基于尾流振子模型渦激振動數值模擬的加權顯隱交替計算數值方法

摘要：采用尾流振子模型對柔性圓柱體建立振動控制耦合方程，以實現立管渦激振動（VIV）行為的準確預測和分析。鑒于方程的非線性、耦合性以及偏微分特征，提出一種新算法，即加權顯隱交替計算數值方法，并對4種不同長徑比的立管進行數值模擬。結果表明：該方法在提升計算效率的同時，也增強數值穩定性；不同的空間和時間步長對差分格式穩定性以及計算速度存在影響，應靈活地調整這些參數以獲得最佳的模擬效果；不同加權系數組合的數值解的精度對加權系數的選擇并不敏感，選擇計算簡單且穩定性好的加權系數即可；深海立管的振動行為呈現出明顯的方向性特征，這一行為是由行波和駐波的共同作用所引導；行波主要對立管的中部區域產生影響，而駐波則主要作用于立管的兩端；隨著立管長徑比的增加，行波的影響逐漸向立管中上部分遷移，并且它控制的區間長度也隨之增大，同時駐波對立管下端的影響變得越發顯著，參與渦激振動的模態數量也相應增加。

關鍵詞：加權顯隱交替計算； 非線性耦合偏微分方程； 渦激振動； 數值模擬

中圖分類號： O 241.82"" 文獻標志碼：A" 文章編號：1673-5005（2025）02-0159-08

Weighted explicit-implicit alternating method for numerical simulation of vortex-induced vibration based on wake oscillator model

MA Ning^1，2，" WANG Yanbin3， JIA Guangyan1， CUI Zhenxuan1， LIU Yaobin1

（1.School of Science， China University of Petroleum （Beijing）， Beijing 102249， China；

2.State Key Laboratory of Petroleum Resources and Engineering， China University of Petroleum （Beijing）， Beijing 102249， China;

3.College of Petroleum Engineering， China University of Petroleum（Beijing）， Beijing 102249， China）

Abstract： Using the wake oscillator model， a vibration control coupling equation was established for the flexible cylinder to achieve accurate prediction and analysis of the vortex-induced vibration （VIV） behavior of the riser. Due to the nonlinearity， coupling， and partial differential nature of the equations， a new numerical method-weighted explicit-implicit alternating method was proposed. Then this method was applied to perform numerical simulations of risers with four different aspect ratios. The results show that the method can enhance numerical stability while improve computational efficiency. By analyzing various combinations of spatial step and time step sizes， it is found that they have an impact on the stability of difference schemes as well as computational speed. These parameters should be adjusted flexibly to achieve the best simulation results. Analysis of different weighting coefficient combinations shows that the precision of the numerical solution is not sensitive to the choice of weighting coefficients. Then， computationally efficient and stability-optimized coefficients are selected. The vibration behavior of deep-sea risers exhibits significant directional characteristics， which are guided by the combined effects of traveling waves and standing waves. Traveling waves primarily affect the central region of the riser， while standing waves predominantly influence the two ends of the riser. As the aspect ratio of the riser increases， the influence of traveling waves gradually shifts towards the upper-middle section， and the length of the affected region also increases. Meanwhile， the influence of standing waves at the lower end of the riser becomes more pronounced， and the number of modes participating in vortex-induced vibration also increases.

Keywords： weighted explicit-implicit alternating calculation; nonlinear coupled partial differential equation; vortex-induced vibration; numerical simulation

渦激振動（vortex induced vibration，VIV）是深海立管設計和維護中不可忽視的關鍵因素^［1］。渦激振動是由流體繞過立管時產生的交替渦旋引發的^［2-4］。隨著水深的增加，立管的柔性增大，渦激振動對立管的影響變得尤為顯著，可能導致疲勞損傷。研究圓柱體渦激振動響應的方法主要有實驗方法^［5-6］和數值模擬方法^［7-13］，數值模擬方法又可分為計算流體動力學方法以及半經驗模型方法。深海立管渦激振動的流固耦合問題本質上是高階偏微分耦合方程數值模擬問題，學者們采用的數值解法主要為有限元方法^［14-16］與有限差分法^［17-18］。筆者將細長柔性圓柱體看作張力索模型^［19］，研究基于尾流振子模型的渦激振動耦合方程，提出一種新算法—加權顯隱交替計算數值方法。通過與文獻數據對比，驗證該方法的準確性，同時分析不同空間和時間步長以及不同加權系數組合對數值模擬結果的影響。利用所提出的數值解法，對4種不同長徑比的立管進行數值模擬。

1 數學模型

對于柔性圓柱體，VIV響應同時受彎曲剛度EI和張力θ的支配。然而，當縱橫比變得非常大（在10³的相同數量級上）時，與張力相比，彎曲剛度對VIV響應的影響非常小，甚至可以忽略不計。因此，具有非常大縱橫比的圓柱體可以簡化為無限張力索模型。

考慮一個受到固定均勻流作用的材料性質均勻、長為L、直徑為D、沿Z軸運動、軸向張力不變、兩端固定的無限張力索。取其下端為坐標原點O，X方向為順流方向，Y方向為橫流方向，Z方向為沿立管方向，X，Y以及Z三個方向形成右手直角坐標系，具體方向如圖1所示。

考慮圓柱體在Y方向上的位移，其在渦激振動作用下的橫向運動方程^［20］為

ml2Y（Z，T）T2+R

Y（Z，T）T-θ2Y（Z，T）Z2=P（Z，T），

2q（Z，T）T2+εΩf［q2（Z，T）-1］

q（Z，T）T+Ω2fq（Z，T）=AD2Y（Z，T）T2.""""""" （1）

式中，Y為柔性立管的橫向位移，它是關于時間T和立管坐標Z的函數，模型中關于Y的表達式為結構振動方程；Z為立管沿豎直方向的坐標；ml=ms+mf代表振動系統中每單位長度的質量，ms為結構質量，mf=CMρD2π/4為附加質量；CM為附加質量系數；ρ為流體密度；D為立管直徑；d為立管半徑；R為阻尼系數，包括結構阻尼系數Rs與流體阻尼系數Rf之和，即R=Rs+Rf，Rf=γΩfρD2，γ=CD/4πSt；CD為平均阻力系數；Ωf=2πStU/D，其中St為斯托哈爾數，與雷諾數和管道橫截面有關；θ為立管所受頂張力；P（Z，T）是每單位長度的升力，其表達式為P（Z，T）=ρU2DCL0q（Z，T）/4；CL0為升力系數；q（Z，T）為無量綱尾流變量；Ωf為漩渦脫離頻率；A、ε為經驗參數。與流體阻尼系數的值相比，尤其是在水等低質量比介質中，結構阻尼系數非常小，因此忽略結構阻尼系數；采用經典的Van der pol方程^［21］來模擬尾流動力。

初始時刻為靜止狀態，所以初始位移與初始速度均為零，對流體變量q施加振幅為O（10^-3）階的單波激勵，并且設一階導數為零，以確保在初始時刻流體的動力效應被忽略。故立管位移Y與流體變量q的初始條件可表示為

Y（Z，0）=0， Y（Z，0）T=0，

q（Z，0）=O（10^-3）， q（Z，0）T=0.

（2）

邊界條件假設為兩端固定，邊界上的位移始終為零，即

Y（0，T）=0，Y（L，T）=0.（3）

2 加權顯隱交替計算數值方法

在方程（1）的基礎上，得到立管渦激振動控制方程為

ml2Y（Z，T）T2+

RY（Z，T）T-θ2Y（Z，T）Z2=ρUDCL0q（Z，T）4，

2q（Z，T）T2+εΩf［q2（Z，T）-1］

q（Z，T）T+Ω2fq（Z，T）=

AD2Y（Z，T）T2.（4）

首先對耦合方程進行無量綱化處理，引入以下無量綱參數：

y=Y/D；z=Z/D；t=TΩf.（5）

于是方程（4）化為

2y（z，t）t2+γμy（z，t）t-c2

2y（z，t）z2=Mq，

2q（z，t）t2+ε［q2（z，t）-1］

q（z，t）t+q（z，t）=A2y（z，t）t2，

（6）

其中

μ=mlρD2，c=θ/ml/（ΩfD），M=CL016π2St2μ.

初始條件式（2）化為

y（z，0）=0， y（z，0）t=0，

q（z，0）=O（10^-3）， q（z，0）t=0.

（7）

邊界條件式（3）化為

y（0，t）=0，y（L/D，t）=0.（8）

將縱橫比為L/D的立管沿其長度方向劃分為若干段，形成一系列的節點，這些節點用來表示空間層。其中zm表示第m個節點的位置，m=0，1，…，M，節點的總數為M+1。將立管最下端的節點標記為z0，將立管最上端的節點標記為zM，空間步長Δz記為h，即Δz=h=（L/D）/M。在時間維度上，用n表示時間層，其中tn表示第n個時間層，n=0，1，…，N，最終計算時刻為tN，時間步長Δt記為τ，即Δt=τ=T/N.

關于加權差分格式的構造，首先引入差分記號。

δzy（z，t）=yz+12Δz，t-yz-12Δz，t，

δ2zy（z，t）=y（z+Δz，t）-2y（z，t）+y（z-Δz，t），

Δ+ty（z，t）=y（z，t+Δt）-y（z，t），

Δ-ty（z，t）=y（z，t）-y（z，t-Δt），

δ2ty（z，t）=y（z，t+Δt）-2y（z，t）+y（z，t-Δt），

δotq（z，t）=12（Δ+t+Δ-t）q（z，t）=12q（z，t+Δt）-q（z，t-Δt），

δ2tq（z，t）=q（z，t+Δt）-2q（z，t）+q（z，t-Δt）.

假設偏微分方程初值問題的解y（z，t）與q（z，t）是充分光滑的函數，由Taylor級數展開有^［22］

y（z，t）tnm=

αΔ+ty（zm，tn）τ+（1-α）

Δ-ty（zm，tn）τ+（1-2α）O（τ）+O（τ2），

2y（z，t）t2nm=

δ2ty（zm，tn）τ2+O（τ2），

2yz2nm=

ηδ2zy（zm，tn-1）+（1-2η）δ2zy（zm，tn）+ηδ2zy（zm，tn+1）h2+O（h2），

q（z，t）tnm=

δotq（zm，tn）τ+O（τ2），

2q（z，t）t2nm=

δ2tq（zm，tn）τ2+O（τ2）.

式中，［·］nm表示括號內的函數在節點（zm，tn）處取的值；α與η為加權系數。

根據上式將初始條件（7）離散，得

y0m=0， y^-1m=α1-αy1m，

q0m=O（10^-3）， q^-1m=q1m.

將邊界條件（8）離散，得

yn0=ynM=0.

對耦合方程（6）第一式進行離散并移項，可得如下差分格式，當α=12時，其截斷誤差為O（τ2+h2），節點分布如圖2所示。

yⁿ⁺¹m-1（-c2ηΔz2）+yⁿ⁺¹m（1Δt2+γαμΔt+2c2ηΔz2）+yⁿ⁺¹m+1（-c2ηΔz2）=

-ynm-1［-c2（1-2η）Δz2］-ynm［-2Δt2+γ（1-2α）μΔt+2c2（1-2η）Δz2］-ynm+1［-c2（1-2η）Δz2］

-y^n-1m-1（-c2ηΔz2）-y^n-1m［1Δt2+γ（1-α）μΔt+2c2ηΔz2］-y^n-1m+1（-c2ηΔz2）+Mqnm.（9）

對耦合方程（6）第二式進行離散并移項，可得如下差分格式，其截斷誤差為O（τ2），節點分布如圖3所示。

qⁿ⁺¹m1Δt2+ε（qnm）2-12Δt=qnm（2Δt2-1）-q^n-1m1Δt2-ε（qnm）2-12Δt+Ay^n-1m-2ynm+yⁿ⁺¹mΔt2.（10）

令n=0帶入式（9），可得第一層節點y的表達式為

y1m-1-c2ηΔz2+y1m1Δt2+2c2ηΔz2+y1m+1-c2ηΔz2=Mq0m（1-α）.（11）

令n=0帶入式（10），可得第一層節點q的表達式為

2Δt2q1m=q0m2Δt2-1+Ay1m（1-α）Δt2.（12）

利用初始條件及邊界條件即可求得n=1時間層上的未知量y1m，通過式（12）可求得n=1時間層上的未知量q1m。通過迭代求解計算得到第n時間層上的未知量ynm。通過式（10）可求出第n時間層上的未知量qnm。

3 數值驗證

通過數值實驗來驗證加權顯隱交替計算有限差分法的準確性和有效性，包括驗證位移均方根和升力系數均方根。文獻［23］采用中心差分數值方法求解立管渦激振動模型的耦合方程，并驗證了其模型與方法的準確性和有效性。筆者沿用相同的立管參數，并將數值結果與之進行對比驗證。具體參數為CD=1.2，CL0=0.3，St=0.20，μ=2.785，c=23.6，L/D=2 000，A=12，ε=0.3。對于加權系數，取

α=η=1/2，則迭代格式為隱式格式，為無條件穩定，取Δz=1，Δt=0.01.

立管各個位置的位移均方根計算公式為

yrms（mΔz）=1T∫T0y2（mΔz，t）dt，m=0，1…，M.

計算VIV位移均方根值的時間區間為穩定振動周期400～600 s，將計算得到VIV位移的RMS值與文獻［23］結果進行比較，如圖4所示。結果表明，在可接受的誤差范圍內，該方法數值模擬結果與文獻均方根位移保持較高的一致性。

升力系數計算公式為

CL（Z，T）=CL0q（Z，T）/2.

式中，取參考升力系數CL0=0.3；q（Z，T）是無量綱尾流變量。

立管各個位置的升力系數均方根值為

CLrms（mΔz）=1T∫T0C2L（mΔz，t）dt，m=0，1…，M.

將計算得到的升力系數均方根值與文獻［23］中的結果進行比較，如圖5所示。結果表明，在可接受的誤差范圍內，該方法數值模擬結果與文獻升力系數均方根位移保持較高的一致性。

不同的加權系數可得到不同的差分格式。對于差分格式（9），當η=0時，它是一個采用標準中心差分的顯式格式；當η≠0時，它是一個隱式格式，而對于差分格式（10），它是一個顯式格式。當差分格式（9）是一個隱式格式時，意味在每個時間層下都需求解一個線性方程組，從而確保了數值解ynm的穩定性，但這也導致計算成本增加。而差分格式（10）是顯式格式，可以直接對數值解qnm進行顯式計算，避免了求解線性方程組的復雜性，加快了求解速度。這種隱式與顯式結合的交替計算方法相對于其他求解耦合方程的數值格式，不僅節省了計算時間，提高了計算效率，還增強了數值解的穩定性，具有明顯的優勢。

選取多種空間步長與時間步長組合進行數值模擬，研究不同網格比對差分格式穩定性的影響。通過觀察位移與時間圖像，判斷其振動是否穩定。圖6為穩定與不穩定兩種情況，圖6 （a） 為穩定狀態，圖6 （b） 位移振幅高達10¹⁹量級，且波動較大，表明存在顯著的不穩定性。模擬結果見表1。從表1看出，保持差分格式的穩定性關鍵在于適當調整空間與時間步長：減小空間步長時，相應的時間步長也應縮短。此外在計算時間方面，當空間步長Δz固定的情況下，時間步長Δt越大，所用時間越短。如當Δz固定為1時，若選取Δt=0.01，則所用時間為12 s，若選取Δt=0.1，所用時間減少到3 s。然而較小的時間步長能夠繪制出更為精細的立管振動圖像，從而能更準確地分析振動響應。因此在數值模擬實踐中應充分考慮計算資源的限制，靈活調整時間與空間步長，以實現最優的模擬效果。

為探究加權系數α和η對數值結果的影響，考慮一系列不同的加權系數組合，這些參數組合下的計算結果見表2。

通過比較這些不同加權系數配置下得到的位移振幅與均方根位移結果的最大值，發現數值解的精度受加權系數選擇的影響較小。這表明在參數范圍內加權系數的變化對立管渦激振動數值模擬的結果影響相對有限，說明該數值模擬方法對這些參數具有一定的魯棒性。

4 立管參數分析

采用上述加權顯隱交替計算數值方法，探究立管細長比對渦激振動響應的影響。在數值模擬過程中，立管其余參數與文獻［23］中所述一致，空間步長Δz設為1，時間步長Δt設為0.01，總計算時間為400個無量綱時間。由于在進行數值驗證分析時，發現加權系數的變化對立管渦激振動數值模擬的結果影響有限，因此選取加權系數為α=η=12以簡化計算過程。

選取4種不同的細長比進行數值模擬，最終選擇穩定周期下t=300～400的結果計算均方根位移。結果顯示，當長徑比為1 500、2 000、2 500、3 000時，位移均方根最大值分別為0.441、0.432、0.452和0.414。圖7為立管在不同長徑比下均方根位移沿跨度的具體分布。可以看出，在t=300～400時間段內立管的平均響應振幅呈現“波浪”形狀，這揭示了立管整體受到駐波的顯著影響。隨著長徑比的變大，波谷和波峰之間的距離逐漸縮小，尤其是在立管的中上部這種現象更加突出。這說明隨著立管長度的增加，行波對立管的影響逐漸向中上部集中，而駐波主要影響立管的下端。此外隨著細長比的增加，雖然均方根位移的最大值變化不大，但參與渦激振動的模態數量有所增加。

圖8為在均勻流環境中不同長徑比的立管隨時間和跨度位置變化的振動位移，選擇的時間為穩定周期下t=300到t=400。可以看出，立管的振動受行波與駐波的共同作用，其中行波主要影響立管中

部區域，而駐波則主要作用于立管的兩端，這種振動行為表現出清晰的方向性特點。此外，隨著長徑比的增加，可以觀察到行波對立管的影響逐漸向中上部分移動，并且其控制的區域長度也隨之增大。與此同時，駐波對立管下端的影響變得更加突出，這與圖7的分析結果吻合。這些現象進一步強調了細長結構物在不同長徑比下，其渦激振動特性的復雜性和變化趨勢，為理解細長結構物的渦激振動特性提供了有價值的見解。

5 結 論

（1）針對柔性立管振動控制方程的非線性、耦合性及偏微分特征，在無量綱化處理的基礎上建立一種平衡數值穩定性與計算效率的加權顯隱交替計算數值方法，通過與現有文獻結果的對比分析，驗證了該方法的有效性和準確性。

（2）在實際數值模擬中要靈活調整時間與空間步長，以實現最優模擬效果;數值解的精度對于加權系數的選擇并不高度敏感。

（3）立管長徑比對渦激振動特性有重要影響。深海立管的振動行為呈現出明顯的方向性特征，這一行為是由行波和駐波的共同作用所引導；行波主要對立管的中部區域產生影響，而駐波則主要作用于立管的兩端；隨著立管長徑比的增加，行波的影響逐漸向立管中上部分遷移，并且它控制的區間長度也隨之增大；駐波對立管下端的影響變得越發顯著，參與渦激振動的模態數量也相應增加。

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（編輯 劉為清）

基金項目：國家自然科學基金優秀青年基金項目（52322110）；北京市科技新星計劃項目（20230484341）；中國石油大學（北京）油氣資源與工程全國重點實驗室課題（PRE/DX-2404）

第一作者：馬寧（1977-），女，副教授，博士，研究方向為偏微分方程數值解法和科學工程計算及軟件應用。E-mail：ningma@cup.edu.cn。

通信作者：王宴濱（1988-），男，教授，博士，研究方向為油氣井力學與控制工程。E-mail：wangyanbin@cup.edu.cn。

引用格式：馬寧，王宴濱，賈光燕，等.基于尾流振子模型渦激振動數值模擬的加權顯隱交替計算數值方法［J］.中國石油大學學報（自然科學版），2025，49（2）：159-166.

MA Ning，" WANG Yanbin， JIA Guangyan， et al. Weighted explicit-implicit alternating method for numerical simulation of vortex-induced vibration based on wake oscillator model［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2025，49（2）：159-166.