主題探究促進數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的優(yōu)化策略

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2025）05-0099-04

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，其學(xué)科本質(zhì)在于通過抽象、推理與建模形成對客觀世界的結(jié)構(gòu)化認知。當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師積極嘗試并運用直觀教學(xué)、探究式教學(xué)等多種手段來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力，但依然存在諸多問題?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)”）以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，明確提出“數(shù)學(xué)探究活動是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論\"。數(shù)學(xué)主題探究遵循發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、解決問題的思維邏輯，以清晰的學(xué)習(xí)主題為牽引，通過真實情境中的復(fù)雜問題鏈，促使學(xué)生在認知沖突中實現(xiàn)從記憶事實性知識轉(zhuǎn)向理解概念性本質(zhì)、從機械解題轉(zhuǎn)向批判性建模、從學(xué)科割裂轉(zhuǎn)向跨領(lǐng)域遷移（如圖1）。高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生在主題探究中進行深度學(xué)習(xí)，形成關(guān)鍵能力。

一、明晰主題：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的認知錨點

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)通過學(xué)習(xí)者對學(xué)習(xí)過程的深度參與、深入思考和深入理解，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，挖掘知識背后的邏輯和科學(xué)原理。數(shù)學(xué)主題探究需以明晰的探究主題為前提，通過錨定學(xué)科大概念構(gòu)建認知框架，使零散的知識點形成意義關(guān)聯(lián)的知識網(wǎng)絡(luò)。主題明晰體現(xiàn)在3個方面，即探究素材的明晰，探究方向的明晰，探究方法的明晰。主題明晰的探究活動，不僅能激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，更能促使學(xué)生在認知層面進行深度思考。

在教師的精心組織和引導(dǎo)下，數(shù)學(xué)主題探究活動通過設(shè)計切口小、角度新、針對性強的學(xué)習(xí)主題，以研定導(dǎo)、以導(dǎo)促研，促進學(xué)生的研究力、理解力、應(yīng)用力和創(chuàng)新力的提升[2。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)以預(yù)備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計四大主線建構(gòu)課程內(nèi)容體系，為主題設(shè)計提供了結(jié)構(gòu)化指引。主題明晰的探究活動體現(xiàn)出目標(biāo)導(dǎo)向性（指向核心素養(yǎng)）、方法系統(tǒng)性（貫穿數(shù)學(xué)思維）、資源整合性（聯(lián)結(jié)多重領(lǐng)域）等特征，這恰與深度學(xué)習(xí)“知識整合、高階思維、情境遷移”的內(nèi)在訴求深度契合。

主題探究的素材可來自課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)教材、科普讀物和網(wǎng)絡(luò)資源、日常生活和社區(qū)服務(wù)、現(xiàn)實熱點和國家大事，但最終必須回到數(shù)學(xué)學(xué)科。例如，高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)案例23“距離問題”（又稱曼哈頓距離），包括在數(shù)軸上用絕對值定義兩點間的距離和按照街道的垂直與平行方向建立平面直角坐標(biāo)系定義兩點間的距離這兩個情境，包含幾何與代數(shù)主線的核心概念，是良好的探究素材。課標(biāo)明確其教學(xué)考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)達成的綜合情況，需體現(xiàn)“用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界”的理念，通過坐標(biāo)變換探究曼哈頓距離與其他距離模型的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

“距離問題”的探究設(shè)計，包含5重主題，完整呈現(xiàn)主題明晰對深度學(xué)習(xí)的支撐作用。主題1概念錨定：將歐氏距離、曼哈頓距離等多元模型納入統(tǒng)一認知框架。主題2方法貫通：通過坐標(biāo)系變換，揭示不同距離模型間的數(shù)學(xué)本質(zhì)關(guān)聯(lián)。主題3資源統(tǒng)整：既依托教材中“城市街區(qū)路徑規(guī)劃”等經(jīng)典案例，又引入無人機避障算法、物流配送優(yōu)化等真實問題，實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象與現(xiàn)實應(yīng)用的閉環(huán)聯(lián)結(jié)。主題4橫向拓展：從一維直線距離公式出發(fā)，類比推導(dǎo)二維曼哈頓距離。主題5批判遷移：促使學(xué)生理解“模型的條件依賴性”，形成選擇數(shù)學(xué)工具的決策思維。這種以主題為錨點的深度學(xué)習(xí)，不僅讓學(xué)生掌握距離計算技能，更能構(gòu)建起可遷移的數(shù)學(xué)建模能力。

二、思維遞進：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的躍遷路徑

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于通過思維層級的系統(tǒng)性躍遷，實現(xiàn)從“知識復(fù)制”到“意義生成”的認知突破。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展根植于數(shù)學(xué)學(xué)科嚴(yán)謹?shù)?、系統(tǒng)的知識體系。主題探究突出思維的融會貫通，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹?shù)乃季S。在主題探究活動中，圍繞學(xué)習(xí)模塊，學(xué)生展開片段式和局部性的探究活動，通過不斷地追問本質(zhì)、厘清關(guān)系、構(gòu)建結(jié)構(gòu)等一系列思維過程，促思維、長智慧、提學(xué)力，促進研究力、理解力、應(yīng)用力和創(chuàng)新力提升，從而形成系統(tǒng)思維的結(jié)構(gòu)觀念。

深度學(xué)習(xí)強調(diào)知識的有效遷移，即學(xué)習(xí)者能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識靈活運用到新的問題和情境中。數(shù)學(xué)主題探究中，學(xué)生使用“觀察、實驗、操作、猜想、抽象與概括、分析與綜合、歸納與類比”等多種思維方法才能解決問題[3]。學(xué)生帶著問題走進課堂，沿著問題展開深度研究，又帶著新的問題離開課堂，養(yǎng)成以數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實問題的思維習(xí)慣，提升運用策略性知識的自覺性，從而不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

仍以“距離問題”為例，高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)對曼哈頓距離的教學(xué)要求聚焦于核心素養(yǎng)導(dǎo)向的情境化建模與數(shù)學(xué)思想方法的深度滲透。教師應(yīng)通過真實問題驅(qū)動、多種工具融合的探究活動，幫助學(xué)生理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)與現(xiàn)實價值，同時強化批判性思維與創(chuàng)新應(yīng)用能力。為此，課堂設(shè)計大致如下：一是對學(xué)過的距離進行復(fù)習(xí)回顧（用類比思想觀察直線、平面、空間距離的關(guān)系）；二是從已學(xué)的一維距離定義推廣到二維距離的新定義（用類比思想從數(shù)軸推廣到坐標(biāo)系）三是探究曼哈頓距離的性質(zhì)并進行嚴(yán)格證明（用數(shù)形結(jié)合思想去證明）；四是類比平面距離的軌跡探索，進行曼哈頓距離的軌跡探索（用數(shù)形結(jié)合思想去證明）；五是探索曲線外定點與曲線上動點之間距離的最值（用數(shù)形結(jié)合思想去證明）；六是形成對課堂學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化認識。

思維遞進的探究設(shè)計，完整呈現(xiàn)思維的三重進階。一是問題鏈驅(qū)動認知沖突：從“一維數(shù)軸距離”的直觀回顧，到“二維曼哈頓距離”的類比推廣，再到“曲線外定點到直線距離最值問題”的批判性探索，形成逐級遞升的認知階梯。二是多工具融合突破思維定式：通過GeoGebra可視化呈現(xiàn)曼哈頓距離的菱形等距線分布，促使學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中深化對距離本質(zhì)的認知。三是結(jié)構(gòu)化反思促成遷移：引導(dǎo)學(xué)生繪制“距離模型認知圖譜”，橫向?qū)Ρ葰W氏距離、曼哈頓距離的數(shù)學(xué)特性，縱向剖析其在數(shù)據(jù)科學(xué)、工程優(yōu)化等領(lǐng)域的應(yīng)用邊界，通過思維進階設(shè)計，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)從理念目標(biāo)轉(zhuǎn)化為可觀測的實踐能力。

三、本質(zhì)理解：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的認知升維

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的終極價值在于促使學(xué)習(xí)者超越工具性認知，抵達對學(xué)科本質(zhì)的概念性理解。這種理解并非對定理公式的簡單復(fù)現(xiàn)，而是通過概念澄明與認知的圖式重構(gòu)，將數(shù)學(xué)對象的內(nèi)在邏輯轉(zhuǎn)化為個體思維系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化存在。主題探究既要從數(shù)學(xué)學(xué)科出發(fā)，又要回到數(shù)學(xué)學(xué)科本身。發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程是數(shù)學(xué)學(xué)科特征的高度凝練，無論在數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模中，還是在數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)實踐的教學(xué)中，教師都要讓學(xué)生經(jīng)歷形象化、直觀化、類比化、具象化等基本活動，最終完善思維結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)體系。

主題探究通過“數(shù)學(xué)化過程”驅(qū)動本質(zhì)理解：一方面，將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)對象（如將城市導(dǎo)航轉(zhuǎn)化為曼哈頓距離模型）；另一方面，通過模型反演驗證數(shù)學(xué)理論的解釋，在雙向建構(gòu)中形成“現(xiàn)實一數(shù)學(xué)一現(xiàn)實”的認知閉環(huán)。主題探究活動中，結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng)至關(guān)重要。教師要引導(dǎo)學(xué)生歸納統(tǒng)整所學(xué)知識，并將其條理化、綱領(lǐng)化，通過結(jié)構(gòu)化思維，將所學(xué)知識按照某種邏輯順序組織到一起，使之形成一個聯(lián)系緊密的知識群體，構(gòu)成結(jié)點豐富的知識網(wǎng)絡(luò)[4]。

課堂實踐中，教師可通過反思性元認知框架固化本質(zhì)理解成果。教師要把握學(xué)科脈絡(luò)和知識結(jié)構(gòu)，審視思維關(guān)鍵和課堂教學(xué)行為得失，回顧、梳理和反思，最終形成一般化的研究方法和認識方法（如圖2），使學(xué)生能夠穿透具體案例的表象，洞見數(shù)學(xué)本質(zhì)的普遍性規(guī)律，進而理解數(shù)學(xué)抽象的條件性與創(chuàng)造性。這種從經(jīng)驗操作到形式化表達再到批判重構(gòu)的認知升維，正是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)實現(xiàn)“知識一素養(yǎng)一智慧”三級躍遷的核心機制。

綜上所述，數(shù)學(xué)主題探究遵循“明晰主題—思維躍遷一本質(zhì)理解”的認知路徑，推動學(xué)科核心素養(yǎng)培育方式從傳統(tǒng)到創(chuàng)新的轉(zhuǎn)變，促使學(xué)生在知識、能力、素養(yǎng)方面獲得良好發(fā)展，值得我們?nèi)嵺`和探索。

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責(zé)任編輯：殷偉