拼圖中的乘法公式

在數學的廣闊天地里，整式乘法仿佛是一把神奇的鑰匙，輕輕一轉，便能開啟代數世界那扇充滿奧秘的大門。它不僅是解決復雜數學難題的基本工具，更是一座橋梁，巧妙地將代數與幾何、抽象思維與直觀感受緊密相連。試想，如果我們能把這原本單調的數學運算，轉變為一場色彩斑斕、形狀多樣的拼圖游戲，那將會是一幅多么引人入勝的畫面啊！

“拼圖中的乘法公式”正是這樣一場數學與藝術的浪漫邂逅。在這里，每一個整式都不再是冷冰冰的符號堆砌，而是幻化成一塊塊充滿活力與創意的拼圖碎片。它們有的長，有的短，各具特色，正等待著我們去挖掘它們之間隱藏的奧秘，用智慧與想象將它們拼接起來，共同構建出整式乘法那既奇妙又迷人的世界。現在，就讓我們攜手踏上這段探索之旅，從多個維度去領略整式乘法的獨特魅力吧！

平方差公式再辨析

教材上給出了一種求平方差公式的拼圖方法，我們不妨想一想還有沒有其他的方法。

如圖1，從邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪成兩個相同的直角梯形，然后拼成一個長方形。

如圖2，從邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪成四個相同的等腰梯形，然后拼成一個平行四邊形。

通過計算拼接前后兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的乘法公式是_____________。

拓展：你能通過拼圖得到公式（a+2b）（a-2b）=a2-4b2嗎？

完全平方公式再探究

現有A型紙片（邊長為a的正方形），B型紙片（邊長為b的正方形），C型紙片（長為a、寬為b的長方形）若干。

教材上利用這些紙片給出了一種求完全平方公式的拼圖方法，那用這些紙片還能不能驗證其他的公式呢？

（1）觀察圖3、圖4，你能得到什么公式？

（2）你能自己提出一個乘法公式，并運用上面的三種紙片設計相應的拼圖圖案嗎？

（3）觀察圖5，你能得到什么樣的等式呢？試用乘法公式說明這個等式成立。（提示：可以算一算大正方形、中間小正方形、長方形三者面積之間的關系。）

拓展：若不局限于目前已有的紙片種類和數量，你能通過拼圖得到（a+b+c）2的結果嗎？若不局限于平面圖形（可以是長方體、正方體等立體圖形），你能通過拼圖得到（a+b）3的結果嗎？

乘法公式再生長

在乘法公式的學習中，借助拼圖，我們運用數形結合的思想在多項式乘法和長方形面積之間建立了聯系。如圖6，若將邊長為a、b、c的四個直角三角形和一個邊長為c的正方形拼成下圖。試用不同的方法計算這個圖形的面積，你有什么發現呢？

如果把圖6看成一個大正方形，S大正方形=（a+b）2；

如果把圖6看成一個小正方形和四個小三角形組成，S大正方形=c2+4×[1/2ab]=c2+2ab。

由此得到（a+b）2=c2+2ab。

化簡，得a2+b2=c2。

觀察等式，你能說說直角三角形三邊有什么關系嗎？圖7能不能得到這個等式？

（作者單位：南京師范大學附屬中學樹人學校）