“面積法”的三個應用

教材中對勾股定理的證明是通過對面積關系的探究完成的，事實上，將同一圖形的面積用不同表達方式列出相等關系是解決數學問題的一種常用策略，下面舉例介紹.

一、求三角形中線段的長度

例1 如圖1，在[Rt]△[ABC]中，[∠ACB=90°]，[AC=9]，[BC=12]，[CD=7]，連接AD，過點[D]作[DH⊥AB]于點[H]. 求[DH]的長.

解析：[在Rt]△[ABC]中，[∵∠ACB=90°]，[AC=9]，[BC=12]，

由勾股定理得[BA=BC2+AC2=15].

在△[ABD]中，[∵DH⊥AB]，[∴][S△ADB=12AB?DH=12BD?AC].

∵[BD=CB-CD=5]，

[∴][12×15×DH=12×5×9]，[∴DH=3].

點評：本題以△[ABD]的面積為目標，通過選擇不同的邊作底，兩次計算△ABD的面積，構造出關于[DH]的方程快速求解.

例2 如圖2，在[△ABC]中，[AD]是它的角平分線.

（1）求證：[S△ABD]∶S△ACD =" AB∶AC.

（2）如果[AB=6]，[AC=4]，[BC=8]，求[BD]的長.

解：（1）過[D]作[DE⊥AB]于[E]，[DF⊥AC]于[F]，如圖3.

[∵AD]平分[∠BAC]，[∴DE=DF].

[∵][S△ABD=12AB?DE]，[S△ACD=12AC?DF]，

[∴][S△ABDS△ACD=12AB?DE12AC?DF=ABAC].

（2）如圖4，過點[A]作[AE⊥BC]于[E].

[∵][S△ABD=12BD?AE]，[S△ACD=12CD?AE]，

[∴][S△ABDS△ACD=12BD?AE12CD?AE=BDCD]，[∴][ABAC=BDCD].

[∵AB=6]，[AC=4]，[BC=8]，[∴][64=BD8-BD]，[∴BD=4.8].

點評：為了發現四條線段AB，AC，BD，CD之間的關系，在（1）問結論的啟發下，我們轉換視角，選取了線段BD，CD為底來探究[S△ABD與S△ACD]的比值，發現[S△ABDS△ACD=BDCD]，借助面積比不變為中間媒介得到[ABAC=BDCD]，為解決問題開辟了航道.

二、判斷三角形的形狀

例3 如圖5，在[Rt△ABC]中，[∠ACB=90°]，[CD⊥AB]于[D]，設[AC=b]，[BC=a]，[AB=c]，[CD=h]. （1）求證：[1a2+1b2=1h2]；（2）判斷以[a+b]，[h]，[c+h]為邊的三角形的形狀，并說明理由.

解：（1）[在Rt△ABC中]，[∵∠ACB=90°]，[CD⊥AB]，

[∴][S△ABC=12ab]" =" [12ch]，

[∴ab=ch]. 兩邊平方，得[（ab）2=（ch）2]，即[a2b2=c2h2].

[由勾股定理得a2+b2=c2]，[∴a2b2=（a2+b2）h2]，[∴][a2b2a2+b2=h2]，

[∴][a2+b2a2b2=1h2]，[∴][1a2+1b2=1h2].

（2）是直角三角形.

理由：[∵c2lt;c2+h2]，[a2+b2=c2]，[∴a2+b2lt;c2+h2].

[∵ab=ch]，[∴a2+b2+2ablt;c2+h2+2ch]，[∴（a+b）2lt;（c+h）2]，[∴a+blt;c+h.]

[∵h2+（a+b）2=h2+2ab+a2+b2=h2+2ch+c2=] （c + h）2，

根據勾股定理的逆定理可知，以[h]，[c+h]，[a+b]為邊構成的三角形是直角三角形.

點評：解決（1）問的關鍵是根據Rt△ABC面積的兩種表示方法得出等式[ab=ch]，然后利用勾股定理進行變形. （2）問是運用勾股定理的逆定理來證明的，但要先判斷出最長邊，其中兩次運用了由“面積法”獲得的結論[ab=ch].

三、證明線段之間的關系

例4 在△ABC中，AB = AC，CG ⊥ BA交BA的延長線于點G.

【特例感知】

（1）將一等腰直角三角尺按圖6所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經過點B. 通過觀察、測量BF與CG的長度，得到BF = CG. 請給予證明.

【猜想論證】

（2）當三角尺沿AC方向移動到圖7所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點D，過點D作DE ⊥ BA，垂足為E. 此時請你通過觀察、測量DE，DF與CG的長度，猜想并寫出DE，DF與CG之間存在的數量關系，并證明你的猜想.

【聯系拓展】

（3）當三角尺在圖7的基礎上沿AC方向繼續移動到圖8所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立. （不用證明）

解析：（1）∵[S△ABC=12AB?CG=12AC?BF]，AB = AC，∴BF = CG.

（2）結論：CG = DE + DF.

理由：如圖9，連接AD.

∵S△ABC = S△ABD + S△ADC，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，CG ⊥ AB，

∴[12]·AB·CG [=12]·AB·DE [+ 12]·AC·DF.

∵AB = AC，∴CG = DE + DF.

（3）仍然成立. 理由：如圖10，連接AD.

∵S△ABC = S△ABD + S△ADC，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，CG ⊥ AB，

∴[12]·AB·CG [=12]·AB·DE [+ 12]·AC·DF.

∵AB = AC，∴CG = DE + DF.

點評：雖然三角板位置變化了，但△ABC的面積沒有變化，觀察圖7（連接AD）可以發現△ABC被分割成△ABD和△ADC，因而從面積的視角可得 S△ABC = S△ABD + S△ADC，利用三角形面積公式即可證得. 由此我們發現這類問題的解決方法：先從特例入手，發現證明方法，然后運用類比的思維策略，抓住運動過程中的“不變因素”（但要審視原來證明方法是否適用，輔助線的作法能否遷移，等等），獲得問題的答案.

（作者單位：湖北省宜都創新實驗學校）