雙閉環PID控制的一階倒立擺系統設計

摘 要：為了進一步提高倒立擺系統控制的穩定性，本文將雙閉環PID控制策略應用于倒立擺系統中，利用MATLAB建立了一階倒立擺模型，使用倒立擺模型對控制算法進行仿真驗證，測量擺動角度、位移以及穩定時間等參數來評估其穩定性。仿真結果表明，調整PID控制參數提高了倒立擺系統的控制性能和魯棒性。

關鍵詞：雙閉環PID控制；一階倒立擺系統；魯棒性；穩定控制策略

中圖分類號：TP 391" " " 文獻標志碼：A

隨著現代控制技術和計算機技術的發展，倒立擺系統的控制問題越來越受到自動控制領域研究者的關注。自1998年以來，在倒立擺控制系統理論研究方面，模糊控制算法[1]和神經網絡控制算法[2]等都取得了顯著進展。倒立擺控制系統理論價值比較高，在工程應用領域應用前景廣泛[3]，例如測控技術、運載工具控制技術、機器人技術以及航空航天技術等。但是倒立擺控制系統是一個比較復雜并且不穩定的物理系統，該物理系統具有非線性特性，其系統狀態會隨時間變化而變化，這種變化是一種趨于極限的運動，不能保持穩定的工作狀態。如果需要使倒立擺系統保持穩定，須利用外部輸入對其進行控制和調節。本文利用MATLAB建立一階倒立擺系統模型，并將雙閉環比例-積分-微分（Proportion Integration Differentiation，PID）控制策略應用于一階倒立擺系統的控制中。測量擺動角度、位移以及穩定時間等參數來評估系統穩定性，雙閉環PID控制策略能夠有效提高倒立擺控制系統的控制精度。

1 一階倒立擺系統設計

1.1 一階倒立擺系統模型

倒立擺控制系統是一個不穩定的系統。當建模時，可以將該系統簡化為由小車和勻質剛性桿組成的模擬系統，忽略空氣阻力和其他不重要的摩擦力。倒立擺控制系統的工作原理是使用軸角編碼器實時測量小車位置和擺桿偏離垂直方向的角度，并將這些信息作為輸出控制信號反饋至計算機。計算機根據預設的控制算法計算出有效的控制量，驅動執行機構動作，進而控制擺桿運動，使小車保持平衡。

一階倒立擺控制系統主要由一階倒立擺組件、傳感器、控制器和執行機構組成[4]。系統通過檢測小車位置和倒立擺擺桿擺動角度的變化來判斷倒立擺的穩定狀態，控制器根據測量信息產生控制量驅動執行機構，對倒立擺進行控制，使其保持穩定的豎直狀態。

1.2 系統模型建立

在建立模型的過程中，忽略空氣阻力和其他不重要的阻力[5]，并將倒立擺系統簡化成一個由小車和剛性桿組成的模擬系統。根據牛頓經典力學理論建立微分方程，角加速度是轉動慣量與該軸上力矩的代數和之比。一階倒立擺的精確模型的狀態方程如公式（1）所示[6]。

（1）

式中：x為水平移動量；J為擺桿的轉動慣量；m為倒擺振子的質量；L為倒擺長度；F 為對倒擺模型施加的力；θ 為擺桿與豎直向下的方向角 ； g為重力加速度；M為小車的質量。

考慮到系統處于平衡位置附近，如果對模型進行線性化分析，那么須分析θ在其工作點θ0=0附近的變化，假設θ擺幅不大，可以近似認為θ滿足以下條件，如公式（2）所示。

（2）

將公式（2）近似結果代入公式（1）可以得到一階倒立擺的簡化模型的狀態方程，如公式（3）所示。

（3）

1.3 模型驗證

假設倒立擺處于初始位置（θ=0，x=0），在此狀態下突然施加微小的沖擊力（F=0.1 N），根據動力學原理，系統中的小車會向前移動，擺桿會向下傾斜。作用力與倒立擺位置關系的仿真響應曲線如圖1所示。

在圖1（a）中， 當0.1 s時加入作用力f（t），其值為0.1 N，小車水平位移量x（t）隨時間推移逐漸增大。在圖1（b）中，加入f（t）后，擺桿擺角θ（t）隨時間推移逐漸增大。可見，在施加微小的外部沖擊力（0.1 N）后，倒立擺的擺桿出現傾倒，小車發生位移變化，說明該模型能夠比較準確地反映原始一階倒立擺系統的動態變化，可以應用該模型設計雙閉環控制系統。

2 雙閉環PID控制器設計

一階倒立擺系統是一個不穩定的最小相位系統[7]，其系統函數中必然會存在不穩定的零極點，為了有效抑制閉環系統，可以根據負反饋的閉環控制原理，將小車的位置控制系統作為系統的外環，將擺桿的擺角控制系統作為系統的內環，設計雙閉環的PID控制系統，對倒立擺系統進行位置伺服控制，進一步對系統狀態進行準確控制，保證系統穩定運行。

2.1 內環控制器設計

反饋校正有以下3個優點[8]。1）消除系統中非線性特性的影響。2）降低系統對參數變化的敏感性。3）抗擾動，并且減少系統的時間常數。將PD控制器[9]作為反饋校正，用于內環控制，內環反饋控制動態結構框如圖2所示。

設其傳遞函數如公式（4）所示。

D'2（s）=KD2s+KP2 " "（4）

式中：KD2和KP2分別為假設的一階內環系統函數D'2（s）的一階系數和常系數。

在前向通道加入一個比例環節D2（s）=K，進行抑制干擾。

設D2（s）的增益K=-20，由于KS為減速機構與伺服電機驅動器等效模型，因此可以假設KS=1.6，內環控制系統的閉環傳遞函數如公式（5）所示。

（5）

式中：W2（s）為中間環節的傳遞函數；K為閉環增益；G2（s）為系統被控對象的傳遞函數。

為了使控制系統能夠具有比較好的控制魯棒性，即對l和m不敏感，當l或m發生變化時，系統軌跡變化較小，需要對內環控制系統的參數進行優化設計。

計算系統對擺長的靈敏度S，如公式（6）所示。

（6）

式中：ζ為阻尼比；ωn為無阻尼自然頻率。

為了使內環系統具有快速跟隨的特性，設根軌跡變化≤5%，ζ=0.7，K=1，確定Kp2和KD2的值，如公式（7）所示。

（7）

因此，結合公式（4）可以得到內環系統的傳遞函數，如公式（8）所示。

D'2（s）=0.175s+1.625" " " " " " " " " " " （8）

其閉環傳遞函數如公式（9）所示。

（9）

2.2 外環控制器設計

外環控制系統如圖3所示，其前向通道的傳遞函數如公式（10）所示。

（10）

式中：W2（s）為中間環節的傳遞函數；G1（s）為被控對象傳遞函數。

系統的開環傳遞函數是一個高階的最小相位系統，為了提高設計的可行性，需要進一步進行簡化處理，例如降階。

忽略W2（s）的高次項，將原來的四階系統簡化為一階的等效系統，其傳遞函數如公式（11）所示。

（11）

對G1（s）進行近似處理，即舍棄高次項，將其近似為二階環節，其傳遞函數如公式（12）所示。

（12）

為滿足系統的設計需求，外環控制器也應當采用PD形式，其傳遞函數如公式（13）所示。

D1（s）=K3（τs+1） " " "（13）

式中：D1（s）為反饋環節的傳遞函數；K3為比例增益；τ為系統響應衰減到其初始值的一定比例所需的時間。

采用單位反饋（D'1（s）=K=1）構成外環反饋通道，使系統跟隨性能更高，經過以上降階等簡化處理，得到系統開環部分的傳遞函數，如公式（14）所示。

（14）

式中：W（s）為開環系統的傳遞函數。

根據典型Ⅱ型系統頻率特性最優解，得到Kp=0.12，τ=0.87，取整τ=1，外環控制器的傳遞函數如公式（15）所示。

D1（s）=0.12（s+1） （15）

綜上所述，得到系統仿真動態結構框，如圖4所示。

3 性能測試

對設計好的雙閉環PID控制系統進行性能檢測。假設一階倒立擺處于初始位置（θ=0，x=0），在階躍輸入條件下，小車位置以及擺桿擺角發生了相應變換，其仿真響應曲線如圖5所示。

由圖5可知，在雙閉環PID控制中，當系統有階躍激勵輸入時，一階倒立擺系統中小車位置x（t）與擺桿擺角θ（t）響應曲線在第6秒進入穩定狀態，小車移動至穩定位置，擺桿回歸垂直，保持倒立擺直立，使小車到達預設位置。

4 結論

一階倒立擺控制系統是一個非線性的不穩定系統，本文設計雙閉環PID控制系統，能夠使小車和擺桿快速達到平衡狀態，有效抑制了過大的擺動幅度和擺角。系統到達期望位置后，能夠有效抵御隨機擾動，保持穩定狀態，對一階倒立擺控制系統進行動態控制。

參考文獻

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[3]崔平，翁正新.基于狀態空間極點配置的倒立擺平衡控制[J].實驗室研究與探索，2003（2）：70-72.

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