在APO算法與GWO算法背景下的變分模態分解優化對比研究

摘 要：變分模態分解（VMD）是一種信號處理技術，它能夠將復雜信號分解為多個本征模態函數（IMF）。在處理非線性和非平穩信號時，VMD相較于傅里葉變換、小波變換、經驗模態分解和希爾伯特-黃變換等同類信號處理技術，具有明顯優勢。然而，VMD的性能與上述這些信號處理技術一樣，高度依賴參數的選擇，特別是分解數k和懲罰因子α。為此，文中重點討論了對這些參數的優化。基于上述情況，選用了性能較高的北極海雀算法（APO）來優化VMD參數，并采用傳統的基礎優化算法——灰狼優化算法進行對比實驗，最終分析了原始信號圖像、目標函數圖像以及k個本征模態函數圖像。成功優化VMD參數對計算機技術的現實應用有著重要意義，能讓VMD在后續的研究和發展中適應各種復雜信號的處理需求。

關鍵詞：變分模態分解；參數優化；本征模態；北極海雀優化算法；灰狼優化算法；原始信號處理

中圖分類號：TP39；TN911.23 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2025）07-00-06

0 引 言

變分模態分解（Variational Mode Decomposition， VMD）技術于2014年由Konstantin Dragomiretskiy和Dominik Zosso提出，其靈感來源于經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition， EMD）技術。VMD能夠適應并匹配每種模態的最佳中心頻率和有線帶寬，從而實現本征模態函數（Intrinsic Mode Function， IMF）的有效分離。此外，它還具有自適應分解、頻率分離以及抗噪性強等優點[1]。

在當前計算機通信的發展進程中，VMD發揮著重要作用，其應用涵蓋工學、機械故障診斷、醫學信號處理和地震數據分析以及人類日常通信領域。在機械故障診斷方面，VMD常用于滾動軸承、齒輪箱等機械設備的故障診斷。它通過分析振動信號來提取故障特征頻率，從而精準識別設備的故障類型和位置[2]。在醫學信號處理領域，VMD在心電圖（ECG）、腦電圖（EEG）等醫學信號中也有著諸多應用。VMD對醫學信號進行分解，并提取出患者的生理、病理信息，以此輔助醫生治療[3]。在地震數據分析方面，VMD常被用于對地震信號（橫波與縱波）進行分解和分析，通過這種方式可以提取出地震波的主要成分，進而協助人類開展地震預測和災害預警工作。

目前，眾多研究者已將VMD信號處理技術廣泛應用在工程設計中。文獻[4]采用基于ISCSO-VMD-GRU的方法對帶式輸送機電動滾筒音頻進行故障診斷，使用改進的SCSO優化VMD，從而獲取音頻信號的本征模態函數（IMF）分量，再基于Pearson相關系數與復合縮放排列熵（CZPE）篩選有效IMF分量并計算其CZPE值以進行特征重構，最終提升GRU的診斷精度。文獻[5]提出了一種基于變分模態分解與優化LightGBM的混凝土拱壩變形預測模型。采用VMD將變形實測數據分解為多個模態分量，通過有效地分解重構，構建出具有較高預測精度和較好泛化性能的變形預測模型。文獻[6]提出了一種基于變分模態分解技術并利用改進的蜣螂優化算法（IDBO）來優化雙向門控循環單元（BiGRU）的短期負荷預測模型，其采用VMD算法對負荷序列進行分解，得到多個固有模態函數和一個殘差量，在將數據輸入數據集構建BiGRU模型后，采用改進的DBO算法優化其超參數，并且通過對比選取滾動負荷預測機制進一步提升預測性能。文獻[7]采用VMD和模糊C均值（Fuzzy C-Means， FCM）聚類的狀態監測方法，針對振動信號的非平穩性和難以提取有效故障特征的問題進行了優化。

受上述研究啟發，本文在北極海雀算法（Arctic Puffin Optimization， APO）與灰狼優化算法（Grey Wolf Optimizer， GWO）背景下，對變分模態分解進行優化和對比研究。具體而言，采用性能較高的新晉優化算法——北極海雀算法和灰狼優化算法對VMD的分解數和懲罰因子進行優化，并對原始信號曲線進行分析。通過選擇包絡熵最小以及信息熵最小這兩個目標測試函數進行測試，最后對比本征模態函數圖像。

1 變分模態分解

1.1 傳統信號處理方式

在工程設計、醫學、地震預警等眾多領域中，信號通常具有復雜的非線性和非平穩特征。根據這些情況，傳統信號處理方法有傅里葉變換、小波變換等。

1.1.1 傅里葉變換

傅里葉變換的核心在于將時域中的信號轉換到頻率域，這使得可以更直觀地觀察信號的頻率特性。其定義公式為：

小波變換具有多頻率分析、時頻局部化、適應性強以及去噪效果好的優點。然而，小波變換也存在一些不足之處。一方面，它需要多次卷積操作和下采樣操作，計算量較大，處理大規模數據時計算時間較長；另一方面，小波變換在處理復雜頻譜信號時，可能無法給出準確的分析結果，并且在處理有限信號時，會產生邊界效應，從而影響分析結果的準確性。

1.1.3 經驗模態分解

經驗模態分解的核心思想為：通過篩分，把復雜信號分解成若干個本征模態函數（IMFs）和一個殘余量，且每個IMF需滿足兩個條件[8]。其一，在整個數據范圍中，極值點與過零點的數量相等或者最多相差一個；其二，在任意時刻，IMF的上下包絡線平均值為零。

經驗模態分解具有很強的自適應性，適用于非線性和非平穩信號的處理，適合進行多頻率分析，并且能夠保留信號的原始特性。然而，在處理突變信號時，EMD可能會出現模態混疊現象，也就是一個本征模態函數（IMF）中包含多個時間尺度的成分。當處理有限長度信號時，EMD可能會產生端點效應，從而影響分解結果的準確性。與上述兩種情況類似，EMD還存在計算量較大的缺點。

1.1.4 希爾伯特-黃變換

希爾伯特-黃變換包含兩個核心步驟：其一為經驗模態分解，該步驟可將信號分解成若干個本征模態函數；其二是希爾伯特變換，即對經驗模態分解得到的本征模態函數（IMF）進行希爾伯特變換，從而得到相應的希爾伯特譜。

希爾伯特-黃變換具有多頻率分析能力以及高時間-頻率分辨率。然而，它也存在一些問題，比如可能出現模態混疊、產生端點效應、計算量較大，并且缺乏相應的理論基礎。

1.2 VMD特點

相比傳統的信號處理方式，VMD技術更加成熟和穩定。它通過變分方法將信號分解為若干個模態函數，每個模態函數對應一個中心頻率。其特點具體如下：

（1）自適應性：VMD能夠根據輸入信號的特性自適應地調整模態函數的頻率，以適應不同頻率成分的提取。

（2）高精度：VMD能夠提供較高的分解精度和分解速度，可以快速地提取信號中的局部特征。

（3）多分辨率分析：VMD能夠分析不同尺度的信號，并提供高精度的頻率信息。

（4）物理意義明確：VMD分解得到的每個IMF都有著明確的物理含義，有助于對信號處理進行分析和理解。

2 算法介紹

2.1 北極海雀優化算法

北極海雀是北極特有的小型鳥類，它們主要棲息于海洋環境中，因受其生活環境的影響，北極海雀與其他飛行鳥類相比具有更短更粗的翅膀，這有助于它們在飛行過程中減少能量消耗，并保持較高的飛行速度[9]。當北極海雀發現冰下有魚時，它們會以400次/min的頻率拍打短小的翅膀來降低飛行高度，然后加速沖向獵物，俯沖時最高時速可達88 km/h。在足夠動量的加持下，北極海雀會沖破冰面輕松獲取目標食物。

北極海雀優化算法是根據北極海雀在特定環境中的生存行為而模擬建模的智能優化算法，主要包括空中搜索階段和水下捕食階段。

2.1.1 空中搜索階段

（1）空中搜索

北極海雀以群居生活為主，在外出捕獵時，它們往往會以編隊形式飛行來搜索獵物，這種協作捕獵方式會大大提高捕食成功的概率。

位置更新公式如下：

間的隨機數；Xit為當前種群的第i個個體；Xrt為在當前種群中隨機選擇的個體；L（D）為通過Levy生成的隨機數；D為維度常數；a1為符合正態分布的隨機數。

算法中用到的Levy飛行主要用來模擬北極海雀的飛行過程，通過Levy飛行系數來改變北極海雀在不同時段的位置，這種策略能夠有效地增強獵物搜索能力。另外，當北極海雀在空中遇到海鷗等天敵時，它們會在空中盤旋，以防御捕食者。

（2）猛撲捕食

北極海雀在空中飛行鎖定獵物后，它們會迅速改變飛行方式，并加快煽動翅膀俯沖向目標獵物，這種快速攻擊的捕食策略可以提高它們的捕食成功率。在此階段，引入了速度系數S來調整北極海雀在俯沖過程中的狀態。位置更新公式如下：

式中：T代表總迭代次數；t代表當前迭代次數；rand代表隨機數。

（3）躲避掠食者

在北極海雀捕食或者搜尋獵物時，若它們察覺出周圍有天敵或者掠食者，海雀會發出一種叫聲以引起種群中其他個體的警覺，并改變自身位置，飛往安全區域避險。位置更新公式如下：

2.2 APO算法流程

APO算法流程如下：

Step1：對北極海雀種群進行初始化，定義了種群個體數N、最大迭代次數T、合作因子F、過渡系數B以及特定參數C。

Step2：計算每個種群的適應度值，選取最優種群和最優個體。

Step3：使用式（17）計算過渡系數B，并與特定系數C對比，若Bgt;C則進入空中搜索階段，否則進入水下覓食階段。

Phase1：空中搜索階段

Step4：使用式（4）、式（7）、式（9）～式（11）更新北極海雀的位置和數量。

Phase2：水下覓食階段

Step5：使用式（10）～式（13）、式（15）更新北極海雀的位置和數量。

Step6：計算并對比所有種群適應度值，更新最優值。

Step7：判斷是否達到最大迭代次數T，若滿足終止條件則算法停止，否則返回Step2。

2.3 灰狼優化算法

在灰狼優化（GWO）算法中[10]，野生灰狼群以群居為主，其社會結構非常復雜，每一個群體都有一個領導者。在野外生存遇到獵物時，灰狼群會根據其內部的社會等級結構有秩序地包圍獵物，并隨著獵物的移動而移動。根據領導者和其他等級較高灰狼的位置引導等級較低灰狼圍捕獵物，最終攻擊獵物。

GWO算法是根據灰狼群體的等級制度以及自然界中的狩獵捕食行為模擬的算法，主要包括包圍獵物階段、狩獵階段和攻擊獵物階段。

（1）包圍獵物階段

包圍獵物階段公式如下：

式中：t為當前迭代次數；T為最大迭代次數。

2.4 GWO算法流程

GWO算法流程如下：

Step1：設最大迭代次數為T，灰狼種群數量為N，初始化種群，計算A、C、a2等參數。

Step2：計算每一頭灰狼的適應度值，并將最優的三個適應度值依次賦值給α、β、δ三頭灰狼。

Step3：根據α、β、δ三頭灰狼的位置更新其余灰狼ω的位置。

Step4：更新參數a2、A、C的值。

Step5：計算全部灰狼的適應度值，更新α、β、δ三頭灰狼的適應度值和位置。

Step6：判斷是否達到最大迭代次數T，若滿足終止條件則算法停止，否則返回Step3。

3 變分模態分解優化對比實驗

本節著重從智能優化算法角度研究VMD參數優化以及優化后VMD的信號分解效果。

3.1 參數討論

在變分模態分解中，懲罰因子λ和分解數k的選擇對分解結果有著重要的影響。當懲罰因子過小時會導致模態混疊，從而影響特征提取；當懲罰因子過大時會導致分解頁面的局部信息丟失，造成數據損失。當分解數過大時會導致過度分解的情況，容易產生虛假模態；當分解數過小時會導致欠分解，無法充分提取時間序列中的隱含特征，致使結果不準確。

綜上，在信號處理中VMD參數優化有著極為重要的意義。其可通過優化懲罰因子λ和分解數k，提高分解精度和現實適應性，減少主觀誤差。

本文將懲罰因子的范圍設定為[2 000， 3 000]，將分解數的范圍設定[5， 10]。

3.2 目標函數選擇

目標函數包括包絡熵、信息熵以及排列熵。

包絡熵主要用于衡量信號的系數特性，通過對信號進行希爾伯特變換得到包絡信號，然后對包絡值進行歸一化處理。包絡熵常用于滾動軸承的故障診斷等領域。

信息熵主要用來描述不確定程度的物理量，反映信號中信息的混亂程度和不確定性。信息熵常用于通信、數據壓縮以及故障診斷等領域。

排列熵主要用來衡量時間序列的復雜程度，它通過計算時間序列中不同排列模式的概率分布來反映序列的規則性和隨機性。排列熵常用于優化信號分解和故障診斷等領域。

本文實驗選用排列熵作為目標函數。

3.3 信號分解結果

本文使用了一段長度為1 024的信號數據作為待分解數據，總迭代次數為100。圖1為原始信號。圖2～圖3為基于排列熵最小原則，分別運用APO算法和GWO算法進行信號分解的實驗效果圖。圖4、圖5分別為APO算法和GWO算法排列熵目標函數的收斂曲線圖。

由圖2和圖3可知，相較于GWO算法，APO算法在IMF1、IMF5、IMF9以及IMF10上表現得更加平穩；在IMF4上，APO算法的隨機性更強。由圖4和圖5中可知，相較于GWO算法，APO算法在排列熵目標函數上收斂速度更快，精準度更高，能夠在有限的收斂次數內找到最優值，說明了APO算法具有高性能特點。

從表1可以看出，經APO算法優化后的懲罰因子較大。這意味著在VMD分解過程中分解精度有所提升，主觀性降低，時間序列更具隨機性。

4 結 語

本文分別利用北極海雀優化算法和灰狼優化算法對VMD的懲罰因子和分解數進行了優化，并對優化后的結果進行了對比。APO算法因具有空中搜索階段和水下覓食階段的獨特生物行為，相比GWO算法，具有更快的收斂速度和更高的收斂精度，魯棒性和穩定性也更高，算法性能優于GWO。APO的精準搜索和局部調整性能使其能在較短時間內找到最優解群，進而選擇所需要的最優解。在使用經APO算法優化后的懲罰因子λ和分解數k去處理某段復雜信號時，能夠較為準確地分解出信號的本征模態函數圖像。而GWO算法下的實驗數據主觀性、隨機性較低。由此可知，經APO算法優化后的VMD參數在分解信號數據時有著更高的效率和精度，這能為未來研究提供有效指導，在故障診斷、數據傳輸和工程應用等領域發揮價值。

注：本文通訊作者為孫莉。

參考文獻

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收稿日期：2024-07-28 修回日期：2024-08-30

基金項目：寧夏自然科學基金項目（2023AAC03031）

作者簡介：任慶欣（1999—），男，研究方向為物聯網技術及應用。

孫 莉（1975—），女，副教授，研究方向為信息系統工程、無線通信技術與網絡等。