時間尺度上具有時變時滯和額外食物供給的比例依賴食餌-捕食者模型的分析

中圖分類號：0175.1 文獻標志碼：A

Abstract：Inthispaper，weconsideraratio-dependentpredator-preymodelwithaddionalfoodsupplyontimescales.Consderingthe efecttievaryingdelays，thepermanenethepreypredatorpopulationsisobainedbyestablishingsomedynamicinequalities ontimecalesapplyingthecomparisontheorem.Furter，byemployingcoincidencedegreeteory，suficientconditionsfortheexistenceaperiodicsolutioninthemodelarederived.Finaly，wegiveanumericalexample toverifytheresultsouranalysis. Key words：predator-prey model;time scales;time delays;permanence;periodic solution

生物種群作為一種可再生資源，正日益受到人們的關注?？坍嫹N群發展與演化過程通常需要考慮種群間的復雜關系，如捕食、競爭、寄生和共生等，其中，捕食關系在生態系統的能量流動和物質循環中發揮關鍵作用。在食餌-捕食者模型的建立中，一個至關重要的概念是功能反應，它與食餌密度、捕食者密度、捕獲系數和處理時間等因素有關，其中Holling提出的4類功能反應函數尤為經典，特別地，比例依賴型功能性反應函數[1-4]闡述了捕食者的增長率是關于食餌與捕食者數量比率的函數。此外，為捕食者提供額外食物對種群動力系統研究起到了重要作用，一方面額外食物可分散捕食者對食餌的注意力，從而降低捕獲率；另一方面捕食者因獲得額外食物資源而提高繁殖率，導致食餌種群密度降低，甚至走向滅絕，具體見文獻［5-9]。受Arditi等[1]以及Srinivasu等[9]的觀點啟發，Kumar等[10]提出了一種比例依賴模型，該模型假定給予捕食者額外食物，模型如下所示

其中 N 和 P 分別代表食餌和捕食者數量，這里 N （ 0 ） gt; 0 ， P （ 0 ） gt; 0 。 A 表示捕食者的額外食物， r 表示食餌的內稟增長率， ∣ m ∣ 表示捕食者的自然死亡率， K 表示食餌的環境容納量。 和 分別表示捕食者對食餌和額外食物的捕獲系數， 和 分別表示食餌和額外食物的營養價值， 和 分別表示捕食者對每單位食餌生物量的比值 和每單位額外食物生物量比值 的處理時間。值得注意的是，種群的增長率不僅與當前種群密度相關，還與過去時期的種群密度相關，故而在種群模型中引入時滯是十分必要的[11-15] 。

考慮食餌成熟時間的影響，上述模型（1）可以進一步發展成一個具有時滯和額外食物的食餌-捕食者模型，其中 為時滯項，模型如下

在自然環境中，某些物種的演化過程既有連續變化又有離散變化，如十七年蟬，幼蟲階段需歷經漫長的17年地下生活，而成蟲后卻僅有短暫數日存活，單純的微分方程或差分方程都無法刻畫其變化過程。1988年，德國數學家 StefanHilger在其博士論文[16]中提出了時間尺度理論，為解決上述問題提供了理論依據。后來，MartinBohner與AllanPeter-son對時標問題進行了總結和整理，并于2001年共同出版了《Dynamic Equations on Time Scale：An In-troduction with Applications》[17]，書中作者系統地介紹了時標動力學方程理論，并列舉了現實應用中時標動力學方程的若干實例，為后續研究提供了堅實的基礎。時標涵蓋了多種時間尺度，構建時標動力學方程不僅包含了微分方程和差分方程作為特殊情況，用以描述連續過程和離散過程，而且對于描繪連續與離散過程相混合的情況更具實際應用價值。因此，許多學者對時標動力學方程的周期解、概周期解、穩定性等進行了研究，取得了很好的成果（如文獻[18-20]）。

目前，針對含時滯的食餌-捕食者微分和差分模型的研究大多數集中于分支問題[21-24]，對于在時標上討論含時滯的食餌-捕食者模型持久性和周期解的結論還很少。

基于以上考慮，本文將在時標上研究具有時變時滯和額外食物供給的比例依賴食餌-捕食者模型。設 ，則模型（2）轉化為時標模型（3）。其中 表示 在 點delta導數（ i = 1 ， 2 ） ，T為任意時標。當 T= R 時，模型（3）可還原為微分模型（2），而當 T= Z 時，模型（3）可轉變為差分模型（4）。

考慮模型生物學意義，因此我們假設模型（3）的初始條件為

其中

本文主要目的是研究模型（3）持久性和周期解存在的充分條件，并將所得結論應用于相應的微分模型（2）和差分模型（4）中。為了方便，我們引入以下符號

首先，我們在全文中假設下列條件成立

（20 皆為正的 ω - 周期函數;

且 δ （ t+ ω ） = δ （ t） ， τ（ t + ω ） = 使得 。

1預備知識

本節給出時標理論的一些基本定義和引理，這有助于我們得出主要的結果。

定義 時標T為實數集R的任意非空閉子集，對于 t ∈ T ，定義前跳算子 σ ： T→ T ，后跳算子ρ ： → T ，graininess算子 μ ： T? [ 0 ? ∞ ） ）分別為

基于這3種算子，如果 σ （ t ） gt; t ，稱 是右離散點；如果 ρ （ t ） lt; t ，則稱 為左離散點；同時是右離散和左離散的點稱為孤立點；如果 t lt; ，則稱 是右稠密點;如果 并且 ρ （ t ） = t ，則稱 是左稠密點。

定義 如果函數 f：T→ R 在T的右稠密點是連續的，在左稠密點的左極限存在，則稱 f 為 r d - 連續函數，所有 r d ← 連續函數所構成的集合記為 。

定義3[17] 設 f ： T→ R ， t ∈ T ，若 ? ε gt; 0 ，存在實數 和 的鄰域 U ，使得對 ，有

則 被稱為 f 在 點的delta（或Hilger）導數。

定義 （204 假設 F ： T R ，若對 ? ε ∈ T 有 ，稱 F 是 f 的原函數，定義 f 的積分為

定義5若存在正的常數 ，使得模型（3）的任意解 ）都滿足

則稱模型（3）具有持久性。

引理1[17] 設 是連續函數，若當 t ∈ T 時 f （ t ） gt; 0 且 ，則

若當 t ∈ T 時 f （ t ） gt; 0 且 ，則

引理 設 。若 ，且 a gt; 0 ， b gt; 0 ，則當 ，有

引理 設 ，其中 是右稠連續函數且 。若 初值條件 ，則

其中 。

若 ，且 ，則

引理 設 ，其中 是右稠連續函數且 。若 t∈T ，初值條件 ，則

若 ，且 ，則

引理5[17] 令 ，若 是ω 周期的，則

引理 （重合度理論）設 為賦范線性空間， D o mL ? X → Z 是線性映射， N ： X ? Z 為連續映射，若 d i mK e rL = c o d i mI mL lt; + ∞ ，且 I mL 為 Z 中的閉子集，則稱 L 為指標為零的Fredholm映射。若 L 為指標為零的Fredholm映射并且存在連續投影 以及 Q ： Z → Z 使得 I mP = K e rL ， K e rQ = I mL ， X = K e rL ⊕ I mQ ，則 L 的限制 是 D o mL ∩ K e rP 到 的一一映射，因此 可逆，設其逆映射為 I mL → D o mL ∩ K e rP 。設 Ω 為 X 中的有界開集，如果QN： 和 均是緊的，則稱 N 在 上是 L - 緊的。由于 I mQ 與 K e rL 同構，因此存在同構映射 。

引理 （204 （重合度延拓定理）設 L 為指標為零的Fredholm映射，并且 N：X → Z 在 是緊的。假設

（1）對任意 λ ∈ Γ（ 0 ， 1 ） ，方程 L x = λ N x 的每一

個解 x 都滿足 x ∈ ? Ω ，（2）對任意 且

則方程 L x = N x 在 內至少存在1個解。

2 持久性

在本節中我們討論了模型（3）持久性的充分條件。

定理1設 是模型（3）的任一解，假設（ ）和（ ）成立。此外，若滿足

則模型（3）具有持久性。

證明 從模型（3）第一個式子可知

令 ，顯然 ，則不等式

成立。若 ，根據引理1有

則

通過引理3，存在常數 ，對 ，有

進而

若 ，根據引理1有

通過引理3，存在常數 ，使得

當 ，有

由于- ，因此，當 時有

由模型（3）第二個式子和式（5）可知，當 ，有

通過引理2可得，存在常數 ，當 時，有

另一方面由模型（3）和式（6）可知

由于 ，則不等式

成立。

同理，當 時，對于 有

因此

此外，對任意的 ε gt; 0 ，由式（5）和（6）知，存在t ∈ T ，當 時有

基于模型（3）第二個式子

對 時，有

若不然，存在 ，使得

對任意的t∈[T，t'）τ+，

則

且對任意的t∈[T，t'）t+，

這與 矛盾。因此令 ε → 0 ，當 時，有

綜上可得

定義5可得模型（3）是持久的。

3 周期解的存在性

本節我們討論了模型周期解存在的充分條件。為了使用重合度理論，我們首先給出下列定義：

，

因此 是Banach空間。令

則 和 都是 的閉線性子空間，

定理2假設下列條件

成立，則模型（3）至少存在一個 ∞ 周期解。

證明 令 ，并定義

那么

，

由于 在 里是閉的，則 L 是指標為零的Fred-holm映射。同時，易得到 P 和 Q 是連續投影且

I mP = K e rL ， I mL = K e rQ = I m（ I - Q ） 因此，可得逆映射（對于 DomL存在且滿足

其中

則有

和

顯而易見， Q N 和 是連續的。考慮到 X 是一個Banach空間，則運用Arzela-Ascoil定理可得 是緊的。同時 是有界的，所以對任意有界開集 Ω ? X ， N 在 是 L - 緊的。

到目前為止，我們需找到一個恰當開集 考慮算子方程

有

對于任意的 λ ∈ （ 0 ， 1 ） ，假設 是式（9）的任意一個解。在 [ θ ， θ + ω ] 上對式（9）的2個式子兩邊同時進行積分

由式（9）和式（10）可得

由于 ，所以存在 ，使得

根據式（10）的第二個式子和式（11）可知

當 時，對上式兩邊同時取對數，并化簡可得

另一方面，由式（10）的第一個式子和式（11）可知

對上式兩邊同時取對數，并化簡可得

利用引理5，得到

，因此

由式（10）第一個式子和式（11）可知

由此得

由式（10）第二個式子和式（11）可知

對上式兩邊同時取對數可得

利用引理5，得到

H，

H4，

因此

顯而易見， 和 都與 λ 無關。令 。

其中 是一個參數，通過上述類似證明，可得式（12）的任意解 [0，1］都滿足

定義 ，顯

然， Ω 滿足引理7中的條件（1），若 Ker ，則 是 中的常向量，并滿足

利用式（13）與 B 的定義得

因為 I mQ = K e rL ，所以 T= I， ?？紤]以下同倫映射

其中

由式（13）易得對于 ，有 K e rL ）。

此外，還可以得到代數方程 在 內有唯一的一個解。由同倫不變性得

，其中 是Brouwer度。到目前為止，我們已經驗證了 滿足引理7的2個條件。因此，模型（3）在 中至少有一個周期解，證畢。

4數值模擬

在這一部分中，我們給出了一個例子來驗證前面的理論結果。設定參數為

m （ t ） = 0 . 2 7 + 0 . 0 5 s i n（ （ π t ） / 2 ）

因此， ω = 4 ， δ （ t + ω ） = δ （ t ） ， τ （ t + ω ） = τ （ t ） ，通過直接計算可得

當 T= R （ Z ）時，從而滿足假設條件 、 。當 T= R 時，如果模型（2）的所有參數都滿足式（14），取初值 N （ 0 ） = 1 2 ， P （ 0 ） = 9.2。模型（2）中食餌和捕食者是持久生存的且周期解存在（圖1）。當 δ （ t） = 0 ， τ （ t） = 0 時，食餌和捕食者也是持久生存的且周期解存在（圖2）。因此，時滯對于持久性以及周期解的存在性沒有影響。

當 T= Z 時，如果模型（2）的所有參數都滿足式（14），取初值 N （ 0 ） = 1 2 ， P （ 0 ） = 9 . 2 。模型（4）中食餌和捕食者是持久生存的且周期解存在（圖3）。當δ （ t） = 0 ， τ （ t） = 0 時，食餌和捕食者也是持久生存的且周期解存在（圖4），與 T= R 時結論類似。

5 結論

本文研究了一類具有額外食物供給的比例依賴食餌-捕食者模型，我們對時間尺度上該模型的持久性和周期解的存在性進行了探討，并考慮了時變時滯的影響，通過應用時標上的比較定理及Mawhin重合度理論，得到了模型（3）持久性以及周期解存在的充分條件。最后，給出數值例子得到，當時間尺度 T= R ，時滯取 δ （ t） = 0 . 0 0 1 sin （ Ω（ π t） / 2 ） ， τ （ t ） = 或 時，微分模型（2）中食餌和捕食者是持久生存的且存在周期解；當時間尺度 T= R 時，差分模型（4）也存在類似結論。

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（責任編輯：唐慧 郭蕓婕）