進行監控；當C-i-1≠0時，表明過程發生了偏移，此時通過D-i構造統計量對發生偏移時刻的所有觀測值進行監控，對C+i、D+i同理。由此定義階段累積和統計量：

SC-i=1D-iSR"i+1-1D-iSC-i-1

SC+i=1D+iSR"i+1-1D+iSC+i-1"""（4）

觀察發現，當CUSUM統計量為零時，SC統計量立即被重置，SC統計量即為上一次CUSUM統計量為零時所有觀測值的累加平均，即SC統計量只對發生偏移時刻的觀測值進行監控，從而達到減少延遲報警的目的.通過計算可以得到SC統計量的均值為ESC-i=0，ESC+i=0，方差為VarSC-i=σ2SRD-i，VarSC+i=σ2SRD+i。NPSC控制圖的控制限為：

LCLSC"i=μ0-LSCσSRD-i

UCLSC"i=μ0+LSCσSRD+i"（5）

其中LSC為所提控制圖的控制限系數，對于第i個樣本，當SC-ilt;LCLSC"i或SC+igt;UCLSC"i時，說明該過程失控。

所提出的NPSC控制圖可以看作漸近均值（NPPM）控制圖的擴展形式，該統計量為：

NPPM-SR"i=∑ik=1SR"ki"（6）

進一步可以寫成

NPPM-SR"i=1iSR"i+

1-1iNPPM-SR"i-1"（7）

通過比較式（5）和式（7），可以發現所提控制圖類似于NPPM控制圖。由于NPPM控制圖從第一個樣本開始進行累加平均，包含了所有觀測值的信息，因此在應用中可能出現延遲報警的情況。而本文所提控制圖通過CUSUM統計量對發生偏移后的觀測值進行累加平均，省略掉發生偏移前的觀測信息，從而提高了控制圖的靈敏性。

2"控制圖性能評估

為了評估所提NPSC控制圖，本文使用蒙特卡洛模擬計算控制圖的平均運行長度（ARL），ARL表示控制圖在失控信號出現前的平均樣本數，對于給定的ARL0，ARL值越小，表示控制圖的性能越好。表1～表3給出了本文的NPSC控制圖在不同分布下的ARL值，其中ARL0設置為500，模擬次數設置為104，并在表格最后一行給出了所提控制圖在不同設計參數下的控制限系數，該系數通過蒙特卡羅模擬法計算得到，設計參數k根據偏移的大小設置為：0.25，0.5，0.75，1，1.25，1.5，1.75，2，2.25，2.5，2.75，3，包含了不同范圍的偏移.由表1～表3可以發現該控制圖的ARL在IC狀態下對不同的連續分布都幾乎相同，說明該控制圖不依賴于分布并且具有穩健性[14]。

通過觀察可以發現，控制限系數LSC在klt;0.75時隨著k的增加而增加，在k≥0.75時減小。這是由于通過增加k值，式（4）中的D+i減小，增加了統計量的變化程度，因此需要更大的控制限系數來達到期望的ARL0。同時式（5）中控制限由于1D+i的減小而擴大，為了平衡這種擴大所帶來的結果，需要降低控制限系數來獲得期望ARL0，這使得控制限系數出現了兩種不同方向的變化。通過觀察表1最后一行，當klt;0.75時，隨著k的增加，D+i的減小占據主導，因此控制限系數略有增加，當k≥0.75時，這種趨勢發生了逆轉。

2.1"NPSC控制圖與NPCUSUM控制圖的比較

傳統非參數CUSUM控制圖的設計參數通常與偏移大小有關，導致控制圖在監測特定偏移大小時性能最優，監控其他范圍的偏移時性能有所降低。表1～表3分別給出本文的NPSC控制圖與式（2）所表示的NPCUSUM控制圖在不同設計參數下監控不同偏移大小的ARL值，NPCUSUM控制圖的控制限通過蒙特卡洛模擬得到。通過比較發現，NPSC控制圖與NPCUSUM控制圖在不同分布下都有自己的強勢區和弱勢區。

通過對比表1～表3每一列的ARL值可以得到，當控制圖根據特定偏移大小進行設計時，NPSC與NPCUSUM控制圖中表現更優的一方，結果如表4～表6所示。（C）表示對應情況下NPCUSUM控制圖具有最小的ARL，（S）表示NPSC具有最小ARL。可以發現三表中（S）出現的次數最多，即所提出的NPSC控制圖對不同偏移在不同敏感系數下的表現總體優于NPCUSUM控制圖。在實際應用中，通常無法準確知道將要發生的偏移大小，因此對大范圍偏移都是高效的控制圖應用范圍更廣。綜上所述，本文提出的控制圖在監測不同范圍偏移的情況下總體表現更優。

2.2"NPSC與NPEWMASR、NPEWMA SN控制

圖的比較

Mukherjee等人［15］測試了參數CUSUM控制圖中不同k值的影響，得出對于偏移大小的先驗信息很少或沒有時，較小的k值是避免監控出現延遲的最安全選擇。對他們提出的NPCUSUMEX控制圖也得到了相似的結論，并推薦使用較小的k值甚至取k=0。因此，為了衡量在沒有偏移的先驗信息情況下所提控制圖的性能，取設計參數k=0.25，進行NPSC與Graham等［16］提出的NPEWMASN、NPEWMASR控制圖的比較。NPWEMASN和NPEWMASR用于監測對稱分布下位置參數的微小變化。為了公平比較，所有控制圖選取n=10，ARL"0=500，NPEWMASR和NPEWMASN控制圖參數（λ，K）分別取0.05，2.612和0.05，2.610。為了比較控制圖在不同偏移下的性能，考慮了6種偏移大小，結果如圖1所示。

圖1～圖2給出了各非參數控制圖在不同偏移下對應的ARL性能曲線，位于下側的曲線所對應的控制圖與競爭控制圖相比更優越，可以看出NPSC所對應的曲線在δgt;0.25時位于最下方，說明在不同分布下NPSC控制圖檢測目標值的偏移速度更快，但在δ=0.25時，N0，1和t（4）分布所對應的ARL高于NPEWMASR控制圖，說明在小偏移時所提控制圖的性能與NPEWMASR和NPEWMASN控制圖相比較差。

3"實例驗證

本節使用半導體制造過程的真實數據來進行控制圖的性能比較。該數據集記錄了2008年7月至2008年10月通過半導體生產過程中測量點的傳感器收集得到的數據。該SECOM數據集包含1567個半導體產品的591個質量特征，可在加州大學歐文分校的機器學習庫網站上找到。本文選擇一個連續變量特征值進行仿真，從AC29特征中截取了200條數據，該數據集由40個樣本組成，每個樣本大小為5，前25個樣本取自IC情形，后15個樣本取自OOC情形。在此算例中過程目標值通過計算取68.35μ0=68.35。SR"i統計量和SC+i、SC-i通過式（1）和式（4）計算得到，所有方案的設計參數取ARL0=500情況下的對應值。對于NPEWMASR，取λ=0.05，K=2.69，對于NPCUSUM控制圖，取k=0.25，h=78.76，對于本文提出的NPSC圖，取k=0.25，LSC=3.68。結果如圖3～圖4所示，可以看出在樣本數小于25時，所有的圖表都保持為IC狀態，所提出的NPSC控制圖在樣本數為26時觸發警報，NPEWMASR在樣本數為27時觸發警報，NPCUSUM在樣本數為28時觸發警報，均晚于所提出的NPSC控制圖。

4"結"論

針對過程數據分布未知的情況，通過對非參數累積和控制圖進行調整，提出了一種基于Wilcoxon符號秩統計量的階段累積和控制圖，所提控制圖對非正態連續分布具有IC穩健性，克服了傳統非參數CUSUM控制圖只針對特定目標偏移才有最優性能的缺點，同時通過調整控制圖的結構改善了延遲報警的情況。針對該控制圖，本研究利用蒙特卡洛模擬方法計算了不同情況下的ARL性能指標，通過仿真實驗，驗證了所提控制圖對檢測過程中出現的不同大小偏移具有更好的全局性能。最后通過將半導體生產過程的實際數據應用到所提出的NPSC和NPCUSUM、NPEWMA控制圖上，驗證了所提控制圖的優越性。

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