基于當量磨削層厚度的整體刀具容屑槽磨削功率模型

摘要 磨削功率與整體刀具容屑槽的磨削質量密切相關。提出一種基于當量磨削層厚度的整體刀具容屑槽磨削功率模型，將砂輪離散化為一組等厚度的砂輪薄片，由砂輪與刀具間的瞬時接觸線計算各砂輪薄片的接觸弧長；再通過引入磨削接觸區形狀系數計算沿砂輪寬度方向逐漸變化的當量磨削深度和當量進給速度，得到各砂輪薄片對應的當量磨削層厚度；在此基礎上建立容屑槽磨削功率模型，并通過磨削實驗對模型進行驗證。結果表明：模型的功率預測值與測量值間的最大相對誤差lt;15.0%；沿砂輪寬度方向的最大當量磨削層厚度和最大單位寬度磨削功率存在于砂輪邊緣處，將導致砂輪寬度方向上的非均勻磨損。

關鍵詞 整體刀具；容屑槽；磨削功率；當量磨削層厚度；螺旋槽

中圖分類號 TG71; TG74; TG58; TG593 文獻標志碼 A

文章編號 1006-852X（2025）01-0067-08

整體刀具的容屑槽在切削加工中主導切屑的形成與排出，其磨削質量直接影響刀具的切削性能[1]。由于材料去除量大，為了提高效率，容屑槽一般采用深切緩進給磨削的方式進行加工[1]。這種磨削方式會消耗較大的磨削功率，并在砂輪與刀具接觸區產生大量的磨削熱，導致刀具表面溫度快速升高，容易在刀具表面產生磨削燒傷[2]，導致刀具報廢。因此，為了保證刀具容屑槽的磨削質量，必須對容屑槽磨削過程中的磨削功率或磨削力進行控制。

目前，關于磨削力及磨削功率的研究已經取得了大量的成果，但主要針對的是平面磨削和外圓磨削[3]，而針對容屑槽磨削的研究相對較少。相比于平面和外圓磨削，容屑槽磨削過程中刀具相對砂輪做螺旋進給運動，砂輪與刀具間的接觸區形狀復雜，磨削力沿砂輪寬度方向變化較大且難以直接測量，這給磨削力及磨削功率的分析和建模帶來一定困難[4]。趙延軍等[5]采用不同剛性的砂輪磨削刀具容屑槽，分析了砂輪剛性對磨削功率、磨削區溫度及刀具表面粗糙度的影響，發現在一定范圍內降低砂輪剛性可降低磨削功率和磨削區平均溫度。SALATA[6]通過實驗分析了磨削工藝參數對容屑槽磨削過程中的磨削力及磨削溫度的影響，得出進給速度對磨削溫度影響最大的結論。

僅通過磨削實驗對各因素與磨削力及磨削功率的關聯進行定性分析，無法實現對磨削力及磨削功率的精準預測與控制。為此，部分學者針對容屑槽磨削建立了相關力學模型。宋鐵軍等[4]將砂輪離散化為一系列單位厚度的圓盤，分析了容屑槽磨削時單個圓盤磨削力的分布，建立了刀具軸向力和軸向力矩模型。DE PAYREBRUNE等[7-8]分析了容屑槽磨削過程中的工件剛度、固有頻率及簡正模態的變化，建立了容屑槽磨削的時變動力學模型，可對磨削力、接觸區溫度、刀具變形及振動進行預測，但該模型對砂輪與工件接觸區進行了簡化處理，只適用于磨削直槽時的情況。DEN-KENA等[9]采用支持向量機（support vector machine，SVM）建立了容屑槽當量磨削層厚度與磨削力間的關聯模型，并通過預測磨削力來判斷容屑槽芯厚的加工誤差。UHLMANN等[10]計算了容屑槽磨削時砂輪不同位置的最大切屑厚度，提出通過增加砂輪邊緣磨粒濃度的方式來減小邊緣磨粒所承受的磨削力。DIT-TRICH等[11]借助于多項式回歸模型將磨削力與當量磨削層厚度及接觸弧長關聯起來，用容屑槽磨削時刀具剛度的動態變化來預測芯厚的加工誤差。JEYARAJ等[12]通過集成在機床和刀柄中的傳感器，測量了容屑槽磨削過程中的磨削力、扭矩、彎矩、功率等信號，并提取與容屑槽幾何誤差強相關的特征量，建立了數據驅動的誤差預測模型。WIESENER等[13]測量了單顆磨粒劃擦過程產生的磨削力，將磨削力數據導入FEn-iCS軟件并對單顆磨粒劃擦過程的溫度場分布進行了仿真，在考慮多磨粒的疊加效應后得到了容屑槽磨削接觸區的溫度分布。

砂輪與刀具磨削接觸區的磨削熱幾乎全部來自砂輪主軸的磨削功率，而磨削功率由磨削時砂輪的切向力決定[13]。盡管上述學者對容屑槽磨削時的磨削力及磨削功率進行了分析與建模，但現有模型還存在一些局限性，如無法精確計算切向力[4]，只適用于磨削直槽[7]，使用的多項式回歸模型泛化能力較差[11]等。為此，將砂輪離散化為一組等厚度的砂輪薄片，在容屑槽磨削運動學模型的基礎上，提出各砂輪薄片當量磨削層厚度的計算方法，并基于當量磨削層厚度建立整體刀具容屑槽磨削的磨削功率模型。

1磨削功率模型

1.1砂輪與容屑槽的瞬時接觸線

磨削容屑槽時，砂輪與刀具間的接觸區幾何形狀復雜，為確定接觸區形狀，需要確定砂輪與容屑槽間的瞬時接觸線。磨削開始前，砂輪相對刀具的初始位置如圖1所示，其中：坐標系Sw（xw，yw，zw）與砂輪固連，xw和yw軸位于砂輪側平面上，zw軸與砂輪軸線重合；坐標系St（xt，yt，zt）與刀具固連，xt和yt軸位于刀具端面上，zt軸與刀具軸線重合；az為砂輪與刀具的初始距離，ax、ay、λ為砂輪的安裝位姿，決定了容屑槽的幾何形狀。在初始位置時，坐標系Sw到坐標系St的齊次坐標變換矩陣為：

如圖2所示，砂輪回轉面上的點及其法向量可表示為[14]：

其中：r（u）表示砂輪在寬度方向逐漸變化的半徑；

磨削刀具容屑槽時，刀具視為靜止，砂輪繞刀具軸線旋轉并沿刀具軸線做直線進給。為生成容屑槽的螺旋曲面，砂輪繞刀具旋轉的角速度ω與沿刀具軸線進給的進給速度va間需滿足：

其中：rt為刀具半徑，β為刀具螺旋角。

磨削開始后，經過時間t，砂輪回轉面上的點及其法向量在刀具坐標系中的坐標分別表示為：

在砂輪回轉面上，該點相對刀具的運動速度為：

根據共軛曲面理論，砂輪曲面與容屑槽曲面在接觸點處的相對速度與法向量需滿足vt·nt=0，由此可得[14]：

其中：

在給定時間t，將砂輪離散為一組等厚度（厚度為Δu）的砂輪薄片，即令u=0，Δu，2Δu，···，nΔu，再依次代入式（8）計算得到相應的θ值；將u和θ的值代入式（5）可得到砂輪與容屑槽的瞬時接觸線上離散點的坐標。排除位于刀具圓柱體外的點即可得到砂輪與容屑槽的瞬時接觸線，如圖3所示。將圖3的接觸線上的各點按參數u的值由小到大進行排序，第i個點用Ci表示。

1.2當量磨削層厚度的計算

磨削容屑槽時砂輪表面各處的接觸弧長逐漸變化，形成了如圖3所示的不規則接觸區。若用接觸點Ci所在的砂輪薄片將刀具工件剖開，可得到如圖4所示的砂輪與刀具的接觸弧，由圖4可見砂輪與工件間的接觸關系與外圓磨削有很大不同。在外圓磨削時，接觸弧長l與磨削深度a之間滿足[15]：

其中：de為當量砂輪直徑。

顯然，式（9）并不適用于圖4中的接觸關系。為此，引入容屑槽磨削的當量磨削深度。假設接觸點Ci所對應的接觸弧長li與當量磨削深度ai之間滿足：

其中，系數c4的值與接觸區形狀有關。

由于工件進給速度比砂輪線速度小得多，接觸弧 長 li 可近似視為 的弧長，點 C'i 為接觸點 Ci 所在砂 輪薄片與刀具回轉面的交點。 的弧長可由下式得到：

其中：ui和θi為接觸點Ci對應的參數值，θ'i為切入點C'i對應的參數值。θ'i可通過下式求解得到：

為計算當量磨削層厚度，還需要得到刀具工件的進給速度vw。由于磨削深度較大而刀具半徑較小，Ci和C'i處的工件進給速度差異較大，因此將Ci和C'i中間點Mi處的工件進給速度視為刀具工件的進給速度。中間點Mi到刀具軸線的距離為：

其中rCi為接觸點Ci到刀具軸線的距離，由下式得到：

rCi=√xt（2）（ui;θi;t）+yt（2）（ui;θi;t）（14）

若視砂輪靜止、工件運動，結合式（4）可得Mi點的圓周速度vp為：

vp=varMi/（rt cotβ）

式中vp的方向與直線進給速度va的方向垂直，由此可得Mi點的合速度vr為：

vr=（vp（2）+va（2））1/2（16）

由于vr不在砂輪薄片所在平面，而且砂輪與刀具的接觸關系復雜，vr不能等同于刀具工件的進給速度，因此引入工件的當量進給速度vw：

vw=c5vr（17）

其中，系數c5的值與接觸區形狀有關。

根據當量磨削層厚度的定義[15]，接觸點Ci所在砂輪薄片的當量磨削層厚度為：

其中，vs，i為接觸點Ci所在砂輪薄片的線速度。

由于系數c4和c5均與接觸區形狀有關，引入磨削接觸區形狀系數α=c4c5，則有：

為計算當量磨削層厚度，需要確定系數α的值。

本研究將砂輪離散為一組等厚度的砂輪薄片，砂輪薄片的厚度為Δu，如圖5所示。接觸點Ci所在砂輪薄片的局部材料去除率為：

考慮所有參與磨削的砂輪薄片，其總的材料去除率為：

Q=∑Qi=αΔuvr∑li（2）（21）

對于普通圓柱形整體刀具，容屑槽的橫截面形狀恒定，因此磨削容屑槽時總的材料去除率也可表示為：

Q=Ava（22）

其中，A為容屑槽橫截面廓形的面積。

圖6為容屑槽的橫截面廓形。如圖6所示：可將容屑槽橫截面廓形離散化為一個個小三角形，所有三角形面積之和即為容屑槽橫截面廓形的面積A。聯立式（21）和式（22）可得：

α=Ava/（Δuvr∑li（2））

將式（23）代入式（19），即可求得各砂輪薄片的當量磨削層厚度。

1.3容屑槽磨削功率計算

根據磨削功率與當量磨削層厚度之間的數學關系[16]，接觸點Ci所在砂輪薄片消耗的局部磨削功率為：

Pi=ΔuK·heq（f）;i（24）

將所有參與磨削的砂輪薄片消耗的局部磨削功率相加得到總磨削功率：

P=∑Pi=ΔuK∑heq（f）;i（25）

其中：K和f與砂輪形貌、工件材料、磨削液等因素有關，通過磨削實驗來確定K和f的值。

2實驗驗證

2.1實驗條件

為驗證上述功率模型的正確性，在ANCA MX7五軸數控工具磨床上進行容屑槽磨削實驗，五軸數控工具磨床如圖7所示。實驗采用1A1金屬結合劑金剛石砂輪，其金剛石磨料粒度代號為230/270，砂輪寬度Hw=9.973 mm，初始砂輪直徑Dw=99.868 mm，砂輪幾何形狀如圖8所示。磨削的工件是直徑為7.94 mm的圓柱硬質合金精磨棒料，材料牌號為YG6X。采用順磨工藝，容屑槽一次走刀完成。為保證每次磨削時砂輪表面的磨粒狀態一致，在每次磨削前執行機床自帶的砂輪修整程序，使用綠碳化硅砂輪（其規格為80×25×32-GC60K）對金剛石砂輪進行修整，修整后測量新的砂輪直徑。實驗通過機床配套磨削軟件iGrind的數據記錄功能記錄機床PLC的主軸功率數據。

2.2實驗參數

實驗中磨制的容屑槽的參數如表1所示，磨制該容屑槽所需要的砂輪安裝位姿為：ax=51.535 mm，ay=?5.097 mm，λ=43.768°。砂輪安裝位姿由文獻[17]提供的方法計算得到。為了減小工件受力產生的彎曲變形，在保證磨削過程中砂輪與刀柄不發生碰撞的前提下，工件的伸出長度要盡可能短，實驗中工件的伸出長度為50 mm。共進行20組實驗，為減小隨機誤差的影響，每組實驗磨削2次，將2次磨削功率數據取均值。

磨削加工實驗參數如表2所示，其中的砂輪線速度的調整范圍為18～24 m/s，工件軸向進給速度的調整范圍為60～90 mm/min，偏置Δax的調整范圍為0～1.2 mm。偏置Δax用于改變容屑槽的深度，正偏置使深度減小。砂輪線速度vs和工件軸向進給速度va的影響，用于確定功率模型中系數K和f的值；5～20號實驗組為3因素4水平實驗，用于對功率模型進行驗證。

2.3實驗結果與討論

在磨削容屑槽的過程中，砂輪與工件的接觸區域以及砂輪表面的磨粒狀態是動態變化的，因此磨削功率也是逐漸變化的。以9號實驗組為例，機床記錄的功率變化曲線如圖9所示，可明顯看出功率曲線的變化分為4個階段：

（1）在AB階段，砂輪逐漸靠近工件，但尚未與工件接觸，此時主軸消耗的功率為空轉功率PA；

（2）在BC階段，砂輪與工件發生接觸，而且接觸區域逐漸變大，此時主軸消耗的功率快速上升；

（3）在CD階段，砂輪與工件保持穩定接觸，接觸區域形狀恒定不變，此時主軸消耗的功率緩慢上升，主要是由于此時的切削深度大、磨削力大，砂輪表面磨粒被逐漸磨鈍；

（4）在DE階段，砂輪與工件脫開，主軸消耗的功率迅速下降為空轉功率。

本文所指的磨削功率是砂輪與工件穩定接觸時用于去除工件材料所消耗的功率，因此在處理磨削功率數據時，應該用CD段消耗的功率減去AB段的空轉功率。另外，為了減小砂輪磨損對系數K和f的影響，令磨削功率P=PC?PA，其中PC為主軸在C點所消耗的總功率。

將1～4號實驗組測得的磨削功率代入式（25）得到4個方程，其中的heq，i由1.2小節提出的方法確定，此時4個方程僅包含2個未知數（K和f），構成一組超定方程組。使用MATLAB中的fsolve函數求解該方程組，得到K=8.994×104、f=0.735。將K和f的值代入磨削功率模型即可對表2中各實驗組的磨削功率進行預測。各組實驗的實測和預測磨削功率如圖10所示，預測磨削功率的相對誤差如圖11所示。由圖11可見：預測磨削功率與實測磨削功率接近，預測磨削功率的最大相對誤差lt;15.0%，驗證了功率模型的正確性。

另外，由1.2小節的分析和推導可知：砂輪在寬度方向上的當量磨削層厚度是不同的，因此在砂輪寬度方向上各砂輪薄片所消耗的磨削功率也不相同。圖12為9號實驗組中計算得到的砂輪寬度方向上不同位置的當量磨削層厚度和單位寬度磨削功率。從圖12可見：最大當量磨削層厚度和最大單位寬度磨削功率存在于砂輪邊緣處，因而砂輪邊緣承受最大的磨削力和磨削熱。由此可以推斷砂輪邊緣是砂輪磨損最嚴重的位置，該結論與LIU等[18]的實驗結果以及UHLMANN等[10]的仿真結果一致。

3結論

針對整體刀具容屑槽磨削，將砂輪離散為一組等厚度的砂輪薄片，通過引入磨削接觸區形狀系數，提出各砂輪薄片當量磨削層厚度的計算方法，并基于當量磨削層厚度建立整體刀具容屑槽磨削的磨削功率模型，得出如下結論。

（1）磨削實驗結果表明：容屑槽磨削功率的預測值與測量值之間的最大相對誤差lt;15.0%，驗證了功率模型的正確性。

（2）仿真結果表明：沿砂輪寬度方向上的當量磨削層厚度以及單位寬度磨削功率是逐漸變化的，其最大當量磨削層厚度和最大單位寬度磨削功率存在于砂輪邊緣處，沿砂輪寬度方向上逐漸變化的當量磨削層厚度將會導致砂輪寬度方向上的非均勻磨損。

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作者簡介

通信作者：任磊，男，1991年生，博士、講師。主要研究方向：高性能復雜刀具精密加工技術。

E-mail：renlei@hpu.edu.cn

（編輯：周萬里）

Grinding power model for flute grinding of solid tools based on equivalent"chip thickness

REN Lei，PAN Jiangtao，XIANG Daohui，MA Junjin，CUI Xiaobin

（School of Mechanical and Power Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454003，Henan，China）

Abstract Objectives：During the flute grinding process of solid tools，the majority of grinding power is converted in-to grinding heat.Excessive grinding power can cause a rapid temperature rise on the surface of the contact area between the grinding wheel and the tool，which can easily lead to grinding burns and eventually tool failure.A grinding power model for flute grinding of solid tools is proposed based on equivalent chip thickness，aiming to achieve precise predic-tion and control of grinding power for flute grinding.Methods：A kinematic model for flute grinding is established us-ing homogeneous coordinate transformation.On this basis，according to the theory of conjugate surfaces，the instantan-eous contact line between the grinding wheel surface and the flute surface during the grinding process is obtained，and the grinding wheel is discretized into a set of equally thick grinding wheel slices.The grinding contact arc length is ob-tained by calculating the intersection points between the grinding wheel slices and the tool cylindrical surface.Flute"grinding is regarded as external cylindrical grinding with a special contact zone shape.By introducing the contact-area-shape coefficient to define the equivalent grinding depth and the equivalent feed rate of each grinding wheel slice，the formula for calculating the equivalent grinding layer thickness of flute grinding is derived.When the linear speed of the grinding wheel，the axial feed speed of the workpiece，and the grinding contact arc length of each grinding wheel slice are known，the equivalent chip thickness of each grinding wheel slice can be calculated as long as the shape coefficient of the contact area is given.The cross-section profiles of the chute are discretized into small triangles，and the area of the cross-section profile of the chute is obtained by calculating the area of each triangle.The material removal rate of the chute during grinding is determined by combining the axial feed velocity of the workpiece.According to the principle of conservation of material removal rate，the formula for the shape coefficient of the contact area is derived.Based on the mathematical relationship between the local grinding power of each grinding wheel slice and the thickness of the equi-valent grinding layer，the empirical model for flute grinding power is established.The experimental verification of the model is carried out on an ANCA MX7 CNC tool grinding machine.The flute with a spiral angle of 30°is ground on a cemented carbide rod with a metal-bonded diamond wheel.The spindle power data of the machine tool PLC is recorded using the data recording function of iGrind grinding software.The spindle power includes grinding power and spindle idle power，so grinding power is obtained by subtracting idle power from spindle power.Twenty sets of grinding experi-ments are carried out under different grinding parameters，and an overdetermined equation set is established by substi-tuting the grinding power data of four sets of experiments into the power model.By solving this equation system，the two empirical constants in the model are obtained.Then，the grinding power model is used to predict the grinding powers of twenty sets of grinding experiments，and the predicted grinding powers are compared with the actual grinding powers.Results：The comparison results show that the predicted grinding powers are close to the actual grinding powers，and the maximum relative error of the predicted grinding power is less than 15%.The equivalent chip thickness of each wheel slice and the grinding power per unit width vary gradually along the width of the grinding wheel，and the maximum equivalent chip thickness and the maximum grinding power per unit width exist at the edge of the grinding wheel.Conclusions：The proposed grinding power model based on equivalent chip thickness can precisely predict the grinding power during the flute grinding process of solid tools，and obtain the distribution of grinding power in the width direction of the grinding wheel.The grinding power can be precisely controlled by adjusting grinding parameters with this model，and the maximum equivalent chip thickness and the maximum grinding power per unit width exist at the edge of the grinding wheel during the grinding process of the chute，which will lead to non-uniform wear in the dir-ection of the width of the grinding wheel.

Key words solid tool；flute；grinding power；equivalent chip thickness；helical groove