基于可配置質量項的拓撲超構表面光場調控

中圖分類號：O436文獻標志碼：A

Abstract： The development of topological photonics has introduced a wealth of methods for controlling light fields，with topologically protected edge states，offering exceptional properties such as unidirectional transport and immunity to defect and impurity scattering. These characteristics hold significant research and application potential in fields like optical micromanipulation， optical communication， and optical computation. Topological metasurfaces with Dirac-like dispersion are ideal systems for generating topological edge states， where the Dirac mass term determines the width of the photonic bandgap. However， the mechanisms for controlling this mass term remain underexplored. In this work， we propose a method to extensively tune the photonic mass term by modulating the unit cell structural parameters， which alters both intra- and inter-cell coupling strengths， thereby enabling control over the bandgap and localization properties of edge states.The mass term exhibits a broad range and high sensitivity in manipulating the localization abilityof topological edge states acrossseveral topological metasurfaces， demonstrating significant potential for applications in planar photonic device design.

Keywords： topological photonics； light field manipulation; Dirac mass term； topologically protected edge states

引言

光場結構化是一種廣泛存在的現象[1-2]。早在兩個世紀前，Young通過觀察雙縫干涉現象驗證了光的波動性，展示了沿一維方向強度交替變化的結構光場[3]。此后，光場調控逐步擴展至其他光學自由度，如偏振[4-5]、相位、頻率[7-8]和時間等。多元化的結構光場不僅在干涉測量中顯示出重要作用，還蘊含豐富的光學信息，在信息科學、材料科學和生命科學等領域發揮了關鍵作用[9-10]

隨著物理學的不斷發展，隱藏于表面效應之下的物理狀態逐漸受到關注，其中最引人注目的是拓撲物理學的發現與崛起。拓撲物理學主要利用拓撲學和幾何學的方法來研究物質的基本物理性質，可粗略地分為兩類：一類聚焦經典場論和量子場論中的拓撲激發現象[11-12]；另一類圍繞材料科學中波在非均勻介質中傳播的拓撲保護思想，受量子霍爾效應啟發，聚焦于材料中電子能帶的拓撲性質誘導的拓撲相變[13]。而后，Haldane提出在石墨烯蜂窩晶格中施加交錯磁場的理論模型，首次實現了量子反常霍爾效應[4]；Kane和Mele研究了石墨烯中的量子自旋霍爾效應[15-16]。在這些研究基礎上，研究人員構建了拓撲絕緣體[17]。這種材料內部絕緣，表面導電，其能帶可以用拓撲不變量描述。根據體邊對應關系[18]，該材料表面或者不同材料界面處具有單向傳輸、背向散射抑制、不受缺陷和雜質干擾的邊界態，有顯著的研究和應用價值。

拓撲物理效應并不只存在于自然材料中[19]光學人工微結構材料是研究拓撲物理的良好平臺，由此產生的拓撲光子學近年來蓬勃發展[20-21]。超構表面在亞波長尺度上對光場進行多維度調控，改變光束常規的散射行為。超構表面由于其成熟的微納加工工藝，可以作為實現二維拓撲光學效應的理想實驗平臺[22]。在超構表面上加工納米尺度的二維光子晶體結構，可以實現多種拓撲邊界態的光學模擬，并利用邊界態的傳輸特性設計功能器件。Wang等[23]在二維旋磁光子晶體中施加磁場來打破時間反演對稱性，并觀察到量子霍爾效應標志性的拓撲保護邊界態。Wu和Hu采用二維全介質蜂窩晶格，保留時間反演對稱性，在光學體系中模擬了量子自旋霍爾效應[24]，并進行了拓撲邊界態單向傳輸特性的實驗驗證。在此體系基礎上產生了多種應用，比如產生高階拓撲態[25-26]，構造拓撲微腔激光器陣列[27-28]，打破空間反演對稱性實現谷霍爾效應[29-32]。

文獻[24]中構建的光子晶體能帶在 T 點附近具有狄拉克類型的色散關系。類比凝聚態體系中的狄拉克方程，狄拉克質量項可以用來衡量帶隙寬度。標準的蜂窩晶格中質量項為零，形成能量簡并的狄拉克點；加入擾動降低對稱性后，產生非零質量項，且帶隙打開的寬度與質量項成正比。通過改變超構表面的元胞結構，定量化設計光子的狄拉克質量項，可以增加局域模式的調控自由度，豐富模式的調控手段。在超構表面上設計絕熱變化的質量項單元，從而產生新的局域波導或諧振腔模式[334]，并且可以調控局域模式的遠場輻射能力，降低由界面或制造缺陷引入的對稱性破壞對拓撲邊界態的影響[35]。然而以往的工作中并未深人探討調控光子質量項的方式，以及不同質量項的結構對光子帶隙、拓撲邊界態局域能力的影響，這對選擇合適的質量項結構、設計特定功能的片上拓撲光子器件造成了限制；同時，絕熱變化的質量項對于大范圍調節邊界態的局域能力有所欠缺。為了能夠在大范圍內定量調控光子質量項，獲得工作波段、局域效果可調節的波導模式，本研究基于可伸縮六邊形元胞結構，調節元胞參數獲得質量項分布圖，設計可配置質量項的超構表面拓撲光子器件，實現了多個波段下、具有多種局域能力的拓撲邊界態，為進一步發展光通信[36-37]和光學微操控[38-47]等技術提供可能。

1理論模型與光子質量項分布

從文獻[24]的元胞結構出發，建立理論模型。超構表面上的二維光子晶體的幾何結構如圖1（a）所示，其中： Ψ_a 為晶格常數； 和 表示晶格基矢； d 為圓柱直徑； R 為元胞中心與圓柱中心之間的距離。在蜂窩晶格的基礎上構建可伸縮的擴大六邊形元胞，每個元胞中包含6個等距分布的硅材料介質圓柱，整體具有 C₆ 對稱性。

考慮到光子晶體中的電磁波傳播和晶體中的電子傳播都滿足布洛赫定理，具有相似的能帶結構，可以將計算電子能帶的緊束縛模型用于本文的理論分析。將每個介質柱簡化為一個位點，將電磁波類比為電子的布洛赫波，集中分布在位點

H=

將萬尼爾表象的基矢變換為具有 C_6ν 點群對稱性的基矢后，在 T 點附近進行一階小量展開。T 點處的6個本征模式中有兩個單態[能量分別為 ±（2K+J）] 和兩個二重簡并態[能量分別為±（K-J）] 。單態與二重態存在較大的能量差，因此可以忽略二者之間的相互耦合，即直接去掉哈密頓量中與單態有關的行和列，得到有效哈密頓量。此時對應的基矢分別為 |p₊? ， |d₊? ， |p_-? ， |d_-? ，分別具有 L=+1，+2，-1，-2 的軌道角動量。其中+ 和-代表兩個相反方向的軌道角動量，作為贗自旋自由度； p 和 d 代表亞晶格自由度，對應的本征模式分別具有偶極和四極場分布。贗自旋分塊對角化的有效哈密頓量形式為處。僅考慮相鄰位點之間的耦合作用，忽略長程耦合。每個元胞內的6個位點分別標記為A，B，C，D，E，F ，局域軌道正交基下，6個位點的產生算符分別為 c_A^?，c_B^?，c_C^?，c_D^?，c_E^?，c_F^? ，湮滅算符分別為 c_A，c_B，c_C，c_D，c_E，c_F ， i 表示位點 r_i 的元胞， i-a₁ 表示位點 r_i-a₁ 的元胞，元胞之內相鄰位點的耦合系數為 K 。在緊束縛近似下可以寫出晶格的哈密頓量為

進一步將哈密頓量寫成動量表象下的矩陣形式，即

其中分別對應兩種贗自旋的哈密頓量 和 為

式中：質量項 m=J-K ；有效速度 u=Ja/2 ； k_x ，k_y 是動量的分量； σ_x ， σ_y ， σ_z 是泡利矩陣。可以看出，在有效哈密頓量的近似下， T 點附近不同應自旋之間沒有相互耦合，保持簡并，而同種贗自旋的 p 和 d 模式有耦合。從上述模型得到的重要結論是：當 m=0 時，在 T 點附近形成二重簡并的狄拉克錐，帶隙閉合，式（4）、（5）符合無質量粒子的狄拉克方程，胞內與胞間耦合強度相等導致質量項為零；當 m≠0 時，帶隙打開，在 T 點具有寬度為 2|m| 的帶隙，與有質量粒子的狄拉克方程相符，且非零的質量項是由胞內和胞間耦合強度不相同導致的。

將緊束縛模型下的理論結果應用于光子晶體體系，從而可以對具有狄拉克色散關系的晶格作出理論解釋：光子質量項也是由胞內和胞間耦合強度的差異導致的，且可以通過改變元胞參數，調節耦合強度，進而調控光子質量項；另一方面，計算光子晶體能帶發現， T 點的帶隙寬度與質量項成正比，所以 T 點的帶隙寬度可以用來表征質量項的相對大小。

據此進行光子晶體TM模式下能帶的仿真計算，設置晶格常數 a=750nm ，改變參數 R 和d ， R 掃描范圍為 125～315nm ， d 掃描范圍為20～125nm 。觀察 T 點的本征模式，如果沒有發生模式翻轉，偶極模式位于帶隙下方，四極模式位于帶隙上方，則對應的結構為平凡元胞，此時質量項為負值；如果偶極模式翻轉到帶隙上方，四極模式翻轉到下方，則對應的結構為發生拓撲相變的拓撲元胞，此時質量項為正值。可以得到圖1（b）所示的質量項分布圖，其中：在R=a/3 處質量項趨近于0； Ra/3 時質量項為正，胞間耦合更強。圖 1（c）～（e） 分別展示了3種情形的能帶圖，其參數用相應的幾何形狀標注在圖1（b）中，可以發現圓形、三角形、菱形分別對應光子帶隙 25THz 、帶隙閉合、反向打開光子帶隙 35THz 。調節 R 可以在大范圍內改變質量項，并且改變其正負，實現定量化調節帶隙寬度；調節 d 的主要作用是改變帶隙位置，并在一定范圍內可以保持質量項穩定。 R 、 d 聯合調節可實現寬波段、大范圍的帶隙調控。值得注意的是，質量項并不能完全確定TM模式下光子完全帶隙的大小。圖1（c）、（e）所示的情形具有一定的普遍性，即 M 點的本征頻率是制約帶隙的一個重要因素，但在掃描參數的大部分范圍內，質量項與光子完全帶隙的大小相差不大，因此可近似用質量項來代表完全帶隙的大小。在后續拓撲超構表面設計時，將會從這個范圍內選取參數。

考慮到研究的完整性，還進行了TE模式下元胞質量項及能帶結構的計算。為實現TE模式光子帶隙，在硅介質元胞中構建6個呈六邊形等距分布的等邊三角形空氣孔，如圖2（a）所示。設置晶格常數 a=750nm ， R 是元胞中心與等邊三角形中心之間的距離， L 是三角形的邊長。 R 掃描范圍為 210～280nm ， L 掃描范圍為 210～ 340nm 。圖2（b）為質量項分布圖，圖 2（c）～ （e）為平凡、過渡、拓撲元胞3種情形的計算結果。可以發現，保持 L 不變時，TE模式下質量項的變化趨勢與圖1（b）中TM模式下的相同；當 R 不變時，TE模式下質量項隨空氣柱增大而迅速增大，帶隙位置逐漸升高，這與光子晶體理論相符合。

利用質量項分布圖可以選取參數進行超胞能帶結構研究。平凡元胞和拓撲元胞具有正負異號的質量項，所構成的晶格具有不同的拓撲不變量。將兩者拼接成超胞時，根據體邊對應關系，其界面上會出現受到拓撲保護的邊界態。如圖3（a）所示，將質量項符號相反的元胞沿著 y 方向拼接形成疇壁，長度為37個元胞，在 x 方向設置周期性邊界條件。選取4種超胞結構配置，計算TM模式下超胞能帶以及垂直于平面的電場分量 E_z 分布，發現在原本對應帶隙的范圍內，出現了獨立于上下方連續體態的邊界態，并且關于 k_x=0 對稱的邊界模式具有相反的能流傳播方向，對應著兩個不同應自旋的相反傳播方向。在圖 3（b）～（e） 中大范圍內改變狄拉克質量項，發現只要滿足質量項符號相反的條件，就會出現拓撲保護的邊界態，這表明質量項對帶隙大小和位置有明顯的調控作用。理想情況下，量子自旋霍爾效應類型的邊界態完全穿過帶隙。但隨著質量項差值增大，邊界兩側的元胞幾何結構差異明顯，破壞了空間結構的對稱性，導致偏離理想的拓撲邊界態。作為對比，圖3（d）中疇壁兩側質量項很接近，空間對稱性破壞不明顯，帶隙只有 1THz 左右，幾乎閉合；圖3（b）中疇壁兩側質量項差異很大，所以形成了寬度約為 20THz 的帶隙，并且上方邊界態與體態之間也產生約20THz 的帶隙。另一方面，圖 3（b）～（d） 中均選取 d=112.5nm ，圖3（e）中選取 d=75nm 。減小圓柱直徑可以顯著增大帶隙頻率，為多波段激發拓撲邊界態提供了可能，

同樣計算了TE模式下超胞能帶結構，如圖4所示。注意到在大范圍內改變質量項時，超胞對于不同的贗自旋都具有相反方向傳播的邊界態；相比于TM模式下，TE模式下邊界態對應的能帶與連續的體態更接近，其一部分埋入體態中，使得邊界態不易被單獨激發，且改變 d 時激發邊界態的頻率移動不大。綜上，TE和TM模式具有相似的質量項分布規律，都支持拓撲保護的邊界態傳輸。本文在設計拓撲超構表面器件時，采用TM模式，對應空氣中的圓形介質柱結構。

2拓撲邊界態的傳輸特性

對拓撲邊界態的研究大多數聚焦于其良好的單向性，不受缺陷和雜質影響而發生散射。在大范圍調控質量項的基礎上，不僅可以得到單向性良好的拓撲邊界態，還能夠調控邊界態在垂直于疇壁方向的局域能力。根據Jackiw-Rebbi模型，理想的拓撲邊界態在垂直于疇壁方向的分布取決于疇壁兩側的質量項，即

式中： φ（x，y） 是平面內的光場分布； φ（x） 是沿著x 方向周期性分布的光場；指數部分是 y 方向的光場分布； u_D 代表邊界態的群速度； m（y） 是疇壁兩側的質量項分布。對于不同的質量項分布方式，光場在 y 方向有不同的局域模式，其衰減能力也有區別。

為研究質量項對邊界態局域能力的調控作用，使用質量項符號相反的元胞構建“Z”形拓撲超構表面，如圖5（a）所示。在“Z”形邊界中心放置具有渦旋相位的面外電流源，以產生帶有特定方向渦旋相位（即贗自旋）的電場，從而選擇性激發對應贗自旋的邊界態。共設置4組質量項結構，與圖 3（b）～（e） 的參數設置完全相同，并使用不同幾何形狀標注在圖5（b）質量項分布圖中以便對比。每種結構都使用兩個不同旋向的電流源激發邊界態，激發頻率由圖 3（b）～ （e）的邊界態頻率確定，仿真結果如圖 5（c）～ （f）所示。拓撲邊界態的單向傳輸特性和魯棒性都得到了驗證：具有相反贗自旋的邊界態反向傳播，背向傳播的電磁場占比很低；并且在波導結構 120^° 彎折處的散射被抑制，說明邊界態單向傳播不會受到不規則結構的影響，具有魯棒性。為進一步驗證拓撲邊界態的魯棒性，設計了如圖5（g）所示的缺陷和無序結構。在兩種質量項元胞形成的“Z”形疇壁基礎上，左側引入了元胞無序排列的區域，使得疇壁形狀不規則，右側疇壁處構造了一個小型空腔，在空腔中放入一個硅介質棒作為障礙物。如圖5（h）所示，在疇壁兩側分別用不同的贗自旋激發邊界態時，邊界態均可以繞過無序區域，不受散射地單向傳播；在缺陷空腔和障礙物介質棒處，邊界態幾乎不會被反射，可以完美繞過缺陷和障礙，且沒有拓撲保護的普通波導中的局域模式在波導彎折、無序、缺陷處會受到嚴重散射，從而無法實現高效的單向傳輸。這也證明了拓撲超構表面在電磁波單向傳輸方面的優越性。

另一方面，4種結構的邊界態局域能力具有顯著差別。根據式（6），對于本實驗中的階梯式質量項分布， y 方向光場分布呈現指數下降，且質量項絕對值越大，光場衰減越快，局域能力越強。圖5（c是兩種元胞質量項絕對值較大的極限情形，其邊界態在垂直方向的拓撲元胞和平凡元胞中傳播長度僅為 1μm 左右，即迅速衰減，局域能力很強。圖5（e是兩種元胞質量項絕對值較小的極限情形，其邊界態可以向兩側分別深入5μm 左右，局域能力很弱，電磁場能量難以集中傳播。圖5（d）中拓撲元胞質量項絕對值較大，平凡元胞質量項絕對值較小，邊界態在兩側的分布具有明顯差別，在拓撲元胞中僅傳播約1μm ，而在平凡元胞中可以傳播 2.5～3.0μm 。圖5（f相比前3個結構，改變了圓柱直徑 d ，采用質量項絕對值適中的元胞，其邊界態向兩側傳播 1～1.5μm ，局域能力也居中。由此可見，在疇壁兩側施加不同形式的質量項、大范圍調節質量項，可以靈活調控邊界態局域能力，使其在較大范圍內產生顯著變化，具有較高的敏感性，這樣的拓撲疇壁工程為設計拓撲超構表面實現光場的亞波長尺度精細化控制提供了思路，有望在多種超構表面器件中得到應用。

以上使用了手性電流源激發特定自旋的邊界態。此外，在模擬中還可以使用更加簡單的點源激發方式，即用平面內的圓偏振磁偶極子激發TM模式邊界態，如圖5（i）所示，其中左旋圓偏振（LCP）和右旋圓偏振（RCP）分別對應兩種贗自旋，支持方向相反的邊界態，從而實現了與手性源相同的激發效果。如果使用線偏振點源激發，則會產生向兩個方向傳播的邊界態，失去單向性。考慮到實驗中便于施加面外的手性線電流作為激發源，主要使用手性源的激發方式。

同時，拓撲微腔是構建拓撲激光器的一種思路。局域在疇壁附近的光場如果有較強的面外輻射能力，就可以制造具有高度穩定性、高度相干性的激光源，因此研究質量項對腔內局域模式的調控能力有重要意義。如圖6（a）所示，使用質量項符號相反的元胞構建六邊形拓撲微腔，其內側是6層拓撲元胞，外側是5層平凡元胞，

4組結構設置與圖 3（b）～（e） 、圖 5（Φ_c）～（Φ_f） 相同。在邊界處設置渦旋相位電流激發特定應自旋的電場，激發頻率由拓撲微腔的本征頻率和圖 3（b）～（e） 超胞能帶圖共同確定。如圖 6（b）～ （e）所示，腔內的局域電磁場均沿順時針方向傳播，展示了良好的單向性；大范圍調控質量項同樣可以有效地調節腔模式的局域能力，有望進一步調控面外輻射性能，且有助于設計具有拓撲保護的、定向性更強的激光器

在借助拓撲保護的邊界態構造波導和微腔的基礎上，利用邊界態在拓撲疇壁兩側指數衰減的性質，將波導和微腔耦合，在超構表面上構建拓撲保護的邏輯門和光開關。如圖7（a）所示，整個器件由兩個波導和一個拓撲微腔耦合而成，在波導的兩端共有4個輸入或輸出端口，將1、4設置為光輸入端口，使用特定的贗自旋激發單向邊界態，檢測2、3端口的輸出性質。根據耦合模式理論[48-49]，波導中的局域模式會耦合到微腔，進而耦合到另一個波導中，即只在一個端口激發邊界態，也有可能在各個端口檢測到輸出。各個端口的透射率依賴于激發頻率和微腔與波導之間的耦合系數，且注意到在微腔的諧振頻率附近耦合效應最強。通過設計質量項分布，可以定量控制耦合系數，進而調控端口的透射率。利用波導中兩束光的干涉相消和相長，可以實現邏輯門和光開關功能。

調控質量項，選擇邊界態局域能力較弱的結構組成器件，通過仿真得到微腔的諧振頻率如圖7（b）所示。中間離散區域的頻率可以激發邊界態，上、下兩側連續區域的頻率激發非局域的體態。為確保可以同時激發波導中的單向邊界態，選擇 f_cavity=243.1THz 作為基準頻率，并在圖7（b）中用紅色線框標出。在端口1附近使用相位φ₁=-π/2 的手性源激發，端口4附近使用相位φ₂=0 的手性源激發。兩者都不激發時，記為

00輸入態，如圖7（c）所示。此時端口2和3均無電場，輸出記為00。只激發端口4時，輸入為01，在激發頻率 f_in=241.3THz 下，如圖7（d）所示，邊界態在單向傳播的同時，通過微腔耦合進入上方波導，端口2和3電場強度幾乎相等，輸出記為11。同理，只激發端口1也有類似的效果，輸入為10，如圖7（e）所示，輸出為11。當兩個端口都激發時，輸入為11，如圖7（f所示，端口2處兩路光波發生相消干涉，無電場，端口3處兩路光波發生相長干涉，電場增強，整體輸出為01。綜合以上情形，對于端口1和4的2比特輸人，端口2的輸出符合異或門（XORgate），端口3的輸出符合或門（ORgate），從而實現了復合功能的拓撲邏輯門，并且邊界態的傳輸與耦合受到拓撲保護，不易被缺陷和雜質散射，保證了邏輯門運算的穩定性。同時，也起到了控制光開關的作用，對于端口2的輸出而言，端口1激發的單向邊界態可以定向傳輸到端口2，此時若加入端口4的輸入，則端口2輸出減弱，幾乎消失，從而實現了可控的光開關。

3結論

本文關注具有狄拉克類型色散性質的光學微結構的狄拉克質量項。基于可伸縮六邊形元胞，構建拓撲超構表面，從理論上建立了光子質量項與胞內、胞間耦合系數的聯系，并證明了帶隙寬度由光子質量項決定。通過調節元胞結構參數改變耦合系數，獲得了質量項分布，以便在大范圍內定量調控光子質量項，為同領域內的工作提供了更為豐富扎實的數據基礎。同時，調控質量項可以從多個維度調節局域光場。最重要的方面是通過適當的質量項配置實現光場局域能力的大范圍調節，并在“Z”型彎曲波導、拓撲微腔、拓撲邏輯門等多種拓撲超構表面上進行仿真計算。本研究驗證了調節方法的靈活性和高效性，豐富了光場調控手段，為利用多個自由度調控超構表面片上光場性質，研究強局域和弱局域光場的特性，構筑功能更復雜更強大的拓撲光子超構器件，實現光通信、光學微操控、光傳感等目標提供了研究基礎。

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（編輯：張磊）